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Unidade 1 – Sentenças, Representação Simbólica,
Tautologia, Contradição e Contingência.
1 – Introdução e Conceitos Iniciais:
Geralmente nos expressamos, em português, através de gestos da fala e da escrita. No caso da escrita utilizamos interrogações, exclamações e conjunções expressadas em sentenças, que por sua vez, podem ser verdadeira ou falsa. Existem sentenças do tipo:
A nota obtida em lógica depende do número de questões que acertar. Dez é menor do que sete. Existem formas de vida em outros planetas.
Ou seja, observa-se que as sentenças são passíveis de serem verdadeiras ou falsas. E justamente a interpretação da veracidade de sentenças que a lógica trata.
Proposição: É um conjunto de símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. Ou simplesmente, é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa. Exemplos:
A lua é um satélite da terra. (verdadeira)
5. (falsa)
Vasco da Gama descobriu o Brasil. (falsa)
Valores lógicos de uma proposição: O valor lógico de uma proposição é V se a proposição for verdadeira e F se ela for falsa.
Proposições simples e composta: Proposição simples é aquela que expressa uma única idéia, ou seja, não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. Em geral são referenciadas por letras minúsculas. Já uma proposição composta é aquela formada por uma combinação de mais de uma proposição simples, estas são em geral referenciadas por letras maiúsculas. Exemplo:
q: Pedro é estudante. r: 25 é quadrado perfeito.
Q: Carlos é careca e Pedro é estudante. R: Se carlos é careta, então é feliz.
Quando deseja-se destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples q , r , s , ...; então escreve-se:
P q ,r,s,
Na lógica matemática temos duas regras fundamentas: I – Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. II – Princípio do terceiro excluído: Uma proposição é falsa ou verdadeira, não havendo um terceiro caso.
2 – Conectivos Lógicos:
Os conectivos são expressões utilizadas para compor novas proposições. Exemplos:
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Q: Não está chovendo. R: O triângulo é retângulo ou isósceles. S: O triângulo é equilátero se e somente se é equiângulo. T: Se Jorge é engenheiro, então sabe cálculo.
Assim, na lógica, destaca-se os conectivos usuais
e não ou se e somente se se ... então
3 – Tabela Verdade:
No caso de proposições compostas recorre-se ao uso da tabela verdade para verificar o valor lógico da proposição, ou seja, a tabela retrata todos os possíveis valores lógicos. Exemplos:
- Considerando a proposição p q ,r têm-se:
q r V V V F F V F F
- Considerando agora a proposição p q^ ,r,s têm-se:
q r s V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Temos 22 4 combinações
Temos 23 8 combinações
5 – Operações Lógicas Sobre Proposições:
Negação (~): A negação da proposição P é representada por ~P , cuja tabela verdade fica:
P ~P
V F
F V
Exemplo:
- P: 2 3 5 ~P: 2 3 5
- R: Carlos é mecânico ~R: Carlos não é mecânico
- S: todos os homens são elegantes ~S: Nem todos os homens são elegantes
- T: Nenhum homem é elegante ~T: Algum homem é elegante
Conjunção ( , .): Dadas duas proposições P e Q , a conjunção é representada por P Q ou P.Q cuja tabela verdade fica:
P Q P Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Exemplo:
- P: A neve é branca Q: 2 5
P Q : A neve é branca e 2 5
2. R: 4
S: 0
sen
R S: 4 e 0
sen
Disjunção ( , +): Dadas duas proposições P e Q , a disjunção é representada por P Q ou P + Q cuja tabela verdade fica:
P Q P Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
- P: A neve é branca Q: 2 5
P Q : A neve ou branca e 2 5
2. R: 4
S: 0
sen
R S: 4 ou 0
sen
Disjunção Exclusiva ( , ): Dadas duas proposições P e Q , a disjunção exclusiva é representada por P Q ou P Q cuja tabela verdade fica: A tabela verdade de duas proposições H e K , da disjunção exclusiva fica:
P Q P
Q
V V F
V F V
F V V
F F F
Exemplo:
- Considere as proposições P e Q abaixo: P: Carlos é médico ou professor. Q: Mário é alagoano ou gaúcho.
