Tópicos de Mecânica Clássica, Notas de estudo de Mecânica

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T´opicos de Mecˆanica Cl´assica

Marcus A. M. de Aguiar

22 de dezembro de 2021

ii

Pref´acio

Novos livros de f´ısica b´asica continuam a ser escritos e publicados todos os anos. Isso parece um tanto paradoxal, pois n˜ao pode haver mais nada de novo para se dizer sobre esses temas. De fato, a Mecˆanica, a Termodinˆamica e o Eletromagnetismo s˜ao teorias bem estabelecidas h´a muitos anos, e tanto j´a se escreveu sobre elas, que n˜ao ´e claro porque tantos autores insistem em re-apresentar esses conte´udos de sua pr´opria maneira.

No entanto, para quem faz pesquisa, ou se interessa pelos avan¸cos da ciˆencia, ´e bastante claro que ‘n˜ao existe assunto encerrado’. Novas desco- bertas sempre nos fazem repensar conceitos que pareciam intoc´aveis para re-interpret´a-los e re-adapt´a-los `as novas situa¸c˜oes. A Mecˆanica Cl´assica ´e um ´otimo exemplo desse processo constante de re-descoberta. No in´ıcio dos anos 1800 Laplace afirmou que se algu´em pudesse conhecer todas as for¸cas agindo sobre todas as part´ıculas existentes, assim como suas condi¸c˜oes ini- cias, poderia calcular todo o futuro e o passado do universo. Esse pensamento determinista, no entanto, cairia por terra com os trabalhos de Poincar´e, que demonstrou a instabilidade intr´ınseca do movimento no problema gravita- cional de trˆes corpos, fundando as bases do que seria conhecido mais tarde como Teoria do Caos.

Simultaneamente aos trabalhos de Poincar´e, apareciam os primeiros ind´ı- cios da inadequa¸c˜ao da mecˆanica e do eletromagnetismo cl´assicos para expli- car certos fenˆomenos microsc´opicos, como o efeito fotoel´etrico e a quantiza¸c˜ao dos n´ıveis de energia atˆomicos. Surgiria em breve a teoria quˆantica e, junto com ela, a dif´ıcil tarefa de compatibiliz´a-la com a mecˆanica cl´assica. Cl´assico versus quˆantico emaranhou-se com caos versus regularidade, e o estudo des- sas quest˜oes estende-se at´e os dias de hoje. E com esse esp´´ ırito que esse livro foi escrito, tendo como base textos cl´assicos como Goldstein e tantos outros, mas sempre procurando contato com elementos novos, particularmente com caos Hamiltoniano e limite semicl´assico.

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viii CAP´ITULO 0. PREF ACIO´

Esse livro foi preparado a partir de notas de aula para a disciplina Mecˆanica Avan¸cada, que lecionei v´arias vezes na p´os-gradua¸c˜ao do Instituto de F´ısica da Unicamp. Os primeiros cinco cap´ıtulos cont´em uma breve revis˜ao da mecˆanica Newtoniana, apresentando em seguida as equa¸c˜oes de Lagrange, os princ´ıpios variacionais e o formalismo de Hamilton, enfatizando o teorema de Liouville, o teorema de recorrˆencia de Poincar´e e o tratamento dinˆamico de ensembles. Em seguida apresento a teoria de transforma¸c˜oes canˆonicas, in- cluindo a equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi e sua rela¸c˜ao com o limite semicl´assico da equa¸c˜ao de Schr¨odinger. Os cap´ıtulos seis a nove discutem o teorema de integrabilidade de Arnold e Liouville, as vari´aveis de a¸c˜ao e ˆangulo e a teoria de perturba¸c˜oes canˆonicas, onde apresento os teoremas KAM, Poin- car´e-Birkhoff e os emaranhados homocl´ınicos, discutindo o aparecimento de caos Hamiltoniano. Finalmente apresento brevemente o limite do cont´ınuo, a equa¸c˜ao da corda vibrante e o teorema de N¨other. Espero que o livro possa ser ´util como complemento nos cursos de p´os-gradua¸c˜ao em mecˆanica cl´assica e tamb´em aos estudantes interessados em aprender sobre caos Hamiltoniano e sua conex˜ao com o limite semicl´assico da teoria quˆantica. Esta vers˜ao cont´em pequenas corre¸c˜oes em rela¸c˜ao ao livro publicado pela Livraria da F´ısica. Foram tamb´em acrescentadas as se¸c˜oes 6.8.2, 7.4 e 11.7, novas figuras e alguns novos exerc´ıcios. Agrade¸co a todos que apontaram erros nas equa¸c˜oes e no texto, particularmente os profs. Ricardo Mosna e Alberto Saa do IMECC, Unicamp e Mauro Copelli, da UFPE.

