Variável Aleatória Discreta: Conceito, Experimento e Distribuições de Bernoulli e Binomial, Esquemas de Probabilidade

Baixe Variável Aleatória Discreta: Conceito, Experimento e Distribuições de Bernoulli e Binomial e outras Esquemas em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

e

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Característica Variável -Raça -Peso -Idade

Experimento ou Processo Aleatório

Classificação: Qualitativas Quantitativas

Espaço Amostral W

Variáveis Aleatórias Funções Números

-Probabilidades -Distribuições

Conclusões Inferência Medidas

Variável Aleatória

Uma variável aleatória pode ser classificada em:

• Variável aleatória discreta

Uma variável aleatória é discreta quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for finito ou infinito enumerável.

• Variável aleatória contínua

Uma variável aleatória é contínua quando o conjunto de valores possíveis que ela assume for não enumerável.

1. Observa-se o sexo (característica) das crianças em famílias com três filhos ( M : masculino e F : feminino).

Exemplos:

Espaço amostral:

W = {( MMM ), ( MMF ), ( MFM ), ( FMM ), ( MFF ), ( FMF ), ( FFM ),( FFF )} w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8

Defina X : número de crianças do sexo masculino ( M )

W (^) MMM (^) MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF X (^3 2 2 2 1 1 1 )

 Então X assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3}, logo é uma variável aleatória discreta.

3. Observar o tempo de vida, em horas, de lâmpadas produzidas por uma fábrica.

Defina T : tempo de vida, em horas, da lâmpada escolhida, ao acaso, da fábrica.

 Então, T é uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real não negativo.

Exemplos:

x x 1 x 2 ... xn P ( X = x ) P ( X = x 1 ) P ( X = x 2 ) ... P ( X = xn )

0 ( ) 1 e ( ) 1 1

     

n i (^) i= i P X x P X x

Uma função de probabilidade deve satisfazer:

Função (ou distribuição) de probabilidade: É a função

que atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua probabilidade de ocorrência e pode ser representada por

Caracterização

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

10

x 0 1 2 3 P ( X = x ) 0,203 0,450 0,291 0,

Assim, P ( X  2) = P( X =2) + P( X =3) = 0,291 + 0,056 = 0,347.

(M M M ) 3514 3413 3312 0,056 3

(M M H)^143534133321 0,097 2

(M HM )^143534211333 0,097 2

(HM M ) 3521 1434 1333 0,097 2

(M HH) 3514 3421 3320 0,150 1

(HM H) 3521 3414 3320 0,150 1

(HHM ) 3521 3420 3314 0 , 150 1

(HHH) 3521 3420 1933 0,203 0

  

  

  

  

  

  

  

  

Espaço amostral Probabilidade X

W = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

Qual é a probabilidade de cada ponto wi de W?

Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes, de forma independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos nos dois lançamentos ser menor do que 6?

Admitindo-se que o dado seja perfeitamente homogêneo e sendo os lançamentos independentes, P ( wi ) = 1/36 , qualquer wi  W.

Podemos estar interessados em outras variáveis aleatórias definidas para o mesmo espaço amostral.

y (^) 1 2 3 4 5 6 P ( Y = y ) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/

Y : valor máximo obtido dentre os dois lançamentos

Z : diferença entre os pontos do 2º. e do 1º. lançamento

z (^) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

P ( Z = z ) (^) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/



VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA

Qual é o valor médio da soma dos pontos ( X ) no lançamento de dois dados? (^) W = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

x

P(X=

x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6/ 5/ 4/ 3/ 2/ 1
0

x P ( X = x ) 2 1/ 3 2/ 4 3/ 5 4/ 6 5/ 7 6/ 8 5/ 9 4/ 10 3/ 11 3/ 12 1/

 36 pontos igualmente prováveis

Variância: É o valor esperado da v.a. ( X – E ( X ))^2 , ou seja,

se X assume os valores x 1 , x 2 , ..., xn , então

Var( X )  E {[ X  E ( X )]^2 }

Var( X )  E ( X^2 ) –[ E ( X )]^2  E ( X^2 ) – ^2

Desenvolvendo a fórmula acima, e lembrando que E ( X ) = μ, obtemos a seguinte fórmula alternativa

[ ( )] ( )

1

2 i

n

i

 xi - E X  P X  x





 

n

i

xi P X xi

1

O Desvio Padrão é definido como a raiz quadrada

positiva da variância, isto é,

DP( X ) = Var( X )

A notação usual de variância é

Var( X )  ^2

Notação: DP(^ X ) 

2. Se Y = aX + b , em que a e b são constantes, então

E( Y ) = E( aX + b ) = a E( X ) + b

Propriedades:

1. Se P( X = a ) = 1, então

E( X ) = a e Var( X ) = 0.

e Var( Y ) = Var( aX + b ) = a^2 Var( X ).

Exemplos:

• uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
• o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo;
• um paciente é submetido a um tratamento: o tratamento é eficaz ou não;
• um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
• no lançamento de um dado ocorre ou não a face “ 5 ”.

Modelo de Bernoulli ou Binário

• MODELOS PROBABILÍSTICOS DISCRETOS -

Na prática, existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados.