Baixe Topologia: Espaços Topológicos, Funções Contínuas e Espaços Métricos e outras Notas de aula em PDF para Topologia, somente na Docsity!
TOPOLOGIA GERAL
GERALDO BOTELHO
PROGRAMA DE P OS-GRADUAC´ ¸ AO EM MATEM ˜ ATICA´
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL ANDIAˆ
Uberlˆandia, Mar¸co de 2025.
Ementa
Espa¸cos m´etricos, espa¸cos topol´ogicos, bases de vizinhan¸cas e bases de abertos, fun¸c˜oes cont´ınuas e homeomorfismos, espa¸co produto e espa¸co quociente, convergˆencia de sequˆencias, espa¸cos completos e espa¸cos de Baire, redes e filtros, axiomas de separa¸c˜ao, axiomas de enumerabilidade, espa¸cos compactos e o Teorema de Tychonoff, espa¸cos conexos.
SUM ´ARIO
- Flash-back de conjuntos, fun¸c˜oes e espa¸cos m´etricos
- Espa¸cos topol´ogicos
- Bases de vizinhan¸cas e bases de abertos
- Fun¸c˜oes cont´ınuas
- Espa¸co produto e espa¸co quociente
- Convergˆencia de sequˆencias
- Espa¸cos completos e espa¸cos de Baire
- Redes e filtros
- Axiomas de separa¸c˜ao
- Axiomas de enumerabilidade
- Espa¸cos compactos
- Espa¸cos conexos
- Referˆencias bibliogr´aficas
f −^1 (Y − B) = f −^1 (Bc) = [f −^1 (B)]c^ = X − f −^1 (B),
f
S
i∈I
Ai
S
i∈I
f (Ai),
f
T
i∈I
Ai
T
i∈I
f (Ai), com igualdade se f for injetora,
f (X − A) = f (Ac) ⊆ [f (A)]c^ = Y − f (A) se f for injetora, f (X − A) = f (Ac) ⊇ [f (A)]c^ = Y − f (A) se f for sobrejetora, A ⊆ f −^1 (f (A)), com igualdade se f for injetora, f (f −^1 (B)) ⊆ B, com igualdade se f for sobrejetora.
Defini¸c˜ao 1.1. Uma m´etrica no conjunto M ´e uma fun¸c˜ao
d : M × M −→ R , (x, y) 7 → d(x, y),
que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (i) d(x, y) ≥ 0 para todos x, y ∈ M e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, (ii) d(x, y) = d(y, x) para todos x, y ∈ M , (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todos x, y, z ∈ M. O par (M, d) ´e chamado de espa¸co m´etrico.
Exemplos 1.2. 1) Em R ou C, a fun¸c˜ao
(a, b) 7 → d(a, b) = |a − b|
´e uma m´etrica.
- Em Rn^ ou Cn, s˜ao m´etricas: para a = (a 1 ,... , an) e b = (b 1 ,... , bn),
d 1 (a, b) =
X^ n
j=
|aj − bj |, d 2 (a, b) =
X^ n
j=
|aj − bj |^2
, d∞(a, b) = sup j=1,...,n
|aj − bj |.
Em um conjunto qualquer M , a fun¸c˜ao d(x, x) = 0 e d(x, y) = 1 se x ̸= y, ´e uma m´etrica, chamada de m´etrica discreta.
Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico e Y ⊆ M. A fun¸c˜ao
dY : Y × Y −→ R , dY (x, y) = d(x, y),
´e uma m´etrica em Y , chamada de m´etrica induzida por d. Neste caso dizemos que (Y, dY ) ´e subespa¸co de (M, d).
Defini¸c˜ao 1.3. Sejam (M, d) um espa¸co m´etrico, a ∈ M e r > 0. Definimos:
B(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} = bola aberta de centro a e raio r, B[a; r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} = bola fechada de centro a e raio r.
Dizemos que um subconjunto A de M ´e aberto se para todo a ∈ A existe r > 0 tal que B(a; r) ⊆ A. E dizemos que um subconjunto F de M ´e fechado se F c^ = M − F ´e aberto.
Exemplos 1.4. 1) Toda bola aberta B(a; r) ´e um conjunto aberto: dado z ∈ B(a; r),
d(a, z) < r, ent˜ao ε =
r − d(z, a) 2
- Basta provar que B(z; ε) ⊆ B(a; r):
y ∈ B(z; ε) =⇒ d(y, z) < ε =
r − d(z, a) 2
d(a, y) ≤ d(a, z) + d(y, z) < d(z, a) +
r − d(z, a) 2
2 d(z, a) + r − d(z, a) 2 =
r + d(z, a) 2
r + r 2
= r
=⇒ y ∈ B(a; r). Portanto B(a; r) ´e aberto.
