Baixe Representação de curvas em autofunções fornecidas pelo operador Laplaciano e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Calor e Transferência de Massa, somente na Docsity!
Representações de curvas em autofunções
fornecidas pelo operador Laplaciano com
condições de contorno do tipo 1
ANTÓNIO MONTEIRO 1
Resumo: O presente trabalho consiste em representar as curvas por meio de auto- funções fornecido pelo operador laplaciano com condições de contorno de Dirichlet, ou seja, do tipo 1º, com análise das suas convergências ou divergências, mudando a ordem de truncamento, aumentando ou diminuindo os termos da série de autofunções. Para tal implementamos uma rotina computacional em python para solucionar os integrais e re- presentar graficamente as autofunções em relação as curvas dadas. Devido a convergência lenta de autofunções às curvas, introduzimos as aproximações filtradas de modo a captu- rar melhor o comportamento geométrico das curvas apresentadas. Portanto, as soluções com filtros parte de uma decomposição sem perda das caraterísticas da função original, preservando as mesma condições de contorno impostas as curvas, para uma representação acurácia.
Palavras-Chave: Curvas, Autofunções, Autovalores, Convergência, Divergência.
1. INTRODUÇÃO
A representação de uma curva em autofunções com condições de contorno específicas é um meio interessante para melhor visualizar e entender o comportamento das soluções de uma equação diferencial, especialmente no contexto em que, se pretende analisar as vibrações e propagações pois, isto envolve expressar uma curva como uma combinação linear dessas autofunções. Essa abordagem permite analisar a curva em relação às suas componentes fundamentais. Entretanto, este trabalho está centrada em uma vertente unidimensional com as autofunções do operador laplaciano submetidas as condições de contorno do tipo 1. O operador laplaciano em uma dimensão, é denotado por ∇^2 ou ∆ é definido como a segunda derivada parcial em relação a x:
∇^2 =
∂^2
∂x^2
(^1) Programa de Pós-graduação em Modelagem Computacional, IPRJ/UERJ, Nova Friburgo, RJ, Brasil – E-mail: antonio.monteiro@iprj.uerj.br
quando é aplicado em uma função f (x), é representado como:
∇^2 f (x) = ∂^2 f (x) ∂x^2
As autofunções ψi(x) e os autovalores ui associados ao operador laplaciano com o domínio 0 ≤ x ≤ L são soluções da equação diferencial:
∇^2 ψ(x) = −u^2 ψ(x)
Para encontrar essas autofunções e autovalores, é necessário resolver a equação diferencial acima, juntamente com as condições de contorno impostas. No caso de um intervalo finito 0 ≤ x ≤ L, é viável impor determinadas condições de contornos, de modo a especificar os valores da função nos extremos do intervalo, porém a gente estaremos a trabalhar com as condições de Dirichlet como mencionados.
1.1. Condições de Contorno de Dirichlet, ou seja, do tipo 1
As condições de contorno de Dirichlet fornecem os valores que uma função deve assumir nos seus extremos. Para uma função f (x) em intervalo [a, b], as condições de contorno de Dirichlet são dadas por f (a) = 0 e f (b) = 0
1.2. Autofunções e Autovalores
As autofunções de um operador diferencial satisfazem a equação diferencial homo- gênea enquanto, os autovalores são os valores associados a essas autofunções. No contexto da equação de onda com condições de contorno de Dirichlet, as autofunções são soluções da equação diferencial
∇^2 ψ(x) = −u^2 ψ(x)
sujeitas as condições de contorno ψ(0) = 0 e ψ(L) = 0, onde 0 ≤ x ≤ L limites do domínio da função.
