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Instituição : Faculdade de Tecnologia e Ciências Professor : Diego Queiroz de Sousa Disciplina : Topografia
Curvas Horizontais e Verticais
1. Introdução Existem diversas ocasiões na engenharia em que os projetos são desenvolvidos a partir da locação de alinhamentos compostos por retas seguidas e curvas, a exemplos de arruamentos, projetos de túneis, ferrovias, rodovias, traçados de gasodutos, canais, entre outros. Baseando-se no relevo e nos elementos geográficos e geológicos do terreno, além dos fatores econômicos e de segurança, o profissional escolhe o melhor traçado para os alinhamentos e cria a diretriz de seu projeto, o qual consiste basicamente de trechos retos concordados por curvas horizontais, formando um alinhamento contínuo sobre o terreno. Em seguida, tomando o alinhamento projetado como referência, levanta-se o perfil longitudinal do terreno, a partir do qual são projetadas as rampas e as curvas verticais para adequar o traçado do alinhamento do terreno. Cabe salientar que o conteúdo apresentado neste material não tem como objetivo discutir as aplicações das curvas nos projetos de engenharia. Neste sentido, àqueles interessados deverão consultar literatura especializada, de acordo a necessidade do projeto. Neste capítulo serão apresentados os detalhes geométricos e as equações fundamentais dos três tipos de curvas usadas nos projetos de engenharia: curvas horizontais circulares; curvas horizontas de transição; curvas verticais. Curvas horizontais circulares: Uma curva horizontal, para a engenharia, deve ser entendida como arcos de circunferência situada no plano horizontal do projeto, conectando entre si, formando uma curva horizontal circular. Geralmente, ela está compreendida entre dois trechos de retas projetadas no mesmo plano, as quais se dá o nome de tangentes. Para os propósitos da engenharia, consideram-se três tipos de curvas horizontais circulares, cujos detalhes geométricos serão apresentados a seguir e os parâmetros geométricos de três tipos de curvas estão relacionados no item X :
1.1. Curva horizontal circular simples : uma curva horizontal simples é aquela que possui um raio de curvatura R constante, conforme indicado na Figura 1. Trata-se de uma curva primitiva, geometricamente bem definida e fácil de ser projetada, razão pela qual é a curva mais utilizada nos projetos de engenharia.
Figura 1. Curva horizontal circular simples.
1.2. Curva horizontal circular composta : uma curva horizontal composta é aquela formada por duas ou mais curvas horizontais circulares simples consecutivas com raios de curvatura diferentes, conforme indicado na Figura 2. Em geral, este tipo de curva é pouco usado nos projetos de engenharia. O seu uso é recomendado apenas para os casos especiais em que se necessita evitar obstáculos do terreno, os quais não podem ser evitados com o so de curvas circulares simples de raio maior.
Figura 2. Curva horizontal circular composta.
Na Figura 2 , a reta AB é a tangente comum às duas curvas no ponto Tc e as retas T1 e T2 são tangentes às duas curvas. Desta forma, por serem curvas diferentes, elas geram dois ângulos de deflexão (α e β), de forma que AC = α + β.
1.3. Curva horizontal circular reversa : Um curva horizontal reversa é aquela formada por duas curvas horizontais circulares simples consecutivas, geralmente, de raios de curvaturas iguais, porém, com centros de curvaturas opostos, conforme indicado na Figura 3. O tratamento geométrico deste tipo de curva é, geralmente, realizado considerando-as como duas curvas horizontais simples independentes.
2 2 (^1 )
(^) T R tg AC R tg AC T
b. Afastamento: é a distância entre o PI e o ponto médio da curva (PM), calculado de acordo a equação 2..
cos 2 ( 2 ) dist ( OPI )
AC R
^
sec 2 ( 2. 1 ) 2
dist (^) O PI ACR R^ AC
E dist ( O PI ) dist ( O PM ) dist ( O PI ) R ( 2. 2 )
cos 2
E R AC
c. Ordenada média ( S - PM ): é a distância entre o ponto média da curva e o ponto médio da corda, que une PC ao PT, calculada de acordo com a equação 3..
cos AC 2^ dist R ( O S ) ( 3 )
Como a distância de O-PM é igual o comprimento R, tem-se
( ) ( ) ( ) cos 2 1 cos 2 (^3 )
dist (^) S PM distO PM distO S R R AC ou R^ AC
d. Corda (PC - PT): segmento de reta entre o PC e p PT, calculada de acordo com a equação 4..
sen AC 2 dist ( RS^ PT^ ) ( 4 )
( ) 2 (^4.^1 )
dist (^) S PT R sen ^ AC
Como a distância S – PT é a mesma que S – PC, pode-se reescrever a equação 4.1 conforme a equação 4.2, a seguir, para obter o comprimento da corda (PC – PT):
( )^22 (^4.^2 )
corda (^) PC PT R sen ^ AC
e. Desenvolvimento da curva: é o comprimento real da curva dado pelo arco de círculo entre PC e PT, calculado de acordo com as equações 5 (graus), equação 5.1 (radianos) ou equação 5.2 (grados) a seguir:
Sabendo que ^360
AC
R
D
, tem-se:
D 180 R AC paraACemgraus ( 5 )
D AC R paraAC emradianos ( 5. 1 )
D 200 R^ gAC paraACemgrados ( 5. 2 )
f. Graus da curva ou graus da curvatura: para o caso rodoviário, este parâmetro é o ângulo central que corresponde a um arco de 20 metros ( Figura 6a ) e, para o caso ferroviário ( Figura 6b ), ele é o ângulo central que corresponde a uma corda de 20 metros, calculadas de acordo com as equação 6 e equação 7 , respectivamente.
a. b.