- Toda bola fechada B[a; r] ´e um conjunto fechado. Devemos provar que
B[a; r]c^ = {x ∈ M : d(x, a) > r}
´e um conjunto aberto. Para isso seja z ∈ B[a, r]c, isto ´e, d(z, a) > r. Ent˜ao ε = d(z, a) − r 2
- Usando a desigualdade triangular prova-se (Exerc´ıcio I.1) que B(z; ε) ⊆
B[a; r]c, mostrando que B[a; r] ´e fechado.
As propriedades abaixo nos ensinar˜ao a definir abertos em um contexto mais geral.
Proposi¸c˜ao 1.5. Seja (M, d) um espa¸co m´etrico. (a) M e ∅ s˜ao abertos. (b) Se (Ai)i∈I ´e uma cole¸c˜ao de abertos, ent˜ao
S
i∈I
Ai ´e aberto.
(c) Se n ∈ N e A 1 ,... , An s˜ao abertos, ent˜ao
Tn j=
Aj ´e aberto.
Demonstra¸c˜ao. Fa¸camos (c): Dado x ∈
Tn j=
Aj , para cada j = 1,... , n, x ∈ Aj , e como Aj
´e aberto existe rj > 0 tal que B(x; rj ) ⊆ Aj. Tomando r = min{r 1 ,... , rn} > 0, temos
y ∈ B(x; r) =⇒ d(x, y) < r ≤ rj , j = 1,... , n =⇒ y ∈ B(x; rj ) ⊆ Aj , j = 1,... , n
=⇒ y ∈
Tn j=
Aj. Isso prova que B(x; r) ⊆
Tn j=
Aj. Segue que
Tn j=
Aj ´e aberto.
Exemplo 1.6. A interse¸c˜ao infinita de abertos pode n˜ao ser aberta. Por exemplo,
−
n
n
´e aberto em R para todo n ∈ N, mas
T∞
n=
n
n
= { 0 } n˜ao ´e aberto.
Combinando a Proposi¸c˜ao 1.5 com as Leis de De Morgan, obtemos
Corol´ario 1.7. Em um espa¸co m´etrico M : (a) M e ∅ s˜ao fechados. (b) Se (Fi)i∈I ´e uma cole¸c˜ao de fechados, ent˜ao
T
i∈I
Fi ´e fechado.
(c) Se n ∈ N e F 1 ,... , Fn s˜ao fechados, ent˜ao
Sn j=
Fj ´e fechado.
Exerc´ıcio I.3. Seja M um espa¸co m´etrico. Prove que: (a) Para todos x, y, a ∈ M , |d(x, a) − d(y, a)| ≤ d(x, y). (b) Para cada a ∈ M , a fun¸c˜ao x ∈ M 7 → d(x, a) ∈ R ´e cont´ınua. (c) A esfera S(a; r) = {x ∈ M : d(x, a) = r} ´e um conjunto fechado em M.
Exerc´ıcio I.4. Sejam M um espa¸co m´etrico e S ⊆ M com a m´etrica induzida. Prove que: (a) Para todos a ∈ S e r > 0, BS (a; r) = S ∩ BM (a; r). (b) Um subconjunto U ⊆ S ´e aberto em S ⇐⇒ existe um aberto V de M tal que U = V ∩ S.
Exerc´ıcio I.5. Considere o conjunto dos inteiros Z como subespa¸co m´etrico de R. Prove que todo subconjunto de Z ´e aberto em Z.
2 Espa¸cos topol´ogicos
Defini¸c˜ao 2.1. Uma topologia no conjunto X ´e uma cole¸c˜ao τ de subconjuntos de X que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (a) X ∈ τ , ∅ ∈ τ , (b) Se Ai ∈ τ para todo i ∈ I, ent˜ao
S
i∈I
Ai ∈ τ.
(c) Se Aj ∈ τ para todo j = 1,... , n, ent˜ao
Tn i=
Ai ∈ τ.
Cada elemento de τ ´e chamado de conjunto aberto e o par (X, τ ) ´e chamado de espa¸co topol´ogico.
Exemplos 2.2.
A Proposi¸c˜ao 1.5 diz que todo espa¸co m´etrico ´e um espa¸co topol´ogico. A topologia ´e chamada de topologia da m´etrica. A partir de agora, sempre que nos referirmos a um espa¸co m´etrico estamos considerando-o munido da topologia da m´etrica.
A topologia de R como espa¸co m´etrico ´e chamada de topologia usual de R.
