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Aula 3
Frederico Guilherme de Carvalho Cunha
VELOCIDADE INSTANTÂNEA META Expandir o estudo de cinemática para o caso onde existe aceleração e orientar sobre a utilização de gráficos para estudar os movimentos. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: determinar a diferença entre velocidade média e velocidade instantânea; calcular a velocidade instantânea de objetos acelerados; construir gráficos que mostram a evolução temporal da posição e da velocidade de objetos que estão acelerados. PRÉ-REQUISITOS Conceituação de Sistemas de Referência, conceitos básicos de cinemática e álgebra básica.
Física Básica
INTRODUÇÃO
Bem vindo à primeira aula de nosso segundo módulo. À medida que vamos entendendo os conceitos da física, vamos também aumentando, gradativamente, o uso de ferramentas matemáticas. Nesta aula, estudare- mos os movimentos em uma dimensão que não têm velocidade constante. Estes são os movimentos que realmente observamos no dia-a-dia. Todos os corpos, geralmente, estão sofrendo algum tipo de aceleração. Quando chegarmos ao estudo das leis de Newton, teremos um entendimento maior sobre as causas, mas hoje observaremos os efeitos de uma aceleração so- bre o movimento dos corpos. Para que possamos apreciar toda a beleza da teoria, faremos uma pequena introdução ao uso da derivada. Veremos que a derivada é um conceito simples e que, na maioria dos casos, é muito fácil de utilizar. Ao final desta aula, veremos que a utilização de gráficos é de grande valia para que possamos visualizar a trajetória de um corpo e, de maneira bastante natural, apreciar o conceito geométrico da derivada. Nesta aula, ainda, expandiremos o estudo da cinemática para os corpos acelerados. Não serão discutidos os causadores de tais acelerações, mas apenas como tais acelerações podem alterar o movimento dos corpos. Manteremos também a utilização de corpos idealmente sem massa e sem volume: “pontos materiais”. Divirta-se! (Fonte: http://www.oesteinforma.com.br)
Física Básica lugar, usaremos a expressão matemática que relaciona a velocidade média, o deslocamento e o tempo: Por que esta equação não pode ser usada para a velocidade instantânea? A razão é muito simples: verifique a figura abaixo: Esta figura mostra uma linha de trem, onde a diferença entre dois dormentes é sempre de um metro, mas que o tempo que o limpa-trilhos (aquela parte pontuda na frente do trem) leva para atravessar esta distância varia! No trecho 1, leva 10 segundos; no trecho 2, leva vinte segundos; e, no 3, ele leva quarenta segundos. Podemos calcular aqui a velocidade média: Podemos também determinar a velocidade média em cada trecho: Em três trechos distintos, portanto, obtivemos três velocidades diferen- tes porque o tempo gasto para percorrer o trecho mudou. Outra maneira de visualizar isto seria manter os tempos iguais e variar a distância percor- rida! Temos três trechos que serão percorridos no espaço de 10 segundos, mas com as velocidades que acabamos de calcular. O comprimento de cada um destes trechos é obtido facilmente ao modificarmos a equação da velocidade média:
Velocidade Instantânea (^) Aula 3 Obtemos, assim, os seguintes deslocamentos: Quando utilizamos intervalos de tempo iguais, a velocidade determina qual a distância percorrida. A distância total percorrida seria então 1,75 met- ros, que, dividida por 30 segundos, dá uma velocidade média de 0.058m/s. Mas, estes valores não se correspondem! Parece haver algo errado; e, de fato, há. Nós criamos uma divisão arbitrária entre três momentos quando o trem passava pelos trechos 1, 2 e 3! Não levamos em consideração que, para passar do trecho 1 para o trecho 2, houve uma diminuição da veloci- dade que não foi instantânea! A velocidade diminuiu desde um valor inicial até um valor final de maneira gradual. Dividir, então, o movimento em três trechos não foi suficiente para que pudéssemos obter o valor da velocidade instantânea em cada um dos pontos. Precisaríamos dividi-lo em muitos mais trechos! Com o aumento do número de trechos, porém, diminui o espaço de tempo que o trem gasta para percorrê-lo. Assim, podemos, formalmente, definir a velocidade instantânea: Esta equação informa-nos que a velocidade instantânea de um objeto é dada pela divisão da distância percorrida (Dx) dividida pelo tempo gasto para percorrê-la (Dt), quando este intervalo de tempo é muitíssimo pequeno, na verdade quase igual a zero. Em linguagem