Em P , Carlos pode ser médico; pode ser professor ou ainda pode ser médico e professor. Mas em Q , Mário é alagoano ou gaúcho. Assim em P temos a disjunção inclusiva (ou simplesmente disjunção) enquanto que em Q temos a disjunção exclusiva.
Condicional ( ): Dadas as proposições P e Q , a condicional é representada por P Q cuja tabela verdade fica:
P Q P Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplo:
- P: O mês de maio têm 31 dias Q: A Terra é plana
P Q : Se o mês de maio têm 31 dias, então a terra é plana
- R: Dante escreveu os lusíadas S: Cantor criou a teoria dos Conjuntos
R S: Se Dante escreveu os lusíadas, então Cantor criou a teoria dos conjuntos.
OBS: Uma condicional P Q não afirma que o consequente Q se deduz ou é consequência do antecedente P. O que o condicional afirma é uma relação entre os valores lógicos de P e Q de acordo com a tabela verdade.
(f) 3 2 20 2 Resp: F
(g) tg 1 seesomentesesen 0 Resp: F
(h) 1 1 2 2 Resp: V (i) Não é verdade que 12 é um número ímpar. Resp: V (j) (^) 2 2 4 3 (^) 3 7 1 1 4 Resp: V
(k) (^) ~ sen (^) 0 0 oucos 0 1 Resp: F
(l) ~ 2 3 8 e 42 43 Resp: F
- Determinar V p em cada um dos seguintes casos:
(a) V q F e V p q F Resp: V p V ou V p F
(b) V q F e V p q F Resp: V p F
- Determinar V p e V q em cada um dos seguintes casos:
(a) V p q V e V p q F Resp: V p F e V q V
(b) V p q V e V p q V Resp: V p V e V q V
7 – Tabela Verdade de Uma Proposição Composta:
Com as proposições simples do tipo p , q , r , s , ... e fazendo uso dos conectivos ~, , , , é possível construir proposições compostas tais como:
P p,q ~ p ~q
onde, com o emprego da tabela verdade é possível verificar todas as possibilidades de V e F.
Exemplo:
- Construir a TV das proposições seguintes.
a) P p,q ~ p ~q
p q ~q P ~q ~^ ^ p ~q V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V
b) P p,q,r p ~r q ~r
p q r ~r p ~r q ~r p ~r q ~r
V V V F V F F
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
8 – Valor Lógico de Uma Proposição Composta:
Dada uma proposição P p,q,r,s,... pode-se determinar seu valor lógico conhecendo, a
priori, os valores lógicos de p , q , r , s , ... Exemplo:
- Sabendo que (^) V (^) p (^) V e (^) V q (^) F , determinar (^) V (^) P , onde
P p,q ~ p q ~ p ~q .
Resolução: Mediante os valores lógicos de p e q pode-se obter:
V P^ ^ ~ V^ F ^ ~^ V ~F ^ ~ V^ ^ F^ V ^ F F V
2. Sejam as proposições p: 3 e 0
q: sen. Determine o valor lógico da
proposição: P p,q p q p p q .
Resolução: Como V P F e V q F então têm-se:
V P F F F F F V F F V V V
9 – Precedência e Eliminação de Parêntesis:
O uso de parêntesis se faz necessário para evitar qualquer ambiguidade, assim, por exemplo, a proposição p q r pode ser escrita como:
1) p q r
- p q r
que não têm o mesmo significado (basta construir a TV de ambas ).
(a) ~ P ~Q Não é verdade que João é gaúcho e Jaime não é paulista.
(b) ~~P Não é verdade que João não é gaúcho.
(c) (^) ~ (^) ~P ~Q Não é verdade que João não é gaúcho ou que Jaime não é
paulista.
(d) P ~Q Se João é gaúcho, então Jaime não é paulista.
(e) (^) ~ P ~Q João não é gaúcho se e somente se Jaime não é paulista.
(f) ~ ~Q P Não é verdade que, se Jaime não é paulista, então João é
gaúcho.