Seja X um conjunto qualquer. E f´´ acil ver que {∅, X} e o conjunto das partes P(X) = {A : A ⊆ X} s˜ao topologias em X, chamadas de topologia ca´otica e topologia discreta, respectivamente. Al´em disso, por defini¸c˜ao qualquer topologia τ em X satisfaz
{∅, X} ⊆ τ ⊆ P(X).
Defini¸c˜ao 2.3. Um subconjunto F de um espa¸co topol´ogico X ´e fechado se F c^ = X − F ´e aberto.
Exemplos 2.4.
Vimos na se¸c˜ao anterior que, em um espa¸co m´etrico, toda bola fechada ´e um conjunto fechado.
Os ´unicos conjuntos fechados na topologia ca´otica s˜ao ∅ e X.
Na topologia discreta, todo subconjunto ´e fechado.
Fechado n˜ao ´e o contr´ario de aberto. Em qualquer espa¸co, X e ∅ s˜ao abertos e fechados. Na topologia discreta, todo conjunto ´e aberto e fechado. Em R, [a, b) e (a, b] n˜ao s˜ao nem abertos nem fechados.
O resultado a seguir segue imediatamente das Leis de De Morgan:
Proposi¸c˜ao 2.5. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. (a) ∅ e X s˜ao conjuntos fechados.
(b) Se n ∈ N e F 1 ,... , Fn s˜ao fechados, ent˜ao
Sn j=
Fj ´e fechado.
(c) Se Fi ´e fechado para todo i ∈ I, ent˜ao
T
i∈I
Fi ´e fechado.
Proposi¸c˜ao 2.6. (Topologia de subespa¸co) Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e Y um subconjunto de X. A cole¸c˜ao
τY = {A ∩ Y : A ∈ τ }
Demonstra¸c˜ao. (a), (c) e (f) seguem diretamente da defini¸c˜ao.
(b) A inclus˜ao A ⊆ A segue de (a). A ´e um fechado (j´a vimos) que cont´em A (´obvio), logo A ∈ {F fechado : A ⊆ F }, da´ı
A ⊇
T
F fechado : A ⊆ F = A.
(d) A ⊆ B =⇒ {G fechado : B ⊆ G} ⊆ {F fechado : A ⊆ F } =⇒
A =
T
{F fechado : A ⊆ F } ⊆
T
{G fechado : B ⊆ G} = B.
(e) Por um lado,
A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B
(d) =⇒ A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B =⇒ A ∪ B ⊆ A ∪ B.
Por outro lado, A ´e um fechado contendo A e B ´e um fechado contendo B, logo A ∪ B ´e um fechado (Proposi¸c˜ao 2.5) contendo A ∪ B. Segue que
A ∪ B =
T
{F fechado : (A ∪ B) ⊆ F } ⊆ A ∪ B.
(g) Suponha que A seja fechado. Ent˜ao A ∈ {F fechado : A ⊆ F }, e portanto
A =
T
{F fechado : A ⊆ F } ⊆ A
(a) ⊆ A,
o que implica que A = A. A rec´ıproca ´e clara pois A ´e fechado.
Defini¸c˜ao 2.9. Para um subconjunto A de um espa¸co topol´ogico X, definimos:
int(A) =
S
{B ⊆ X : B ´e aberto e B ⊆ A} = interior de A em X.
Por ser uma uni˜ao de abertos, dos axiomas de topologia segue que int(A) ´e aberto.
Antes de provar as propriedades do interior, ´e melhor estabelecer a rela¸c˜ao do fecho com o interior.
Proposi¸c˜ao 2.10. Seja A um subconjunto de um espa¸co topol´ogico. Ent˜ao A
c = int (Ac) e (int(A))c^ = Ac.
Demonstra¸c˜ao. Pelas Leis de De Morgan, A
c = (
T
{F : F ´e fechado e A ⊆ F })c^ =
S
{F c^ : F ´e fechado e A ⊆ F }
S
{F c^ : F c^ ´e aberto e F c^ ⊆ Ac}
S
{G : G ´e aberto e G ⊆ Ac} = int (Ac).
Segunda igualdade: Exerc´ıcio II.5.
Proposi¸c˜ao 2.11. Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co topol´ogico X. (a) int(A) ⊆ A. (b) int(int(A)) = int(A). (c) int(X) = X. (d) int(A) ´e o maior subconjunto aberto de X que est´a contido em A. (e) A ⊆ B =⇒ int(A) ⊆ int(B). (f) int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B). (g) A ´e aberto ⇐⇒ A = int(A).
