Probabilidade e Distribuições: Variáveis Aleatórias e Funções de Probabilidade, Manuais, Projetos, Pesquisas de Probabilidade

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VARIÁVEL ALEATÓRIA

e

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Variável Aleatória

Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x  R é denominada uma variável aleatória.

W

PP PI IP II

X : número de vezes que saiu par em 2 lances do dado

0 1 2

X = 0  II X = 1  IP ou PI X = 2  PP

Experimento: jogar 1 dado duas vezes e observar o resultado (P = par e I= impar)

Variável Aleatória

• Variável aleatória discreta

Uma v.a. é discreta quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for finito ou infinito enumerável.

Observa-se o sexo (característica) das crianças em famílias com três filhos ( M : masculino e F : feminino).

Exemplo:

Espaço amostral:

W = {( MMM ), ( MMF ), ( MFM ), ( FMM ), ( MFF ), ( FMF ), ( FFM ),( FFF )} w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8

Defina X : nº de crianças do sexo masculino ( M ).

W (^) MMM (^) MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF X (^3 2 2 2 1 1 1 )

 Então X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}, logo é uma variável aleatória discreta.

Variável Aleatória

• Variável aleatória contínua

Uma v.a. é contínua quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for não enumerável.

Observa-se o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica.

Defina T : tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da fábrica.

 Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real não negativo.

Exemplo:

O Departamento de Estatística é formado por 35

professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma

comissão de 3 professores será constituída sorteando,

ao acaso, três membros do departamento.

Qual é a probabilidade da comissão ser formada por

pelo menos duas mulheres?

Vamos definir a v.a.

X : nº de mulheres na comissão.

Exemplo 1:

Quais são os possíveis valores que X pode assumir?

x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0,203 0,450 0,291 0,

Assim, P ( X  2) = P( X =2) + P( X =3) = 0,291 + 0,056 = 0,347.

(MMM)^143534133312 0,056 3

(MMH) 3514 3413 3321 0,097 2

(MHM) 3514 3421 3313 0,097 2

(HMM) 3521 3414 3313 0,097 2

(MHH)^143534213320 0,150 1

(HMH) 3521 1434 3320 0,150 1

(HHM) 3521 3420 1433 0 , 150 1

(HHH) 3521 3420 1933 0,203 0

  

  

  

  

  

  

  

  

Espaço amostral Probabilidade X

Defina X : soma dos pontos nos dois lançamentos do dado.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P( X = x ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/

Então,

P ( X < 6) = P ( X =5) + P ( X =4) + P ( X =3) + P ( X =2) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/ = 10/36 = 0,

Função de probabilidade de X : 

Podemos estar interessados em outras variáveis aleatórias definidas para o mesmo espaço amostral.

y 1 2 3 4 5 6 P ( Y = y ) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/

Y : valor máximo obtido dentre os dois lançamentos.

Z : diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento.

z -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

P ( Z = z ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/



MÉDIA E VARIÂNCIA

Valor Esperado (média): Dada a v.a. X , assumindo os

valores x 1 , x 2 , ..., xn , chamamos de valor médio, ou valor esperado, ou esperança matemática de X o valor

No exemplo, para média de X (soma de pontos), temos:

E ( X ) = 2×( 1 / 36 ) + 3 ×( 2 / 36 ) + ... + 11 ×( 2 / 36 ) + 12 ×( 1 / 36 )

ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento dos dois dados é igual a 7.

Notação:  = E ( X )

( ) ( ) ... ( ) ( ) 1

1 1 i

n

i

E X  x  P X  x   xn  P X  xn  xi  P X  x 

Variância: É o valor esperado da v.a. ( X – E ( X ))^2 , ou seja,

se X assume os valores x 1 , x 2 , ..., xn , então

Da relação acima, segue que

DP( X )  Var( X ).

Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada

positiva da variância, isto é,

Notação: (^) σ^2  Var( X ).

Notação: σ  DP( X ).

Var( ) [ - ( )] ( ) 1

2 i

n

i

X  (^)  xi E X  P X  x 

Var( X )  E ( X^2 ) –[ E ( X )]^2.

2. Se Y = aX + b , em que a e b são constantes, então

E( Y ) = E( aX + b ) = a E( X ) + b e Var( Y ) = Var( aX + b ) = a^2 Var( X ).

Propriedades:

1. Se X = a , em que a é uma constante, então

E( X ) = a e Var( X ) = 0.

Exemplos:

• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
• o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo;
• um paciente submetido a um tratamento, durante um período de tempo fixo, cura-se ou não da doença;
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face “ 5 ”.

Modelo de Bernoulli ou Binário

• MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS -

Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados.