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RELEMBRANDO...
CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo: det M ≠ 0 ⇒ M-1^ = (^) 𝑑𝑒𝑡 𝑀^1. 𝑀̅ Quem é 𝑀̅? É a matriz adjunta, que é a matriz transposta da matriz dos cofatores. Como calcular a matriz dos cofatores, indicada por M’:
Matriz dos Cofatores
Seja M uma matriz quadrada, obtemos a matriz M’, substituindo cada elemento de M por seu cofator.
Exemplo: M = [
𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33
]
Encontrando a matriz dos cofatores: M’ = [
𝐴 11 𝐴 12 𝐴 13 𝐴 21 𝐴 22 𝐴 23 𝐴 31 𝐴 32 𝐴 33
]
A 11 = (-1)^2 |𝑎 𝑎^2232 𝑎𝑎^2333 | A 12 = (-1)^3 |𝑎 𝑎^2131 𝑎𝑎^2333 | A 13 = (-1)^4 |𝑎 𝑎^2131 𝑎𝑎^2232 |
A 21 = (-1)^3 | 𝑎𝑎^1232 𝑎𝑎^1333 | A 22 = (-1)^4 | 𝑎𝑎^1131 𝑎𝑎^1333 | A 23 = (-1)^5 |𝑎 𝑎^1131 𝑎𝑎^1232 |
Determinante
Determinante Determinante^ Determinante
Determinante Determinante Determinante
Determinante (^) Determinante
A 31 = (-1)^4 | 𝑎𝑎^1222 𝑎𝑎^1323 | A 32 = (-1)^5 | 𝑎𝑎^1121 𝑎𝑎^1323 | A 33 = (-1)^6 |𝑎 𝑎^1121 𝑎𝑎^1222 |
Matriz Adjunta: 𝑀̅ É a matriz transposta da matriz dos cofatores. Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas.
Matriz Inversa: 𝑴−𝟏
det M ≠ 0 ⇒ 𝑀−1^ = (^) 𝑑𝑒𝑡 𝑀^1. 𝑀̅
MATRIZES INVERTÍVEIS:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = In (matriz unidade de ordem n / matriz canônica do Rn).
Se A não é invertível dizemos que A é singular.
Sejam as matrizes:
A = [
], B = [
𝑎 11 ′^ 𝑎 12 ′
𝑎 21 ′^ 𝑎 22 ′
] e In= [^1 0 1
]
A. B = In e B. A = In
Logo, a =3 b =-2 c= -4 d=
[𝑇−1]𝑐𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛^ = [^3 −
]
Quando é uma matriz 2 x 2 podemos fazer:
Primeiro temos que verificar se o determinante é diferente de zero, para que tenha inversa. Trocamos de posição os elementos da diagonal principal. Trocamos de sinal os elementos da diagonal secundária. Depois de feitas essas alterações, dividimos todos os elementos pelo determinante. A matriz obtida é a matriz inversa.
Obtenção da matriz inversa por escalonamento:
Seja M = [
𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 23 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 33
] a matriz dada.
Para obter a matriz inversa por escalonamento devemos:
[
]
[
]
n. 32 – TRANSFORMAÇÕES INVERTÍVEIS
Para que uma transformação linear seja invertível, é necessário e suficiente que ela seja um isomorfismo (bijetora).
Teorema : Se T : V W é um isomorfismo, A uma base de V e B uma base de W, então a matriz da transformação linear T ^1 : W V é tal que:
T ^1 BA T AB ^1
Corolário : Seja T^ : V W uma transformação linear e A uma base de V e B uma base de W.
Então T é invertível se e só se det T^ BA ^0.
Exercícios:
- Seja T : ^2 ^2 uma transformação linear dada por
2 3
can^34 A T can , ache as regras de T e de T-.
a) Regra de T: T (x, y)can = 𝛼 T (v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) Como A = {(1, 0), (0, 1)} e á base canônica do R^2 (x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽
T (x, y) = 𝛼 T (v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) T (x, y) = x (3, 2) + y (4, 3) T (x, y) = (3 x + 4 y, 2x + 3 y)
b) Regra de^ T ^1 : Primeiro temos que achar a matriz inversa.
[𝑇−1]𝑐𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛^ = [^3 2 3
]
−
1º determinante: det T = 9 – 8 = 1
2º encontrando a matriz cofator: A 11 = (-1)^2. |3| = 1. 3 = 3 A 12 = (-1)^3. |2| = - 1. 2 = - 2
A 21 = (-1)^3. |4| = - 1. 4 = - 4 A 22 = (-1)^4. |3| = 1. 3 = 3
Matriz cofator: 𝑀′ = [^3 − 2 − 4 3
]
Matriz adjunta: 𝑀̅ = (𝑀′)𝑡^ = [^3 − 4 − 2 3
]
Encontrando a matriz inversa: 𝑀−1^ = (^) 𝑑𝑒𝑡 𝑀^1. 𝑀̅
𝑀−1^ = 11. [^3 − 4
] = [^3 − 4
]
Encontrando a transformação: T-1^ (x, y)can = 𝛼 T(v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) (x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽
T (x, y) = 𝛼 T (v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) T (x, y) = x (3, - 2) + y (- 4, 3) T-^1 (x, y) = (3 x - 4 y, - 2x + 3 y)
- Seja T^ :^ ^2 ^2 uma transformação linear dada por
(^)
^ 1 1
can^21 A T can , ache as regras de T e de T-1.
T-^1 (x, y) = (𝑥+ 3 𝑦 , −^ 𝑥^ + 3 2 𝑦)
- Considere a transformação linear T: R^3 → R^3 , tal que
[𝑇] = [
] na base canônica. Encontre a [𝑇] 𝑒 [𝑇]−^.
a) [𝑇] T (x, y, z)can = 𝛼 T(v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) + 𝛿 T (v 3 ) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base canônica do R^3 (x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 1, 0) + 𝛿 (0, 0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 z = 𝛿 T (x, y, z) = 𝛼 T (v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) + 𝛿 T (v 3 ) T (x, y, z) = x (-1, 1, 0) + y (1, 1, 1) + z (0, 1, 1) T (x, y, z) = (- x + y, x + y + z, y + z)
b) [𝑇]−^1 a. Encontrando a inversa:
]
Encontrando a matriz dos cofatores: M’
A 11 = (-1)^2 |^11 11 | A 12 = (-1)^3 |^10 11 | A 13 = (-1)^4 |^10 11 |
A 21 = (-1)^3 |^11 01 | A 22 = (-1)^4 |−1 0 01 | A 23 = (-1)^5 |−1 0 11 |
A 31 = (-1)^4 |^11 01 | A 32 = (-1)^5 |−1 1 01 | A 33 = (-1)^6 |−1 1 11 |
M’ = [
0 −1 1 −1 −1 1 1 1 −
]
Matriz Adjunta: 𝑀̅ – é a transposta da matriz cofator.
𝑀̅ = [
0 −1 1 −1 −1 1 1 1 −
]
Matriz Inversa: 𝑴−𝟏
𝑀−1^ = (^) 𝑑𝑒𝑡 𝑀^1. 𝑀̅
[𝑇]−1^ = [
]
T (x, y, z)can = 𝛼 T(v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) + 𝛿 T (v 3 )
A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base canônica do R^3 (x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 1, 0) + 𝛿 (0, 0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 z = 𝛿 T (x, y, z) = 𝛼 T (v 1 ) + 𝛽 T (v 2 ) + 𝛿 T (v 3 ) T (x, y, z) = x (0, 1, – 1) + y (1, 1, – 1) + z (– 1, – 1, 2)
Portanto, 𝐹−1(1, 0, 0) = (1, 0, 0)
𝐹−1(0, 1, 0) = (^12 , 12 , − 12 ) 𝐹−^1 ( 0 , 0 , 1 )^ = ( 0 , 0 , 1 )
Assim, 𝐹−1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1, 0, 0) + 𝑦 (^12 , 12 , − 12 ) + 𝑧 ( 0 , 0 , 1 )
𝐹−^1 (𝑥, 𝑦, 𝑧)^ = (𝑥 + 𝑦 2 , 𝑦 2 , − 𝑦 2 + 𝑧)
Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R.Hall, 1998. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-
LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. NUNES, Luiz Fernando.Universidade Tecnológica Federal do Paraná Notas de aula : Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da – UTFPR.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.
