Análise de Momentos Fletores em Vigas Contínuas: Equações dos Três Momentos, Notas de estudo de Cálculo

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FACENS

FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA

TEORIA DAS ESTRUTURAS

VIGAS CONTÍNUAS

Prof. JOSÉ LUIZ F. de ARRUDA SERRA

SUMÁRIO

1 - HIPÓTESES E CONCEITOS PRELIMINARES

1.1 - INTRODUÇÃO

Vamos nos limitar ao estudo de estruturas reticulares, isto é, formada por barras. Todo o estudo será feito segundo o Método Clássico, que se baseia nas seguintes hipóteses:

1. validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral;

2. continuidade da estrutura, isto é, as linhas elásticas das barras retas não possuem pontos angulosos e os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas de várias barras concorrentes em um nó rígido, se conservam constantes;

3. aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos (conservação das seções planas, proporcionalidade entre tensões e deformações;

4. superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por vários esforços atuando simultaneamente é igual a soma dos efeitos de cada esforço atuando isoladamente. Dentro do método clássico, diversas marchas de cálculo podem ser estabelecidas para a solução de um problema. A cada uma destas marchas de cálculo dá-se o nome de Processo de Cálculo. Assim, dentro do Método Clássico para solução de estruturas hiperestáticas, podemos usar por exemplo:

5. O Processo dos Esforços

6. O Processo dos Deslocamentos

7. O Processo de Cross etc.. Neste trabalho vamos estudar os dois processos manuais mais usados para solução de vigas contínuas; a equação dos três momentos e o processo de Cross, ambos baseados no Método Clássico.

Inicialmente serão apresentados os fatores de forma e reações fictícias que são os coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga. Todos os outros coeficientes: termos de carga, coeficientes de propagação ou transmissão, coeficientes de rigidez e distribuição, assim como os momentos de engastamento perfeito são deduzidos em função dos fatores de forma e reações fictícias.

Após definidos os coeficientes fundamentais – fatores de forma e reações fictícias – e dos termos de carga, deduz-se a equação dos três momentos para solução de vigas contínuas, apresentando-se exemplos. Segue a dedução dos outros coeficientes necessários para o Processo de Cross, em cuja fase será apresentado uma solução simples para os engastamentos elásticos

2 - COEFICIENTES FUNDAMENTAIS RELATIVOS À BARRA E À CARGA

Dada uma barra AB de eixo retilíneo tem-se os coeficientes fundamentais:

2.1 - FATORES DE FORMA G ‟ , G e F

São os giros que aparecem nas extremidades de uma barra simplesmente apoiada, quando submetida a um momento adimensional unitário em uma das extremidades. Positivos quando no sentido indicado nas figuras 2.1.

Figura 2.1 – Fatores de Forma

Aplicando-se a técnica da carga unitária, o PTV fornece as expressões dos fatores de forma:

G ‟ =

2 0 2

( x ) dx EI

(^) ò .................................................................................... (2.1)

G =

2 0 2

x dx ò EI

F = 2

0

x ( x ) dx EI

(^) ò ..................................................................................... (2.3)

Dimensão: [G ‟ ] = [G ] = [F ] = (FL)-

Caso a barra seja prismática, EI = constante, obtém-se resolvendo as integrais:

G ‟ = G = 2 F =

3 EI

Figura 3.1 - Exercícios

4 – FATORES OU TERMOS DE CARGA E E D

Estes coeficientes são derivados dos coeficientes fundamentais anteriormente deduzidos e são utilizados pela equação dos três momentos no caso de barras prismáticas.

Por definição:

E = A / F ................................................................................................... (4.1)

D = B / F .................................................................................................. (4.2)

Os fatores de carga E e D têm dimensão de momento, [FL].

Notar que para o caso de barras prismáticas, EI = constante, os fatores de carga não

dependem de EI, resultando valores simples. A Tabela 01 apresenta os valores de E e D

para barras prismáticas submetidas a diversos carregamentos, que compostos cobrem praticamente todas as combinações de carga, deslocamentos impostos (recalques) e variações de temperatura que podem atuar nas barras em geral.