matemática, dizemos: “no limite de Dt tendendo a zero”. Neste limite, o denominador chega perigosamente perto do zero, mas o numerador também, e o quociente ainda existe! Esta é a definição da derivada! onde lemos que “a velocidade instantânea é dada pela derivada da posição em relação ao tempo”, ou que “a velocidade instantânea é dada pela taxa de variação da distância em relação ao tempo”. São inúmeras as maneiras de descrever esta definição. Para isso, vamos iniciar o nosso estudo de gráficos. O primeiro gráfico é o da posição em função do tempo. Utilizaremos os dados do exemplo trabalhado acima: uma partícula sai de um ponto 1 e depois de 10 segundos chega a um ponto 2 que
Velocidade Instantânea (^) Aula 3 Vejamos agora como faremos para obter as velocidades médias nos trechos 1, 2 e 3, conforme a figura da linha de trem. Podemos ver, inicial- mente, que o trecho 1 é aquele que parte do ponto 1 e vai até o ponto 2, ou seja, sai da origem e vai até uma distância de um metro em dez segundos. A velocidade média pode então ser calculada: Esses resultados já eram previsíveis, mas o ponto interessante pode ser visto na figura abaixo, onde a última figura está ligeiramente alterada: Nós podemos ver agora as três regiões distintas I, II e III. Cada uma destas três regiões tem uma velocidade média constante. Quando passa- mos entre as regiões nos pontos 2 e 3, a velocidade muda. Como podemos então interpretar as retas a e b? Por inspeção da figura, notamos que as retas que unem os pontos 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4 e as retas a e b correspondem à tangente da curva em cada um dos pontos! Isto significa que a tangente que obtemos em um gráfico corresponde à derivada da variável em y em relação à variável em x.
Física Básica Em cada ponto da curva que vai de 1 até 4, se tomarmos a tangente à curva naquele ponto, obteremos a derivada da distância em relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea! Note que, entre os pontos 1 e 2, qualquer ponto que seja escolhido terá a mesma tangente, o que significa que terá a mesma velocidade instantânea, ou seja, em todos estes pontos, a velocidade instantânea será igual à velocidade média. Quando passarmos de uma região para outra, a tangente será diferente e, portanto, a velocidade instantânea será diferente. Vejamos um exemplo para esclarecer um pouco mais estes conceitos. Considere a figura abaixo: Nós temos agora um movimento sensivelmente mais realista: um objeto sai de um ponto A que corresponde à origem do sistema de coordenadas e anda para a esquerda (ou seja, para valores negativos de x ). Depois de um segundo, chega ao ponto B e inverte a direção de movimento. Passa novamente pela origem e percorre na direção dos pontos C e D. Podemos extrair diversas informações a respeito desse movimento. A primeira delas é que, em nenhum lugar, o gráfico corresponde a uma reta. Isto significa que, em nenhum lugar, a velocidade média é igual à velocidade instantânea. Considere, por exemplo, o trecho entre A e B. O corpo vai da posição x=0 m até a posição x=-2m em apenas 1 segundo. Podemos calcular a sua velocidade média facilmente:
Física Básica A cada t, teremos um x(t). Levando isso em consideração, voltamos à equação da velocidade média (lembrando que x 1 =0 e t 1 = 0): Finalmente, rearranjando esta equação obtemos a função horária do movimento nesta região: Como o expoente de t é 1, dizemos que a distância varia linearmente com o tempo. Isto somente ocorre quando temos uma reta. Quando há uma curva, podemos ter quaisquer expoentes e mesmo algumas funções matemáticas. O importante a ressaltar é que, geralmente, partimos de uma função horária e, a partir dela, obtemos informações sobre o movimento. Antes de continuar com nosso estudo, vamos dar uma “parada” a fim de verificar como resolveremos alguns probleminhas... x ( t ) = 0,1 t
ATIVIDADES
I. A posição de um automóvel foi observada em vários momentos cujos resultados estão colocados na tabela abaixo. Encontre a velocidade do carro para (a) o primeiro segundo; (b) os últimos três segundos e (c) todo o período de observação.
Velocidade Instantânea (^) Aula 3 II. O gráfico abaixo mostra o movimento de um carro preso em um congestionamento. Sua velocidade muda o tempo todo. (a) Se a sua única informação fosse a distância percorrida durante o tempo disponível, qual seria a velocidade média que você obteria? (b) Conhecendo o gráfico, qual foi a velocidade mais alta alcançada pelo carro?
