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Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Açailândia - MA 2019 ALCIMARA BRUNORO- JULIANA COSTA SANTANA DE MORAES-
Trabalho apresentado à Faculdade Vale do Aço – FAVALE na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias como requisito parcial na composição de nota na etapa I. Orientador: Prof. Luís Jorge.
Açailândia - MA 2019
Os fluidos estão presentes de forma imprescindível em nossa vida, desde a água que consumimos ao ar que respiramos sendo assim fundamentais a nossa existência. Eles são divididos em gases e líquidos a definição de um fluido é introduzida, normalmente, pela comparação com um sólido. Correspondem a substâncias cujas forças de coesão (forças moleculares de atração que fazem com que as moléculas do próprio liquido fiquem unidas) interna são muito pequenas.
Por isso, eles geralmente não possuem forma própria e precisam de um recipiente para contê-los e assumir o formato do recipiente. A hidrodinâmica é uma área da física que estuda o movimento desses fluidos. No século XVII, através de um experimento realizado com mercúrio, Torricelli obteve a expressão de velocidade de um liquido de um reservatório através de um pequeno furo de saída sob a ação da gravidade.
Figura 1: Diagrama da lei de Torricelli
Fonte: Mc Nally Institute
O teorema de Torricelli é uma aplicação do princípio de Bernoulli e estuda o fluxo de um líquido contido em um recipiente, através de um pequeno orifício, sob a ação da gravidade. A partir desse teorema pode-se calcular o caudal de saída de um liquido por algum orifício. Ou seja, encontramos a velocidade final do liquido ao passar pelo orifício. E representando matematicamente: Onde:
Onde:
Tendo em vista que o teorema de Torricelli é uma aplicação da aplicação da equação de Bernoulli, que tem como base o princípio da conservação de energia. A equação de energia geral será construída aos poucos, partindo-se de uma equação uma equação mais simples, e válida somente se for pressuposto algumas características. Sendo elas:
Cancelando dA de cada termo e simplificando, temos:
Observando que e dividindo cada termo por temos:
Integrando dos dois lados:
Resultando na equação de Bernoulli: Constante (ao longo de uma linha de corrente) O valor da constante pode ser calculado em qualquer ponto da linha de corrente em que a pressão, densidade, velocidade e elevação sejam conhecidas. A equação também pode ser escrita entre dois pontos quaisquer na mesma linha de corrente como:
A partir do princípio de Bernoulli, obtém-se a equação de Torricelli:
Portanto: z 1 ++ = z2 + + E explicando o significado dos termos dessa equação: Z = = energia potencial de uma partícula de peso unitário.
= = = energia cinética de uma partícula de peso unitário.
= = = energia de pressão da partícula de um peso unitário. Ou seja:
Sabendo que as pressões são constantes, a equação fica:
Anulando as constantes que se encontra em todos os membros, obtemos:
E sabendo que () é a diferença de cotas, ou seja, a altura (h), encontramos a seguinte relação:
A partir desse teorema, Torricelli afirma que a velocidade do fluxo de água, que passa por um pequeno orifício, onde exista uma diferença de alturas entre o furo e a superfície do liquido, é igual à velocidade de um corpo em queda livre, ou seja, caído de uma altura onde o corpo sofre aceleração através gravidade.
Portanto, a partir do que já foi visto podemos determinar que a razão entre a velocidade (v), e a área (A 0 ), mostra que o volume de um liquido que sai de um determinado reservatório por segundo é igual a , sendo assim a derivada do volume em relação ao tempo, é descrita como:
Onde:
funcionam 4 turbinas geradoras de Energia. Sabe-se que o conduto forçado tem 7,6m de diâmetro, e que a base da entrada d’água está localizada a uma profundidade de 29m abaixo do nível da superfície. Sua área alagada tem 208km². Supondo que aconteça um período de seca na região que dure 20 dias, calculamos a altura do nível da água em relação à base da tomada d’água após este tempo de seca. Utilizando a equação para o cálculo. Temos:
S = 208.000.000m² / α = 45,36m² / g = 10m/s² / h = 29m. 208,000,000 .y = -45,36 ..t t = 1.728.000s Temos que y = -9,07m. Para calcular a altura da água após 20 dias, diminuiremos este valor dos 29m de altura inicial. Sendo assim, a altura da água após 20 dias se seca é de 19m em relação a base da tomada d’água.
Exemplo 01: Um tambor cilíndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade vamos determinar a altura hem função do tempo e em quanto tempo o tanque esvazia.
Como para o cilindro
Então o problema pode ser modelado por
Multiplicando a equação por =k
( )=k
Integrando-se ambos os lados
Ou
Substituindo t= 0 e V=2:
Substituindo t= 30 e V=:
Assim a função que descreve como altura varia com o tempo é dada por
Substituindo h = 0:
Exemplo 2: Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a superfície livre é de 2 m?
Figura 3:
Fonte: Solução:
Foi possível observar durante o trabalho, os conceitos e fundamentos considerados necessários para os estudos da lei de Torricelli, sendo bastante aplicado em problemas de hidrodinâmica. A partir da derivação equação diferencial de Bernoulli que no final nos propiciou a identificar os três tipos de energias sendo elas de pressão, cinética e potencial. Conseguimos aplicar o teorema de Torricelli e obter a relação simplificada para descobrirmos a velocidade final de um liquido ao passar por um determinado orifício que está à uma determinada profundidade. Toda a análise do problema, com sua solução e metodologia de resolução demonstra a importância dos cálculos para a obtenção de respostas aos problemas cotidianos da engenharia, sendo as equações diferenciais ferramentas de grande utilidade.
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluidos. 2ª ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
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KWONG, Wu Hong. Fenômenos de Transportes: mecânica dos fluidos. São Carlos, SP: EdUFSCar - Editora da Universidade Federal de São Carlos, 2010.
Stahl Mariani Rodrigo, Riboli Adair Antônio Anezi Stocker Gisely. O Uso De Equações Diferenciais Ordinárias No Cálculo De Escoamento De Água. 8 de maio, São Paulo 2018.
WHITE, Frank M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. Rio Grande do Sul: Bookman, Artmed.