5 – A EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

5.1 – INTRODUÇÃO

A solução de um viga contínua pelo processo dos esforços pode ser bastante simplificada quando se adota para incógnitas hiperestáticas os momentos nas seções sobre os apoios. A solução com este esquema estático torna-se bastante simples resultando em um sistema linear de equações onde todas as equações são formalmente iguais e o sistema é tridiagonal. Qualquer equação do sistema é conhecida como equação dos três momentos

5.2 – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

A figura 5.1 a), representa uma viga contínua, carregada por um sistema arbitrário de cargas verticais. Os apoios estão numerados da esquerda para a direita, 0, 1, 2,..., i-1, i, i+1,...

Figura 5.1 – Equação dos três momentos

Assim, tem-se a i-ésima equação do sistema reduzida apenas aos três termos:

 (^) i, i- 1 M (^) i- 1 +  (^) i, i M (^) i +  (^) i, i+1 M (^) i+1 =   (^) i 0 ............................................... (5.5)

Calculando os deslocamentos e lembrando a definição dos fatores de forma G’ ,G e F

e das reações fictícias A e B , tem-se:

 i, i- 1 = F i .................................................................................................... (5.6)

 i, i = G i + G’ i+ 1 ....................................................................................... (5.7)

 i, i+1 = F i+1 ................................................................................................. (5.8)

 i 0 = B i + A i+1 ....................................................................................... (5.9)

Os índices dos fatores de forma e das reações fictícias indicam a barra respectiva. Substituindo esses valores na i-ésima equação do sistema, obtém-se:

F i Mi- 1 + (G i + G’ i+1) Mi + F i+1 Mi+1 =  (B i + A i+1) ........................... (5.10)

Esta equação (5.10) é conhecida como equação dos três momentos. Cada vez que se aplica a equação dos três momentos para um apoio i, é estabelecida uma relação entre o momento fletor que atua sobre o apoio i, com os momentos fletores que atuam nos nós anterior, i-1, e posterior, i+1,ou seja, três apoios consecutivos da viga contínua. Daí o nome equação dos três momentos.

5.3 - EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS CASO BARRAS PRISMÁTICAS

No caso de viga formada por barras prismáticas, Ei Ii = constante para cada barra

genérica i, introduzindo os fatores de carga E e D , tem-se:

G’ = G = 2 F = /3EI ............................................................................. (5.11)

A = E F ou A =E /6EI ......................................................................... (5.12)

B = D F ou B =D /6EI ...................................................................... (5.13)

Substituindo na equação (5.6) e multiplicando por 6, obtém-se:

1 1 1 1 1 i i 1 1 1 1

i (^) i 2 i i (^) i i (^) i i i i i i i i i

M M M

EI EI EI EI EI EI

æç ö÷ æç ö÷

• çç + ÷÷^ + = - çç + ÷÷ çè ÷ø çè ÷ø

D E .......... (5.14)

Esta equação é denominada equação dos três momentos caso barras prismáticas. O número de equações do sistema para uma determinada viga, é exatamente igual ao número de apoios intermediários onde ocorrem os momentos incógnitas (mais os eventuais engastes nos apoios extremos). Ter-se-á então que resolver um sistema linear de n equações a n incógnitas, onde n é o grau de hiperestaticidade da viga contínua, que coincide com o número de apoios intermediários mais os eventuais engastes.

O sistema formado constitui uma forma particular de um sistema de equações, uma vez que é tridiagonal, isto é, tem coeficientes não nulos apenas na diagonal principal e nas duas diagonais adjacentes.

mais um apoio móvel - imaginários - tornando nulo o comprimento do tramo fictício entre esses dois apoios.

5.5 - EXTREMIDADES ARTICULADAS OU COM BALANÇO

Na extremidade articulada, obviamente M igual a zero ou M igual ao valor do momento puro aplicado caso exista (positivo quando traciona as fibras inferiores).

Caso ocorra balanço ele deve ser substituído pelos seus efeitos, e neste caso a extremidade resulta articulada e submetida a uma carga concentrada e um momento resultantes do carregamento oriundo do balanço. A força concentrada só afetará a reação neste apoio e o momento, com o sinal respectivo na convenção usual – tração “em baixo” positivo - é computado na primeira ou última equação do sistema, como M 0 ou Mn conforme o balanço ocorra na extremidade esquerda ou direita, respectivamente.