- Sejam as proposições, P: Marcos é alto Q: Marcos é elegante Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) Marcos é alto e elegante. P Q
(b) Marcos é alto, mas não é elegante. P ~Q
(c) Não é verdade que marcos é baixo ou elegante. ~ ~ P Q
(d) Marcos não é nem alto e nem elegante. ~ P ~Q
(e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. P ~ P Q
(f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. ~ ~ P ~Q
- Construir a T.V. das seguintes proposições:
(a) P ~Q P (b) ~ P ~Q
(c) ~ ~P ~Q
11 – Lista de Exercícios. 1
- Sejam as proposições, P: Suely é rica Q: Suely é feliz Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições.
(a) Suely é pobre e infeliz. Resp: ~ P ~Q
(b) Suely é pobre ou rica, mas é infeliz. Resp: ~ P P ~Q
- Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas.
(a) x y 0 e z 0 ou z 0 Resp: x y 0 z 0 z 0
(b) x 0 e y z x ou z 0 Resp: x 0 y z x z 0
(c) x 0 ou x 0 e y 0 Resp: x 0 x 0 y 0
(d) x y e z t ou x y e z 0 Resp: x y z t x y z 0
(e) Sex 0 entãoy 2 Resp: x 0 y 2
(f) Sex y 2 entãoz 0 Resp: x y 2 z 0
- Determinar o valor lógico (V ou F) da proposição p q ~r , sabendo que V p V r V.
Resolução:
Em termos de valor lógico temos que: Se V q V , então
V p q ~r V V ~V V V F V F F. Mas, se V q F , então V p q ~r V F ~V V F F V F F. Portanto, independentemente do
valor lógico de q a proposição será sempre falsa.
- Suprimir o maior número possível de parêntesis na proposição q r q p ~ ~q .
Resolução:
q r q p ~ ~ q q r q p ~ ~ q
q r q p ~~q
12 – Tautologia, Contradição e Contingência:
Tautologia é toda proposição composta que é verdadeira independentemente dos valores verdade das proposições simples que há compõem.
Exemplo:
- Construir a TV das seguintes proposições:
a) ~ p ~p
p ~p p ~p ~ ^ p ~p V F F V F V F V
b) p q ~q p
P q ~q q ~q p q ~q p q ~q p V V F F V V V F V F V V F V F F F V F F V F F V
Observação: Se P p,q,r,... é uma tautologia, então P P (^) 0 ,Q 0 ,R 0 ,... também é tautologia, quaisquer que sejam as proposições P 0 ,Q 0 ,R 0.
Contradição é toda proposição cujo valor lógico não é tautológico, ou seja, a última coluna é sempre falsa.
Exemplo
- Construir a TV das seguintes proposições:
a) p ~p
p ~p p ~p
V F F
F V F
tautologia
tautologia
contradição
b) ~ p p ~q
p q ~q p ~q ~p ~ p p ~q V V F F F F V F V V F F F V F F V F F F V F V F
Observação: Se P p,q,r,... é uma contradição, então P P (^) 0 ,Q 0 ,R 0 ,... também é contradição, quaisquer que sejam as proposições P 0 ,Q 0 ,R 0.
Contingência é toda proposição composta que não é tautológica nem contradição.
Exemplo:
- Construir a TV da seguinte proposição:
x 3 x y x 3
x 3 x^ y x 3 x ^ y x ^3 x 3 x y x 3 V V F F F V F F V V F V V V F F F V V F
13 - Exercício:
- Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraditórias, ou contingentes:
a) p ~p q b) ~ p q p q
c) p q q p d) p q q p
e) p ~q p ~q f) ~ p ~q p q
g) p p q r h) p q p q r
Resp: (a), (b), (c), (g), (h) tautológicas (d), (e), (f) contingências
contradição
contingência
Mediante a T. V. pode-se dizer que
x y x 4 x 4 x y
x y x 4 x 4 x y
15 – Equivalência Lógica
A palavra “equivalência” significa: Igualdade de valor, estimação entre duas coisas; correspondência. [ DICMAXI Michaelis Português - Moderno Dicionário da Língua Portuguesa ]
(Teorema): P p,q,r,... Q p,q,r,... se e somente se a bicondicional,
P p,q,r,... Q p,q,r,... é tautológica.