20 G^ ^3602 R G ^1145 R ,^916 (^6 )^1010 (^7 ) 2
R G arcsen R sen G
Figura 6. Grau de curva para o caso rodoviário (a), para o caso ferroviário (b) e suas respectivas equações.
4, Estaqueamento do alinhamento Após a definição do alinhamento com suas tangentes concordadas por curvas hprizontais. Ele é discretizado em pontos equidistantes, denominados estaca. A equidistância varia de acordo o tipo de
6. Curvas verticais Após a definição do alinhamento no plano horizontal, é necessário realizar a concordância do traçado projetado no plano com as variações do relevo. Para tanto, levanta-se o perfil do terreno e procede-se ao projeto das rampas e das curvas verticais, de acordo as diretrizes do projeto. A curva vertical , neste caso, tem a mesma função da curva horizontal, com a diferença de que, ao invés de concordar duas retas no plano horizontal (tangentes), ela é usada para concordar duas retas no plano vertical (rampas). Em geral, as curvas verticais utilizadas par a concordância de rampas, nos projetos de engenharia, são as circunferências e as parábolas. No caso da circunferência, o tratamento da concordância segue as mesmas regras apresentadas para o caso das curvas horizontais simples. Apresentaremos nesta seção os detalhes geométricos e analíticos das curvas verticais parabólicas. Assim, considerando a geometria indicada na Figura 7, tem-se os seguintes parâmetros para a parábola de concordância entre as rampas 1 e 2.
Figura 7. Geometria da curva vertical parabólica. PVI: ponto de interseção das rampas; PCV : ponto da curva vertical ou início da curva vertical; PTV: ponto da tangente vertical ou fim da curva vertical; Lv : comrimento da curva na sua projeção horizontal; i 1 : inclinação da rampa 1, em percentagem (positivo quando ascendente e negativo quando descendente); i 2 : inclinação da rampa 2, em percentagem (positivo quando ascendente e negativo quando descendente);
δi : diferença algébrica da inclinação ( i i 1 i 2 ).
7. Equação da parábola
A equação da parábola, em função dos eixos x e y, conforma indicado na Figura 8 , é dada pela equação 10.
y ax^2 bx c ( 10 ) Figura 8. Geometria e equação da parábola da curva vertical parabólica e. Considerando que a origem da parábola coincide com o ponto de concordância entre a rampa e a parábola ( PCV ), o termo ( c ) é igual a zero. Impondo a condição de que a parábola concorde com as rampas nos pontos ( PCV ) e ( PTV ) tem-se:
xy^ ii^ ^2 ax b (^11 ) Como x = 0 neste ponto,
ii b ( 12 )
No ponto final da parábola ( PTV ), x=Lv. Assim,
xy^ i^2 ^2 aLV^ b (^13.^1 )^1222 (^13.^2 ) V
i LV L
a i i ^
Portanto,
y 2 L x^2 i 1 x ( 14 ) V
i^
8. Altitudes e estacas do PCV e PTV Considerando que a abscissa ( x ) é igual a distância horizontal entre um ponto ( P ) qualquer da curva vertical e o ponto ( PCV ), a equação 14 permite calcular o valor da ordenada( y ) do ponto ( P ), ou seja, a diferença de altitude entre os pontos ( P ) e ( PCV ) para qualquer ponto ( P ) ao longo da curva. Assim, tem-se:
Figura 9. Pontos singulares de uma curva vertical.
O valor da flecha ( f ) para qualquer ponto da curva pode ser calculado pela equação 22.
f 2 L x^2 ( 22 ) V
^ i
No ponto (PVI), onde x=Lv/2, tem-se:
F ^ 8 i^ LV ( 23 )
As coordenadas dos pontos singulares da curva vertical são calculadas conforme indicado no Quadro
1.
Quadro 1. Equações dos pontos singulares de curvas verticais
Ponto (^) x Eixo y
PCV 0 0
PTV LV i^1^ i 2 ^ L 2^ V
PIV L 2^ V i 1^ L 2^ V
M L 2^ V ^ i ^ L 8 V ^ ii ^ L 2^ V
V
i
i LV
1 i
i LV
11. Praticando 2
Considerando o perfil de uma rodovia, conforme indicado na Figura 10, onde se deseja implantar uma
curva vertical parabólica, calcular os elementos geométricos dessa curva.
Figura 10. Relações geométricas de uma curva a ser implantada.
A partir dos valores informados acima, pede-se:
a. Calculo do comprimento da curva ( Lv );
b. Cálculo da altitude do PCV ;
c. Cálculo da altitude do PTV ;
d. Cálculo da estaca do PCV ;
e. Cálculo da estaca do PTV ;
f. Cálculo da abscissa do ponto de máxima;
g. Cálculo da ordenada do ponto de máxima.