5.6 - ROTEIRO

Em síntese, pode-se seguir a seguinte seqüência para análise de vigas contínuas pela equação dos três momentos:

1. Desenha-se a viga indicando todas as cargas aplicadas. Caso exista engastamento substitui-se por dois apoios, um fixo e o outro móvel, tomando-se o comprimento do tramo entre eles igual a zero. Caso exista um balanço, substitui-se o balanço pelos seus efeitos;

2. Numera-se da esquerda para a direita todos os apoios, a partir do zero, bem como os tramos a partir do número 1;

3. Determina-se para cada tramo os termos de carga E e D conforme tabela anexa;

4. Aplica-se a equação dos três momentos para cada apoio intermediário , montando um sistema tridiagonal de n equações (n = número de apoios intermediários);

5. Resolve-se o sistema de equações obtido, encontrando os momentos fletores que atuam sobre os apoios da viga contínua;

6. Através de equações de equilíbrio determinam-se os valores das forças cortantes e momentos fletores nos pontos de descontinuidade do carregamento necessários para o traçado completo destes diagramas.

5.7 - EXEMPLO NÚMERO 5.1 – VIGA COM BARRAS PRISMÁTICAS

Figura 5.3 – Exemplo número 1

1 1 1 1 1 i i 1 1 1 1

i (^) i 2 i i (^) i i (^) i i i i i i i i i

M M M

EI EI EI EI EI EI

æç ö÷ æç ö÷

• çç + ÷÷^ + = - çç + ÷÷ çè ÷ø çè ÷ø

D E

0 + 2 (0 + 6,4) M 1 + 6,4 M 2 =  (0 + 22,00 x 6,4) 6,4 M 1 + 2 (6,4 + 6,0) M 2 + 6,0 M 3 =  (22,00 x 6,4 + 17,78 x 6,0) 6,0 M 2 + 2 (6,0 + 4,0) M 3 + 4,0 (-4,0) =  (18,22 x 6,0 + 32,00 x 4,0)

Agrupando os termos semelhantes, obtém-se:

12,80 M 1 + 6,40 M 2 =  140,

6,40 M 1 + 24,80 M 2 + 6,00 M 3 =  247,

6,00 M 2 + 20,0 M 3 =  221,

Resolvendo: M 1 =  8,21tm M 2 =  5,59tm M 3 =  9,39tm

c) Cálculo das forças cortantes e reações

Este cálculo pode ser feito em um esquema na própria estrutura, conforme fig. 5.3 c), através das ações dos nós sobre as barras. Como os momentos sobre os apoios e no engastamento são conhecidos, o problema se resume à solução de uma seqüência de vigas simplesmente apoiadas. Calculando-se para cada viga o momento de todos os esforços em torno de uma extremidade, como  M = 0, determina-se a força vertical na outra extremidade. Esta força, a menos do sinal, é a cortante na seção. A soma vetorial das forças verticais à esquerda e direita de um apoio, resulta a reação neste apoio.

d) Diagramas de M e Q

Conforme mostra a figura 5.3 d).

5.8 - EXEMPLO NÚMERO 5.2 – BARRAS COM MÍSULAS

Neste exemplo vamos resolver a viga contínua da figura 5.4 a). As barras são de seção retangular, com largura constante e altura variando segundo uma parábola (mísulas parabólicas).

a) Cálculo dos fatores de forma G’ , G e F e das reações fictícias A e B

Os valores indicados na figura 5.4 b) foram obtidos através do programa <FATORES.EXE>, de autoria do autor e que faz parte de um pacote de programas que está disponível para os alunos e também podendo ser copiado por qualquer pessoa interessada.

b) Montagem e solução do sistema de equações

F i Mi- 1 + (G i + G’ i+1) Mi + F i+1 Mi+1 =  (B i + A i+1)

0 + (0,177 + 0,819) M 1 + 0,642 M 2 =  (0,499 + 8,326)

0,642 M 1 + (0,819 + 0,177) M 2 + 0 =  (8,326 + 0)

ou, 0,996 M 1 + 0,642 M 2 =  8, 0,642 M 1 + 0,996 M 2 =  8,

Resolvendo, obtém-se: M 1 =  5,94 tm e M 2 =  4,53 tm

c) Ações dos nós sobre as barras e diagramas finas na figura 5.4 c) e d).