Demonstra¸c˜ao. Os itens que n˜ao seguem diretamente da defini¸c˜ao seguem de uma com- bina¸c˜ao das Proposi¸c˜oes 2.8 e 2.10. Por exemplo, provemos (f):
int(A ∩ B) = ((int(A ∩ B))c)c^ Prop 2. 10 =
(A ∩ B)c
c (^) DeMorgan
Ac^ ∪ Bc
c
Prop 2. 8
Ac^ ∪ Bc
c DeMorgan
Ac
c ∩
Bc
c
Prop 2. 10 = int((Ac)c) ∩ int((Bc)c) = int(A) ∩ int(B).
Exerc´ıcio II.6. Demonstre os demais itens.
Defini¸c˜ao 2.12. Seja x um elemento do espa¸co topol´ogico X. Dizemos que um subcon- junto U de X ´e uma vizinhan¸ca de x se x ∈ int(U ), isto ´e, se existe um aberto A tal que x ∈ A ⊆ U. Denotamos por Ux a cole¸c˜ao de todas as vizinhan¸cas de x.
Exemplos 2.13. 1) Seja x um elemento de um espa¸co m´etrico. Para todo r > 0, a bola aberta B(x; r) e a bola fechada B[x; r] s˜ao vizinhan¸cas de x.
- Nem todo conjunto contendo o ponto ´e uma vizinhan¸ca do ponto. Por exemplo, em R o conjunto [0, 1] cont´em 0 mas n˜ao ´e uma vizinhan¸ca de 0.
Proposi¸c˜ao 2.14. Sejam X um espa¸co topol´ogico e x ∈ X. (a) x pertence a todas as suas vizinhan¸cas. (b) A interse¸c˜ao de duas vizinhan¸cas de x ´e tamb´em uma vizinhan¸ca de x. (c) Dada uma vizinhan¸ca U de x existe uma vizinhan¸ca V de x tal que V ⊆ U e U ´e vizinhan¸ca de todos os pontos de V. (d) Se U ´e vizinhan¸ca de x ent˜ao todo subconjunto de X contendo U tamb´em ´e vizinhan¸ca de x. (e) S˜ao equivalentes para um subconjunto A de X: (i) A ´e aberto. (ii) A ´e vizinhan¸ca de todos os seus pontos. (iii) Para todo x ∈ A existe uma vizinhan¸ca de x contida em A.
Demonstra¸c˜ao. (a) Para cada U ∈ Ux, x ∈ int(U ) ⊆ U.
(b) Sejam U, V ∈ Ux. Por defini¸c˜ao, x ∈ int(U ) e x ∈ int(V ), e da Proposi¸c˜ao 2.11 segue que x ∈ int(U ) ∩ int(V ) = int(U ∩ V ), provando que U ∩ V ∈ Ux.
(c) Por hip´otese U ∈ Ux, isto ´e x ∈ int(U ). Tomando V = int(U ) temos V aberto contendo x e contido em U : x ∈ int(U ) = V ⊆ U,
em particular V ∈ Ux. Para cada y ∈ V , temos y ∈ V = int(U ) e portanto U ∈ Uy.
(d) Seja V ⊇ U. Como U ∈ Ux, pela Proposi¸c˜ao 2.11 temos x ∈ int(U ) ⊆ int(V ), donde segue que V ∈ Ux.
(e) (i) =⇒ (ii) Como A ´e aberto, pela Proposi¸c˜ao 2.11 temos A = int(A), logo x ∈ int(A) para todo x ∈ A, isto ´e, A ∈ Ux para todo x ∈ A.
(ii) =⇒ (iii) E ´´obvio pois A ⊆ A.
3 Bases de vizinhan¸cas e bases de abertos
A equivalˆencia (i) ⇐⇒ (iii) da Proposi¸c˜ao 2.14(e) ´e um crit´erio para verificar que um conjunto ´e aberto. O conceito abaixo fornecer´a um crit´erio melhor.
Defini¸c˜ao 3.1. Seja x um elemento do espa¸co topol´ogico X. Dizemos que uma cole¸c˜ao Bx de vizinhan¸cas de x ´e uma base de vizinhan¸cas de x se para toda vizinhan¸ca U de x existe uma vizinhan¸ca V ∈ Bx tal que V ⊆ U.
Exemplos 3.2. 1) Bases de vizinhan¸cas sempre existem: dado x ∈ X, tanto Ux como {U ∈ Ux : U ´e aberto} s˜ao bases de vizinhan¸cas de x. Para a segunda, dada U ∈ Ux, tome V = int(U ) ∈ Bx. Essas duas bases de vizinhan¸cas n˜ao s˜ao muito ´uteis, por serem muito grandes.