- METODOLOGIA
Para representação de uma determinada curva f (x) em termos de autofunções e autovalores associados ao oporador laplaciano com as condições de contornos do tipo 1 (Dirichlet) resolvemos a seguinte equação diferencial:
∇^2 ψ(x) = −u^2 ψ(x) ψ(0) = 0 ψ(L) = 0
Sabe-se que ψ(x) = Asin(kx) e ψ(x) = Acos(kx) são soluções fundamentais da equação diferencial, para satisfazer as condições de contorno do Dirichlet, vamos procurar uma solução do tipo ψ(x) = Asin(kx) como demostra os casos a seguir:
Com n = 1, 2 , 3 ,... Como as autofunções são senoidais, aplicando a condição de normalização podemos encontrar An, isto é:
Z (^) L
0
ψ^2 n(x)dx = 1
Porém, para as autofunções ψn(x) = Ansen( nπxL ) se torna:
Z (^) L
0
A^2 nsen^2 (
nπx L
Resolvendo essa integral usando a seguinte transformação trigonométrica
sen^2 (ϕx) =
cos(2ϕx) − 1 2
Obteremos:
A^2 n
L
Portant, An =
q 2 L O que implica que as autofunções fornecido pelo operador laplaciano com as condições de Dirichler são da forma:
ψn(x) =
r 2 L
sen( nπx L
ou simplesmente
ψn(x) = sen(
nπx L
2.1. Representação de uma curva em autofunções fornecida
pelo operador laplaciano com as condições do Dirichlet
Para analisar o comportamento de sistemas físicos, propagação de ondas, como os- cilações, etc, busca-se uma melhor representação das curvas, seja no ponto de vista gráfica, daí o uso de funções próprias nessas representações consiste em uma expan- são em série de Fourier que nos possibilita expressar uma função como uma soma infinita (senos e cossenos), multiplicados por certos coeficientes que determinaremos. Portanto, a expansão de uma função f (x) em termos de autofunções ψn(x) é dada por:
f (x) =
X^ ∞
n=
anψn(x)
Onde os coeficientes cn são determinados pela relação:
an =
fn(x) Γn(x)
Com
fn(x) =
Z L
0
f (x)ψn(x)dx
Γn(x) =
Z L
0
ψ^2 n(x)dx
ou seja,
an =
R L
0 f^ (x)ψn(x)dx R (^) L 0 ψ (^2) n(x)dx
Depois de encontrar os coeficientes an, substituímos na expansão de Furier para obtermos a representação de f (x) em termos das autofunções e autovalores. Pode-se notar que, na expressão dos coeficientes an quando substituímos as autofunções nos integrais da formula, o An vão se cancelar razão pela qual mesmo que escolhêssemos a priori, a solução fundamental do tipo ψn(x) = sen(kx) sem An não haveria problema. Portanto, para simplificarmos as expressões ficaremos com
ψn(x) = sen(kx)
- RESULTADOS
Através das decomposição anterior torna-se possível, transformar uma determinada curva em autofunções nas condições dadas. Para obtenção dos resultados e análises do comportamento das curvas, usamos a linguagem Python para soluções dos inte- grais, gráficos com filtro e sem filtro, considerando as transformações apresentada com base ao operador laplaciano nas condições tratada temos:
3.1. Caso 1:
f 1 (x) =
1 se x ≤ 0. 5 0 se 0. 5 ≤ x ≤ 1
Normalmente em relação a ordem de truncamento, quanto maior a ordem de trun- camento, erro de truncamento diminui, nota-se que na medida em que, mais termos vão sendo incluídos na série, acaba de ser mais precisa a representação da função, ou seja, na medida que aumentamos os termos da série, ele vai convergindo para a função original f (x) e vai divergindo da função original na medida que reduzimos os termos assim sucessivamente, como mostras as figuras (1) e (2).
Observa como a soma dos termos da série se aproxima da função original. Isto é, devido a uma convergência lenta porém, são necessários mais termos para melhor aproximação.
3.3. Representações com Filtros
As representações de funções em autofunções com filtros é uma ferramenta im- portante para aproximar funções originais de maneira mais eficaz, especialmente quando estás funções possui uma convergência lenta, sendo que, uma grande quan- tidade de termos é necessária para capturar melhor detalhes da função original. Neste caso usamos o filtros para reduzir, dimensionar as séries de autofunções, adaptando-as às condições de contorno, que nos permite obter uma melhor compre- ensão e interpretação da natureza das características da função original.
3.4. Para o caso 1:
f 1 (x) =
1 se x ≤ 0. 5 0 se 0. 5 ≤ x ≤ 1
Seja f 1 (x) = g(x) + ff (x)
Onde g(x), ff (x) filtro e a função filtrado respetivamente com g(x) = ax + b. Queremos que, a ff (x) satisfaça as condições de contorno de Dirichlet, onde:
( ff (0) = 0 ff (1) = 0
Portanto, como ff (x) = f 1 (x) − g(x) tem-se:
ff (0) = f 1 (0) − g(0)
ff (0) = 1 − b
Obtemos b = 1
Agora para ff (1) = f 1 (1) − g(1) ff (1) = 0 − (a + b) ff (1) = −a − b
Obtemos a = −b = − 1
O que implica que, a função filtro e a função filtrado são respetivamente
g(x) = −x + 1
ff (x) =
x se x ≤ 0. 5 x − 1 se 0. 5 ≤ x ≤ 1
Porém, para a representação em autofunções teremos as seguintes modificações:
ff a(x) =
X^ ∞
n=
anψn(x)
É a representação em autofunções da função filtrado porém, os coeficientes an são determinados pela relação:
an =
fn(x) Γn(x)
Com
fn(x) =
Z L
0
ff (x)ψn(x)dx
Γn(x) =
Z L
0
ψ^2 n(x)dx
Portanto, H(x) = g(x)+ff a(x) é a função que acompanhara melhor as caraterística da função original f 1 (x), aumentando os números de termos assim, como mostra as figuras (5) e (6).