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ACELERAÇÃO
Nos parágrafos anteriores, vimos que o conceito de velocidade in- stantânea é diferente da velocidade média. Vimos também alguns gráficos que mostravam trechos percorridos com velocidades diferentes. Particu- larmente, discutimos o caso daquele pobre coitado que está preso em um grande congestionamento. Vamos prestar um pouco mais de atenção a este problema. Vamos imaginar uma grande auto-estrada que tem um trecho de cerca de 10 km em linha reta e com limite de velocidade de 120 km/h. Imaginemos também que este trecho da estrada está localizado nas imediações de uma grande metrópole. Qual vai ser a diferença entre a velocidade média e a velocidade instantânea em cada ponto de um mo- torista transitando por esta estrada? Depende. Sim, depende. Depende do horário. Se este motorista está chegando à cidade às três horas da manhã encontrará uma estrada vazia e poderá manter uma velocidade constante de 120 km/h por todo o trajeto, fazendo com que a velocidade média seja igual à velocidade instantânea em cada ponto do trajeto. Imagine agora que este infeliz cidadão resolva chegar às 7.30 da manhã. A estrada estará totalmente congestionada e o motorista ficará preso naquele anda-pára- anda-pára sem fim. A cada ponto do trajeto, a velocidade instantânea será muito diferente da velocidade média. Para que isto ocorra, o motorista deverá utilizar algum mecanismo que lhe permita alterar a velocidade do automóvel: o freio ou o acelerador! Em qualquer um dos casos, ele deverá aplicar uma força que resultará em uma aceleração do automóvel, seja ela para aumentar ou para diminuir a velocidade. A aceleração, portanto, está intimamente ligada à variação da velocidade, que, por sua vez, é medida em relação ao tempo. Uma grande variação de velocidade em um curto espaço de tempo é obtida com uma grande aceleração e uma pequena variação de velocidade em um grande espaço de tempo corresponde a uma pequena aceleração. Voltamos, assim, ao ponto que discutimos anteriormente nesta aula: as- sim como a velocidade instantânea está relacionada à taxa de variação da posição em relação ao tempo, a aceleração de um corpo está relacionada à taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Assim como no caso da velocidade, podemos trabalhar com dois tipos de aceleração: média e instantânea:
Física Básica Antes de podermos apreciar as implicações desta relação, será necessário fazer uma pausa para introduzir algumas noções elementares de como se calcula a derivada de uma função. Um estudo formal de Cálculo apenas é indicado para aqueles estudantes que dele precisarão em cursos mais adiantados de física. Para o propósito deste nosso curso de física básica, apenas algumas regras gerais, acompan- hadas de alguns exemplos serão suficientes para a compreensão de toda a física do curso. Sendo assim, vamos iniciar definindo uma função f(x). O que é uma função? Uma função é apenas uma informação sobre como um objeto se relaciona com outro. Imagine que temos uma variável indepen- dente, como por exemplo, o tempo. O tempo passa independentemente de nossa vontade. O nosso dia é dividido em uma infindável série de tarefas, mas todas elas dependem, de uma maneira ou de outra, do tempo. Temos horário para acordar, almoçar, sair do trabalho, etc. Por isto dizemos que vivemos em função do tempo. Nosso dia é uma função do tempo. Nós podemos dizer então o seguinte: dia = dia (tempo) Esta equação simplesmente nos diz que nosso dia depende do tempo, mas não nos dá qualquer informação sobre como nós dividimos o nosso tempo. Outro exemplo pode ser extraído de nossa discussão anterior. A posição do trem também depende do tempo! Se ele parte da origem (ou seja, colocamos nosso sistema de coordenadas no ponto inicial da trajetória) e disparamos um cronômetro para acompanhar o seu movimento em relação ao tempo, então podemos dizer: x = x (t) Novamente, esta equação nos diz que a posição do trem depende do tempo, mas não nos diz como é essa dependência. Neste caso, no entanto, nós sabemos como a posição do trem varia com o tempo, porque nós sabe- mos a velocidade! Podemos escrever então, como já vimos anteriormente: x ( t ) = 0.1 t Agora sim. Esta é uma função completa. Ela nos diz que a posição do trem depende do tempo, e nos diz também como é essa dependência. É este tipo de função que nós iremos agora aprender a derivar. Comecemos com as regras gerais de derivação:
Física Básica
ATIVIDADES
I. Um automóvel parte do repouso sofrendo uma aceleração. Após um se- gundo, a sua velocidade é de 20.0 m/s e após 2 segundos a sua velocidade é de 60 m/s. Queremos saber: a. A aceleração é constante? b. Um bom carro de passeio acelera de 0 a 100 km/h em cinco segundos. Este automóvel do exercício é real ou fictício? II. Considere o gráfico abaixo: Este gráfico mostra a velocidade de um objeto em função do tempo. As- sumindo que ele se move em apenas uma dimensão (eixo x), e que este eixo tem o seu lado positivo para a direita, responda: a. Para qual direção este objeto se move em cada trecho? b. Qual o valor da aceleração em cada trecho? c. Qual o valor da aceleração média durante todo o trajeto? I. O movimento de um corpo é definido por sua função horária que é dada por: x ( t ) = 20+18t-7t^2 onde x é dado em metros e t em segundos. Determine: a. A posição deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos. b. Em que momento ele passa pela origem. c. Qual a velocidade deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos. d.Em que momento este corpo inverte o seu sentido de movimento. e. Qual a aceleração deste corpo quando t é igual a zero e 10 segundos.