- Dado um elemento x de um espa¸co m´etrico, as cole¸c˜oes
{B(x; r) : r > 0 } , {B[x; r] : r > 0 } e
B
x;
n
: n ∈ N
s˜ao bases de vizinhan¸cas de x. Para as duas primeiras basta recordar a defini¸c˜ao de aberto em espa¸cos m´etricos e que B(x; r) ⊆ B[x; r]. Fa¸camos a terceira: dada uma vizinhan¸ca U de x, existe um aberto A tal que x ∈ A ⊆ U. Da´ı existe r > 0 tal que B(x; r) ⊆ A. Pela propriedade arquimediana da reta podemos tomar n ∈ N tal que (^1) n < r. Segue que B
x; (^) n^1
⊆ B(x; r) ⊆ A ⊆ U. Conclus˜ao: em um espa¸co m´etrico, todo ponto tem uma base de vizinhan¸cas enu- mer´avel.
Proposi¸c˜ao 3.3. Para cada elemento x do espa¸co topol´ogico X, seja Bx uma base de vizinhan¸cas de x. Ent˜ao: (a) x ∈ U para cada U ∈ Bx. (b) Dados U, V ∈ Bx, existe W ∈ Bx tal que W ⊆ U ∩ V. (c) Dado U ∈ Bx, existe V ∈ Bx tal que V ⊆ U e para cada y ∈ V existe W ∈ By com W ⊆ U. (d) Um subconjunto A de X ´e aberto se, e somente se, para cada x ∈ A existe uma vizinhan¸ca b´asica V ∈ Bx contida em A.
Demonstra¸c˜ao. Tudo isso segue da Proposi¸c˜ao 2.14. Fa¸camos (d), que ´e o crit´erio de provar que um conjunto ´e aberto mencionado antes.
(d) A ´e aberto Prop 2.14(e) ⇐⇒ para todo x ∈ A existe uma vizinhan¸ca U de x contida em A ⇐⇒ para todo x ∈ A existe V ∈ Bx tal que x ∈ V ⊆ U ⊆ A.
Exerc´ıcio III.1. Demonstre os demais itens.
Al´em de conjuntos abertos, bases de vizinhan¸cas tamb´em caracterizam conjuntos fe- chados, fecho e interior.
Proposi¸c˜ao 3.4. Sejam Bx uma base de vizinhan¸cas para cada elemento x do espa¸co topol´ogico X e A ⊆ X. (a) A ´e fechado se, e somente se, para cada x /∈ A existe V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅.
(b) A = {x ∈ X : V ∩ A ̸= ∅ para toda V ∈ Bx}, isto ´e, A ´e formado pelos pontos cujas vizinhan¸cas b´asicas intersectam A. (c) int(A) = {x ∈ X : V ⊆ A para alguma V ∈ Bx}.
Demonstra¸c˜ao. (a) A ´e fechado ⇐⇒ Ac^ ´e aberto Prop 3.3(d) ⇐⇒ para cada x ∈ Ac^ existe V ∈ Bx tal que V ⊆ Ac^ ⇐⇒ para cada x /∈ A existe V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅.
(b) Provemos que {x ∈ X : V ∩ A ̸= ∅ para toda V ∈ Bx} ⊆ A. Para isso seja x ∈ X tal que V ∩ A ̸= ∅ para toda V ∈ Bx. Suponha que x /∈ A. Da defini¸c˜ao do fecho,
A =
T
{F fechado : A ⊆ F },
segue que existe F fechado tal que x /∈ F ⊇ A. Por (a) existe V ∈ Bx tal que V ∩ F = ∅, e portanto V ∩ A = ∅ – contradi¸c˜ao ∴ x ∈ A. Para provar a rec´ıproca, seja x ∈ A. Suponha, por absurdo mais uma vez, que exista V ∈ Bx tal que V ∩ A = ∅. Como V ´e vizinhan¸ca de x, x ∈ int(V ) pela defini¸c˜ao de vizinhan¸ca. Al´em disso, A ⊆ V c^ ⊆ (int(V ))c^ pois int(V ) ⊆ V. Como int(V ) ´e aberto, seu complementar (int(V ))c^ ´e fechado, e portanto
A ⊆ (int(V ))c^ =⇒ A ⊆ (int(V ))c^ = (int(V ))c^ =⇒ int(V ) ⊆ A
c .
Como x ∈ int(V ), segue que x /∈ A – contradi¸c˜ao ∴ V ∩ A ̸= ∅ para toda V ∈ Bx.