Figura 5.4 – Exemplo número 2

• 1. Hipóteses e conceitos preliminares .........................................................................
  • 1.1 – Introdução .......................................................................................................
• 2. Coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga .............................................
  • 2.1 – Fatores de forma G`,G e F .............................................................................
  • 2.2 – Reações fictícias A e B
• 3. Exercícios propostos
• 4. Fatores ou termos de carga E e D ............................................................................
• 5. A equação dos três momentos
  • 5.1 – Introdução .......................................................................................................
  • 5.2 – Dedução da equação dos três momentos
  • 5.3 – Equação dos três momentos caso barras prismáticas .....................................
  • 5.4 – Engastamento .................................................................................................
  • 5.5 – Extremidades articuladas ou com balanço
  • 5.6 – Roteiro ............................................................................................................
  • 5.7 – Exemplo número 5.1 – Viga com barras prismáticas .....................................
  • 5.8 – Exemplo número 5.2 – Barras com mísulas
  • 5.9 – Exemplo número 5.3 – Viga simétrica
• 6. Outros coeficientes relativos à barra, à carga e às condições de extremidade ........
  • 6.1 – Coeficiente de transmissão ou propagação 
  • 6.2 – Coeficiente de rigidez ao giro  .....................................................................
    • 6.2.1 – Caso “outra extremidade engastada”
    • 6.2.2 – Caso “outra extremidade articulada”
  • 6.3 – Convenção de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças do nós ........
  • 6.4 – Momentos de engastamento perfeito
    • 6.4.1 – Barra bi-engastada
    • 6.4.2 – Barra engastada-articulada .................................................................
    • 6.4.3 – Barra articulada-engastada .................................................................
  • 6.5 – Observações sobre os coeficientes .................................................................
• 7. O Processo de Cross
  • 7.1 – Introdução .......................................................................................................
  • 7.2 – Coeficiente de distribuição  ..........................................................................
  • 7.3 – Roteiro para determinação dos momentos fletores sobre os apoios
  • 7.4 – Exemplo número 7.1
  • 7.5 – Vigas contínuas com balanço .........................................................................
  • 7.6 – Exemplo 7.3.....................................................................................................
• 8. Engastamento elástico
  • 8.1 - Exemplo número 8.1
• 9. Recalques de apoio e variação de temperatura
• 10. Simplificações de simetria
  • 10.1 – Eixo de simetria sobre um apoio ..................................................................
  • 10.2 – Eixo de simetria divide ao meio o vão central .............................................
  • 10.3 – Engastamento móvel
  • 10.4 – Exemplo ........................................................................................................
• 11. Exercícios propostos
• ANEXO 01 – Linhas de Influência de vigas contínuas - A1.1 – Teorema de Müller-Breslau - A1.2 – Exemplo de aplicação .................................................................
• Figura 5.5 – Exemplo número

6 – OUTROS COEFICIENTES RELATIVOS À CARGA, À BARRA E ÀS

CONDIÇÕES DE EXTREMIDADE

6.1 – COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO OU PROPAGAÇÃO 

Seja uma barra articulada-engastada (ou engastada-articulada). Caso se aplique um momento na extremidade articulada, ocorre uma transmissão ou propagação para a extremidade oposta engastada. Pelo princípio da superposição de efeitos, o valor do momento

transmitido é sempre proporcional ao valor do momento aplicado, ou seja, MBA = AB MAB,

onde AB é definido como coeficiente de propagação ou transmissão.

O valor de AB pode ser facilmente determinado em função dos fatores de forma,

aplicando-se a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 6.1.

Figura 6.1 – Coeficiente de propagação AB

O giro real do nó B vale zero. Assim, a equação de compatibilidade de giro do nó B, fica:

0 = F MAB – G ABMAB

daí, AB = F / G ................................................................................................ (6.1)

Caso a barra AB seja engastada articulada, procedimento análogo ao anterior conduz

ao coeficiente de propagação BA:

Figura 6.2 – Coeficiente BA

BA = F / G

„ ............................................................. (6.2)