Marcus A.M. de Aguiar Campinas, 15 de janeiro de 2019.

x CAP´ITULO 0. AGRADECIMENTOS

Cap´ıtulo 1

Mecˆanica Newtoniana

A mecˆanica ´e um ramo da F´ısica que tem grande apelo pr´atico. O movimento de corpos sob a a¸c˜ao da gravidade, de for¸cas el´asticas e de atrito s˜ao exem- plos intuitivos de sistemas dinˆamicos presentes no nosso dia-a-dia. Embora seja dif´ıcil precisar quando a mecˆanica come¸cou a ser descrita em termos de princ´ıpios fundamentais, um marco importante ´e a descri¸c˜ao de Arist´oteles (384-322 AC) do movimento dos corpos. Para ele, todos os movimentos se- riam retil´ıneos, circulares, ou uma combina¸c˜ao dos dois, pois esses eram os ´unicos movimentos perfeitos. O estado natural de alguns corpos seria o de movimento perfeito, como os corpos celestes. Para outros, como uma pedra, o estado natural seria o de repouso, sendo seu movimento poss´ıvel apenas sob a a¸c˜ao constante de for¸cas: no momento que a for¸ca deixasse de ser aplicada, o corpo retornaria `a sua posi¸c˜ao natural de repouso.

As id´eias de Arist´oteles s˜ao questionadas por Galileo (1564-1642) que in- troduz o que hoje conhecemos como m´etodo cient´ıfico, que diz, basicamente, que conclus˜oes sobre o comportamento natural devem ser comprovadas por experimentos cuidadosos e controlados que possam ser reproduzidos sob as mesmas condi¸c˜oes. Galileo formula as leis b´asicas do movimento de corpos sob a a¸c˜ao da gravidade, usa um telesc´opio para estudar o movimento dos planetas e formula o Princ´ıpio da Relatividade de Galileo. O princ´ıpio diz que n˜ao ´e poss´ıvel distinguir o estado de repouso daquele em movimento re- til´ıneo uniforme. Como exemplo, Galileo observa que uma pessoa no por˜ao de um navio que navega em mar calmo com velocidade constante n˜ao tem como saber se est´a realmente em movimento ou em repouso. Se a pessoa n˜ao olhar pela escotilha, n˜ao haver´a nenhum experimento capaz de decidir a quest˜ao.

rel´ogios, particularmente rel´ogios de ´agua. O tempo absoluto significa que o intervalo entre dois eventos ´e independente do estado do observador que o mede, sendo intr´ınseco aos eventos.

Sistemas de referˆencia, velocidade, acelera¸c˜ao e trajet´oria - O con- ceito de sistema de referˆencia (SR) ´e fundamental, embora muitas vezes n˜ao lhe damos grande importˆancia e o consideramos impl´ıcito. Um SR Newto- niano deve ser pensado como um laborat´orio e consiste em um sistema de eixos e um rel´ogio. A imagem mental de um SR ´e de trˆes r´eguas gigantes colocadas a 90 graus umas das outras formando os trˆes eixos cartesianos x, y e z e de um ´unico rel´ogio vis´ıvel de todos os lugares para medir a passagem do tempo. Com isso, podemos anotar a cada instante t, como visto no rel´ogio, a posi¸c˜ao r = (x, y, z) de uma part´ıcula. A taxa com que sua posi¸c˜ao muda com o tempo, e a dire¸c˜ao em que a mudan¸ca ocorre, dar´a sua velocidade v = (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = (vx, vy, vz ) e a taxa com que a velocidade muda com tempo dar´a sua acelera¸c˜ao a = (dvx/dt, dvy/dt, dvz /dt) = (ax, ay, az ). A trajet´oria da part´ıcula ´e a fun¸c˜ao r(t). N˜ao se deve confundir o conceito de SR com o de sistemas de coordenadas. Diversos sistemas de coordenadas, como cartesianas, esf´ericas ou parab´olicas, podem ser escolhidos dentro de um mesmo SR. Exemplos de SR s˜ao um laborat´orio fixo ao ch˜ao, ou fixo em rela¸c˜ao `a uma esta¸c˜ao espacial orbitando a Terra, ou ainda fixo em rela¸c˜ao a um carrossel que gira com velocidade angular constante.