(c) Da Proposi¸c˜ao 2.10 sabemos que (int(A))c^ = Ac. Aplicando o item (b) para Ac,
x /∈ int(A) ⇐⇒ x ∈ Ac^ ⇐⇒ V ∩ Ac^ ̸= ∅ para toda V ∈ Bx
⇐⇒ V ̸⊆ A para toda V ∈ Bx ⇐⇒ x /∈ {y ∈ X : V ⊆ A para alguma V ∈ By}.
A seguinte consequˆencia ´e muito ´util.
Corol´ario 3.5. Sejam Bx uma base de vizinhan¸cas de x e A ⊆ X. S˜ao equivalentes: (a) x ∈ A. (b) V ∩ A ̸= ∅ para toda vizinhan¸ca V de x. (c) V ∩ A ̸= ∅ para toda vizinhan¸ca b´asica V ∈ Bx.
Demonstra¸c˜ao. (a) ⇐⇒ (c) ´e uma reescrita da Proposi¸c˜ao 3.4(b). Para (a) ⇐⇒ (b), aplique o mesmo resultado para a base de vizinhan¸cas Ux.
Defini¸c˜ao 3.6. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. Uma base para a topologia τ ´e uma subcole¸c˜ao de abertos B ⊆ τ tal que todo aberto se escreve como uma uni˜ao de elementos de B, isto ´e, para todo A ∈ τ existe C ⊆ B tal que A =
S
V ∈C
V.
Aten¸c˜ao: A uni˜ao n˜ao necessariamente ´e finita ou enumer´avel.
Exemplos 3.7. 1) Na An´alise na Reta aprendemos que todo aberto de R se escreve como uma uni˜ao de intervalos abertos limitados. Isso quer dizer que a cole¸c˜ao
{(a, b) : a, b ∈ R e a < b}
Demonstra¸c˜ao. (a) (i) Por defini¸c˜ao de base, todo aberto, em particular X, se escreve como uma uni˜ao de elementos de B, digamos X =
S
V ∈D
V onde D ⊆ B. O resultado segue
pois
X =
S
V ∈D
V ⊆
S
V ∈B
V ⊆ X.
(ii) Sejam x ∈ X e U, V ∈ B tais que x ∈ U ∩ V. Pela Proposi¸c˜ao 3.8 a cole¸c˜ao Bx := {Z ∈ B : x ∈ Z} ´e uma base de vizinhan¸cas para x que cont´em U e V. Pela Proposi¸c˜ao 3.3(b) existe W ∈ Bx tal que W ⊆ U ∩ V. Assim W ∈ B e x ∈ W ⊆ U ∩ V.
(b) Por (i), X ∈ τ. E ∅ =
S
V ∈∅
V ∈ τ.
Suponha que Ui ∈ τ para todo i ∈ I. Para cada i ∈ I existe Ci ⊆ B tal que Ui =
S
V ∈Ci
V.
Ent˜ao C :=
S
i∈I
Ci ⊆ B e
S
i∈I
Ui =
S
i∈I
S
V ∈Ci
V
S
V ∈C
V ∈ τ.
Sejam agora U 1 , U 2 ∈ τ e C 1 , C 2 ⊆ B tais que U 1 =
S
V 1 ∈C 1
V 1 e U 2 =
S
V 2 ∈C 2
V 2. Dados
V 1 ∈ C 1 ⊆ B, V 2 ∈ C 2 ⊆ B e x ∈ V 1 ∩ V 2 , por (ii) existe Wx ∈ B tal que x ∈ Wx ⊆ V 1 ∩ V 2. Temos V 1 ∩ V 2 =
S
x∈V 1 ∩V 2
{x} ⊆
S
x∈V 1 ∩V 2
Wx ⊆ V 1 ∩ V 2 ,
e portanto V 1 ∩ V 2 =
S
x∈V 1 ∩V 2
Wx. Isso prova que V 1 ∩ V 2 ´e uma uni˜ao de conjuntos de B,
e da´ı
U 1 ∩ U 2 =
S
V 1 ∈C 1
V 1
T
S
V 2 ∈C 2
V 2
S
V 1 ∈C 1 ,V 2 ∈C 2
V 1 ∩ V 2 ∈ τ
por tamb´em ser uma uni˜ao de conjuntos de B. Provamos que τ ´e uma topologia.
Por defini¸c˜ao, cada elemento de τ ´e uma uni˜ao de elementos de B, donde segue que B ´e uma base para τ.
A ´ultima afirma¸c˜ao segue da Proposi¸c˜ao 3.8(b).