Figura 5: Aproximação para f (x) usando o filtro com N = 100
Figura 6: Aproximação para f (x) usando o filtro com N = 1000
3.5. Para o caso 2:
f 2 (x) = e−^10 x, com 0 ≤ x ≤ 1
De modo análoga ao caso anterior, seja:
f 2 (x) = g(x) + ff (x)
Figura 7: Aproximação para f (x) usando o filtro com N = 10
Figura 8: Aproximação para f (x) usando o filtro com N = 100
- CONCLUSÃO
A representação de curvas em autofunções fornecida pelo operador Laplaciano sob condições de contorno específicas é uma ferramenta essencial para auxiliar no es- tudo do comportamento de curvas e na interpretação geométrica, seja na análise de convergência, aplicação em problemas de engenharia ou na obtenção e formulação de soluções de equações diferenciais, uma vez que, busca a possibilidade de com- preender o comportamento de curvas em diferentes regiões espaciais para que seu comportamento em situações específicas possa ser previsto. Portanto, a temática torna-se fundamental nas áreas de ciência e engenharia, onde a compreensão das características das curvas é relevante na obtenção e formulação de soluções de equa- ções diferenciais para modelagem e simulação de fenômenos físicos e para melhorar interpretações geométricas das curvas, nas propriedade e condições fornecidas.
Referências
[1] R. Cotta, D. Knupp, and J. Quaresma, Analytical Methods in Heat Transfer. Cham: Springer, 2018.
[2] T. L. Bergman, Fundamentos de transferência de calor e de massa. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
[3] W. H. David and M. N. Özisik, Heat Conduction. 3, ilustrada, Campinas: John Wiley Sons, 2012.
A.. Rotina Computacional - Python
CODIGO DO CASO 1 (Sem Filtro):
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
def f(x): return np.where(x <= 0.5, 1, 0)
def psi_n(x, n, L): k = (n * np.pi) / L return np.sin(k * x)
def a_n(x, n, L): f_n = np.trapz(f(x) * psi_n(x, n, L), x) Gamma_n = np.trapz(psi_n(x, n, L)**2, x) return f_n / Gamma_n
def f_n(x, n, L): return np.trapz(f(x) * psi_n(x, n, L), x)
def Gamma_n(x, n, L): return np.trapz(psi_n(x, n, L)**2, x)
L = 1 x = np.linspace(0, L, 1000) n_values = np.arange(1, 100)
f_values = f(x)
f_decomposed = np.zeros_like(x) for n in n_values: f_decomposed += a_n(x, n, L) * psi_n(x, n, L)
plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(x, f_values, label=’f(x)’, color=’blue’) plt.plot(x, f_decomposed, label=’Decomposio em autofunes ’, color=’red’, linestyle=’--’) plt.xlabel(’x’) plt.ylabel(’f(x)’) plt.title(’ Decomposio em autofunes da funo f(x)’) plt.legend() plt.grid(True) plt.show()
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x): return np.exp(-10 * x)
def psi_n(x, n, L): k = (n * np.pi) / L return np.sin(k * x)
def a_n(x, n, L): f_n = np.trapz(f(x) * psi_n(x, n, L), x) Gamma_n = np.trapz(psi_n(x, n, L)**2, x) return f_n / Gamma_n
def f_n(x, n, L): return np.trapz(f(x) * psi_n(x, n, L), x)
def Gamma_n(x, n, L): return np.trapz(psi_n(x, n, L)**2, x)
L = 1 x = np.linspace(0, L, 1000) n_values = np.arange(1, 100)
f_values = f(x)
f_decomposed = np.zeros_like(x) for n in n_values: f_decomposed += a_n(x, n, L) * psi_n(x, n, L)
plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(x, f_values, label=’f(x)’, color=’blue’) plt.plot(x, f_decomposed, label=’Decomposio em autofunes ’, color=’red’, linestyle=’--’) plt.xlabel(’x’) plt.ylabel(’f(x)’) plt.title(’ Decomposio em autofunes da funo f2(x)’) plt.legend() plt.grid(True) plt.show()
CODIGO DO CASO 2 (Com Filtro):
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt
def f2(x):
return np.exp(-10 * x)
def ff(x): return np.exp(-10 * x)-(B-A) * x - 1
def g(x): return (B-A) * x + 1
def psi_n(x, n, L): return np.sin(n * np.pi * x / L)
def a_n(x, n, L): f_n = np.trapz(ff(x) * psi_n(x, n, L), x) Gamma_n = np.trapz(psi_n(x, n, L)**2, x) return f_n / Gamma_n
def f_fa(x, N, L): f_fa_values = np.zeros_like(x) for n in range(1, N+1): f_fa_values += a_n(x, n, L) * psi_n(x, n, L) return f_fa_values
A = 1 B = 0 L = 1 N = 100 x = np.linspace(0, L, 1000)
H_values = g(x) + f_fa(x, N, L)
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x, f2(x), label=’$f_2(x)$’, color=’blue’) plt.plot(x, H_values, label=’$H(x)$’, color=’red’, linestyle=’--’) plt.xlabel(’x’) plt.ylabel(’Valor’) plt.title(’ Funes $f_2(x)$ e $H(x)$’) plt.legend() plt.grid(True)
plt.show()