È importante lembrar que os símbolos e são distintos pois,
O bicondicional é o resultado de uma operação lógica , enquanto que a equivalência estabelece uma relação. Por exemplo, que a condicional p q é tautologia.
Exemplo:
- Demonstre, mediante o teorema acima descrito, que a proposição bicondicional p ~q c p q é uma equivalência; onde V c F.
Resolução:
Para provarmos que (^) p ~q c (^) (^) p q representa (^) p ~q c (^) (^) p q deve-se
mostrar que ^ p ~q c ^ ^ p q é tautológica, ou seja; da T. V. têm-se:
p q c ~q p ~q p ~q c p q p ~q c p q V V F F F V V V V F F V V F F V F V F F F V V V F F F V F V V V
assim pelo teorema têm-se que p ~q c p q .
- Considerando as seguintes proposições verifique a equivalência mediante a T. V:
a) ~~ p p
Resolução: A T. V. para a proposição é dada como:
tautologia
p ~p ~~p V F V F V F
b) ~ p p p
Resolução: A T. V. para a proposição é dada como:
p ~p ~ p p V F V F V F
c) p q ~p q
Resolução: A T. V. para a proposição é dada como:
p q ~p ~ p q p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V
OBS: Esta equivalência é de grande importância, pois aqui a condicional pode ser trocada por uma disjunção!
d) p q p q q p
Resolução: A T. V. para a proposição é dada como:
p q p q q p p q q p p q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V
OBS: Esta equivalência também é de grande importância, pois aqui a bicondicional pode ser trocada por uma conjunção!
idênticas
idênticas
idênticas
idênticas
17 – Lista de Exercícios. 2
- Sejam as proposições P: Carlos fala Francês, Q: Carlos fala Inglês, R: Carlos fala Alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Carlos fala Francês ou Inglês, mas não fala Alemão. b) Carlos fala Francês e Inglês, ou não fala Francês e Alemão. c) É falso que Carlos fala Francês mas que não fala Alemão. d) É falso que Carlos fala Inglês ou Alemão mas que não fala Francês.
- Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas.
a) Sex 1 ouz 2 entãoy 1.
b) SeZ 5 entãox 1 e x 2.
c) Sex yentãox z 5 ey z 5.
- Determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) 2 7 9 e 4 8 12
b) 0 1 3 éirracional
c) 2 4
sen tg
d) 2
Se então sen
e) 3 2 2 3
tg
f) 1 2 4
sen cos
- Determinar V ^ p em cada um dos seguintes casos:
a) V q F e V p q V b) V q V e V p q F
- Determinar V p e V q em cada um dos seguintes casos:
(a) V ^ p q ^ V e V ^ p q ^ F (b) V ^ p q ^ F e V ^ ~p q ^ V
- Construir as tabelas verdade das seguintes proposições:
a) ~ p ~q
b) p ~q q p
c) q ~q p
d) p r q ~r
- Sejam as proposições P :tg x ctg x e Q: 2. Determinar o valor lógico de
cada uma das seguintes proposições:
a) ~ p q ~p ~q
b) p ~ p q ~p ~q
- Sabendo que a condicional p q é verdadeira, determinar o valor lógico da condicional p r q r.
- Mostrar que:
a) q p q b) q p q p c) x 0 x y x y x 0
- Mostre que p ~qnãoimplica p q.
- Mostre que as proposições p e q são equivalentes em cada um dos seguintes casos:
a) 1 3 4 1 3 16 2 p: ; q: b) p:sen 0 1 ; cos 0 0 c) p :x y; q:x z y z x,y,z R d) p :a b; q:b a e) p :OtriânguloABCéretânguloemA; q:a^2 b^2 c^2
- Demonstre por tabela verdade as seguintes equivalências:
a) p ^ p q ^ p b) (^) p q (^) r p ~r ~q c) ^ p q ^ ^ p r ^ p q r