Exerc´ıcio III.4. Sejam X um espa¸co topol´ogico, A ⊆ X e Bx uma base de vizinhan¸cas para cada x ∈ X. Prove que
∂A = {x ∈ X : V ∩ A ̸= ∅ e V ∩ Ac^ ̸= ∅ para cada V ∈ Bx}.
Exerc´ıcio III.5. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Um ponto x ∈ X ´e um ponto de acumula¸c˜ao de A se para toda vizinhan¸ca U de x existe a ∈ U ∩ A com a ̸= x. Por A′ denota-se o conjunto dos pontos de acumula¸c˜ao de A. Prove que A = A ∪ A′.
Exerc´ıcio III.6. Prove que os intervalos da forma [a, b) com a < b formam uma base para uma topologia τ em R que cont´em a topologia usual. O espa¸co (R, τ ) ´e chamado de reta de Sorgenfrey.
Exerc´ıcio III.7. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. Uma fam´ılia C ⊆ τ ´e uma subbase para τ se as interse¸c˜oes finitas de elementos de C formam uma base para τ. Prove que a cole¸c˜ao {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {(−∞, b) : b ∈ R}
´e uma subbase para a topologia usual de R.
Exerc´ıcio III.8. Sejam Y um subespa¸co do espa¸co topol´ogico X, x ∈ Y e Bx uma base de vizinhan¸cas de x em X. Prove que a fam´ılia {U ∩ Y : U ∈ Bx} ´e uma base de vizinhan¸cas de x em Y.
Exerc´ıcio III.9. Sejam Y um subespa¸co do espa¸co topol´ogico X e B uma base para a topologia de X. Prove que a fam´ılia {U ∩ Y : U ∈ B} ´e uma base para a topologia de Y.
Exerc´ıcio III.10. Sejam τ 1 e τ 2 topologias em X e, para cada x ∈ X, sejam B 1 x uma base de vizinhan¸cas de x em (X, τ 1 ) e Bx 2 uma base de vizinhan¸cas de x em (X, τ 2 ). Prove que: (a) τ 1 ⊆ τ 2 ⇐⇒ para todo x ∈ X e todo A ∈ Bx 1 existe B ∈ B 2 x tal que B ⊆ A. (b) τ 1 = τ 2 ⇐⇒ para todo x ∈ X e todos A 1 ∈ Bx 1 e A 2 ∈ Bx 2 existem B 1 ∈ B 2 x e B 2 ∈ Bx 1 tais que B 1 ⊆ A 1 e B 2 ⊆ A 2.
Provemos que χA ´e cont´ınua ⇐⇒ A ´e aberto e fechado em X. Dado um aberto V em R, temos
χ− A 1 (V ) = {x ∈ X : χA(x) ∈ V } =
X, se 1 ∈ V e 0 ∈ V, A, se 1 ∈ V e 0 ∈/ V, Ac, se 1 ∈/ V e 0 ∈ V, ∅, se 1 ∈/ V e 0 ∈/ V.
Como X e ∅ s˜ao abertos,
χA ´e cont´inua ⇐⇒ A e Ac^ s˜ao abertos ⇐⇒ A ´e aberto e fechado.
Um subconjunto de um espa¸co topol´ogico que ´e aberto e fechado ´e chamado de clopen.
- Seja Y um subespa¸co do espa¸co topol´ogico (X, τ ). Ent˜ao a inclus˜ao
i : Y −→ X , i(x) = x,
´e cont´ınua: dado um aberto A em X,
i−^1 (A) = {x ∈ Y : i(x) ∈ A} = {x ∈ Y : x ∈ A} = Y ∩ A,
´e aberto em Y.
Proposi¸c˜ao 4.5. (a) Composta de fun¸c˜oes cont´ınuas ´e cont´ınua: se f : X −→ Y e g : Y −→ Z s˜ao cont´ınuas, ent˜ao g ◦ f : X −→ Z ´e cont´ınua. (b) Restri¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua ´e cont´ınua: se f : X −→ Y ´e cont´ınua e B ⊆ X, ent˜ao a restri¸c˜ao de f a B, f |B : B −→ Y , f |B (x) = f (x),
´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. (a) Seja A aberto em Z. Ent˜ao
X f −→ Y g −→ Z
g−^1 (A) ´e aberto em Y pela continuidade de g e
(g ◦ f )−^1 (A) = f −^1
g−^1 (A)
´e aberto em X pela continuidade de f.
(b) Chame de i : B −→ X a inclus˜ao, que sabemos ser cont´ınua pelo Exemplo 4.4(5). Ent˜ao B i −→ X f −→ Y , (f ◦ i)(x) = f (i(x)) = f (x),
isto ´e, f |B = f ◦ i, que ´e cont´ınua pelo item (a).