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COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
I. Vamos por partes: a. Como estamos lidando com dois trechos distintos, podemos assumir que a aceleração medida em cada um deles é a aceleração média. Sendo assim: Portanto, a aceleração variou durante o tempo. b. A segunda pergunta é mais complicada, mas nada que não possa ser resolvido. O primeiro problema é que estamos usando unidades diferentes. Para podermos comparar as acelerações, vamos converter a velocidade final do carro de passeio de km/h para m/s. Precisamos, assim, consultar uma tabela de conversão. Facilmente obteremos a relação: Fazemos uma regra de três então para converter: Levando a: 1 x x = 100 x 0, x = 27,78 m/s Concluímos, então, que, em cinco segundos, o carro de passeio passou de 0 a 27,78m/s. Comparando agora com o nosso carro que chegou a 60 m/s em apenas dois segundos podemos facilmente concluir que o carro é fictício. Apenas por diversão, podemos calcular a velocidade deste carro depois de cinco segundos, assumindo que a aceleração média dele se mantém em 30 m/s^2.
Velocidade Instantânea (^) Aula 3 Podemos ver então que, após 10 segundos, o corpo já passou pela origem e se encontra a 500 metros de distância da origem, mas agora para a sua esquerda! b. A resposta a esta indagação aparece ao nos perguntarmos em qual instante t , nós temos x ( t )= 0 : Utilizando a fórmula de Báskara e alguns arredondamentos, obtemos: Como vemos, existem duas respostas, uma positiva e uma negativa. A primeira vista pode parecer estranho, mas não é. A resposta positiva, 3,4 segundos, é facilmente visível: quando o cronômetro foi disparado o objeto se encontrava à direita da origem, a uma distância de 20 m. Depois de 3,4 segundos, ele passou pela origem e se enveredou no lado esquerdo do eixo x. Mas, e no caso negativo? O tempo negativo simplesmente nos informa que o movimento do objeto já existia antes de o cronômetro ser disparado! E este objeto passou pela origem 0, segundos antes de que o cronômetro começasse a marcar o tempo. Todos estes dados ficarão mais claros se olharmos um gráfico que mostra a posição do corpo em função do tempo.
Física Básica Neste gráfico fica claro que o corpo está quase sempre no lado negativo do eixo x! Ele vem se aproximando pela esquerda, passa pela origem quando t = -0.9s , chega a uma distância de 20 metros da origem quando é disparado o cronômetro, continua indo para a direita, pára e volta, passando novamente pela origem quando t = 3,4 s. a. Para determinar as velocidades deste corpo em alguns instantes, ou seja, suas velocidades instantâneas, precisaremos determinar a derivada de x ( t ): Para obtermos então o valor destas velocidades, basta substituir os valores: Encontramos-nos novamente com valores positivos e negativos da velocidade. No primeiro caso, lembramos que o corpo se encontra a uma distância de 20 metros da origem, e no lado positivo do eixo x. Como o valor da velocidade é positivo, concluímos que ele continua se movendo para a direita. Quando se passaram 10 segundos, no entanto, o corpo se encontra a -500 metros e com velocidade de -22 m/s! ou seja, se afastando da origem (como podíamos ver no gráfico). b. Esta pergunta se parece muito com aquela encontrada no item b. Para sabermos quando o corpo inverte o sentido de movimento só precisamos saber quando ele pára! Pois não é possível deixar de ir para frente e começar a ir para trás sem uma parada. Parar significa ter velocidade zero: Concluímos, então, que o corpo inverte o sentido de movimento quando t = 4,5 s. Novamente achamos adequado mostrar um gráfico da velocidade em função do tempo.