Proposi¸c˜ao 4.6. (a) Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos e S 1 , S 2 subconjuntos de X tais que X = S 1 ∪ S 2 e ambos s˜ao abertos ou ambos s˜ao fechados. Se uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e tal que f |S 1 e f |S 2 s˜ao cont´ınuas, ent˜ao f ´e cont´ınua. (b) Sejam X, Z espa¸cos topol´ogicos, W ⊆ Y ⊆ Z e f : X −→ Y uma fun¸c˜ao cont´ınua tal que f (X) ⊆ W. Ent˜ao as fun¸c˜oes
fW : X −→ W , fZ : X −→ Z , fW (x) = fZ (x) = f (x),
s˜ao cont´ınuas.
Demonstra¸c˜ao. (a) Fa¸camos o caso em que S 1 e S 2 s˜ao abertos; o outro caso ´e an´alogo. Dado um aberto A em Y , da continuidade de f |S 1 segue que
(f |S 1 )−^1 (A) = {x ∈ S 1 : f |S 1 (x) ∈ A} = {x ∈ S 1 : f (x) ∈ A} = S 1 ∩ f −^1 (A)
´e aberto em S 1. Da mesma forma, S 2 ∩ f −^1 (A) ´e aberto em S 2. Existem ent˜ao abertos U 1 e U 2 em X tais que
S 1 ∩ U 1 = S 1 ∩ f −^1 (A) e S 2 ∩ U 2 = S 2 ∩ f −^1 (A).
Como X = S 1 ∪ S 2 , conclu´ımos que
f −^1 (A) = X ∩ f −^1 (A) = (S 1 ∪ S 2 ) ∩ f −^1 (A) = (S 1 ∩ f −^1 (A)) ∪ (S 2 ∩ f −^1 (A)) = (S 1 ∩ U 1 ) ∪ (S 2 ∩ U 2 )
´e aberto por ser uma uni˜ao de uma interse¸c˜ao finita de abertos ∴ f ´e cont´ınua.
(b) Exerc´ıcio IV.1.
Vejamos a rela¸c˜ao do conceito de continuidade com as bases de topologias e bases de vizinhan¸cas.
Proposi¸c˜ao 4.7. (a) Seja B uma base para a topologia de Y. Uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e cont´ınua se, e somente se, f −^1 (A) ´e aberto em X para todo A ∈ B. (b) Sejam f : X −→ Y , Ba uma base de vizinhan¸cas de a ∈ X e Bf (a) uma base de vizinhan¸cas de f (a). S˜ao equivalentes: (i) f ´e cont´ınua em a. (ii) Para toda vizinhan¸ca V de f (a) existe uma vizinhan¸ca U de a tal que f (U ) ⊆ V. (iii) Para toda V ∈ Bf (a) existe U ∈ Ba tal que f (U ) ⊆ V.
Demonstra¸c˜ao. (a) Suponha que f −^1 (A) seja aberto em X para todo A ∈ B. Dado um aberto U em Y , por defini¸c˜ao de base existe C ⊆ B tal que U =
S
V ∈C
V. Cada V ∈ C ⊆ B,
ent˜ao por hip´otese sabemos que f −^1 (V ) ´e aberto em X para todo V ∈ C. Segue que
f −^1 (U ) = f −^1
S
V ∈C
V
S
V ∈C
f −^1 (V )
´e aberto por ser uma uni˜ao de abertos ∴ f ´e cont´ınua.
A rec´ıproca ´e ´obvia.
(b) (i) =⇒ (ii) Seja V uma vizinhan¸ca de f (a). Ent˜ao existe um aberto V 1 em Y tal que f (a) ∈ V 1 ⊆ V. Como f ´e cont´ınua em a, existe um aberto U em X contendo a tal que f (U ) ⊆ V 1 ⊆ V. Por ser um aberto contendo a, U ´e uma vizinhan¸ca de a.
(ii) =⇒ (iii) Seja V ∈ Bf (a). Em particular, V ´e uma vizinhan¸ca de f (a), logo, por (ii), existe uma vizinhan¸ca U 1 de a tal que f (U 1 ) ⊆ V. Como Ba ´e uma base de vizinhan¸cas de a, existe U ∈ Ba tal que U ⊆ U 1 , e da´ı f (U ) ⊆ f (U 1 ) ⊆ V.
(iii) =⇒ (i) Seja V um aberto em Y contendo f (a). Devemos mostrar que existe um aberto U em X contendo a tal que f (U ) ⊆ V.