For¸ca - For¸ca ´e uma a¸c˜ao impressa a um objeto que visa mudar seu es- tado de movimento. O conceito pode ser pensado como intuitivo e um dos problemas da F´ısica ´e descobrir quais as for¸cas que atuam em determinado corpo e como elas se comportam em fun¸c˜ao dos diversos parˆametros do pro- blema. A for¸ca eletrost´atica entre dois objetos carregados, por exemplo, depende diretamente da quantidade de carga em cada um deles e do inverso do quadrado da distˆancia que os separa. No caso de uma mola ideal, a for¸ca aumenta linearmente com a distens˜ao provocada. Assim, for¸cas gen´ericas podem ser medidas por compara¸c˜ao com uma mola padr˜ao atrav´es da me- dida da distˆancia que esta deve ser distendida para compensar a for¸ca a ser medida.

A Primeira Lei de Newton - Every body perseveres in its state of rest, or of uniform motion in a right line, unless it is compelled to change that state by forces impressed thereon. Em portuguˆes: Todos os corpos permanecem

4 CAP´ITULO 1. MEC ANICA NEWTONIANAˆ 1.

em seu estado de repouso, ou em movimento retil´ıneo uniforme, a n˜ao ser que sejam compelidos a mudar seu estado por for¸cas neles aplicadas. Em- bora a primeira lei pare¸ca um caso particular da segunda lei com for¸ca nula, e portanto totalmente dispens´avel, ela ´e de fato uma lei por si mesma. Seu prop´osito ´e definir uma classe especial de sistemas de referˆencia, chamados inerciais, onde a segunda lei pode ser aplicada.

Sistema Inercial de Referˆencia - SIR - S˜ao SR especiais onde vale a pri- meira lei de Newton. Nesses sistemas, um corpo permanece em seu estado de repouso ou em movimento retil´ıneo uniforme se n˜ao houverem for¸cas agindo sobre ele. Um SR fixo em rela¸c˜ao a um carrossel que gira n˜ao ´e inercial, pois um corpo deixado em repouso sobre ele passar´a a se movimentar em rela¸c˜ao ao observador no carrossel assim que largado. Pode-se mostrar que, dado um SIR, ent˜ao qualquer outro SR que se mova em rela¸c˜ao `a ele com velocidade constante tamb´em ´e inercial.

Massa - The quantity of matter is a measure of the same, arising from its density and bulk conjunctly. Em portuguˆes: a quantidade de mat´eria (massa) ´e uma medida da mesma, resultante da densidade e do volume do corpo conjuntamente.

Quantidade de Movimento The quantity of motion is a measure of the same, arising from the velocity and quantity of matter conjunctly. Em por- tuguˆes: a quantidade de movimento ´e uma medida do mesmo (movimento) e resulta da velocidade e da massa conjuntamente. Usando m para a massa e p para a quantidade de movimento, tamb´em conhecido como momento, temos p = mv.

A Segunda Lei de Newton - The alteration of motion is ever propor- tional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed. Em portuguˆes: A altera¸c˜ao do movimento ´e sempre proporcional `a for¸ca motriz impressa; essa altera¸c˜ao ocorre na dire¸c˜ao em que a for¸ca ´e impressa. Como a ausˆencia de for¸cas implica em repouso ou movimento retil´ıneo uniforme, a altera¸c˜ao do movi- mento implica em acelera¸c˜ao da part´ıcula. Como o movimento ´e medido em termos da quantidade p a equa¸c˜ao para a segunda lei ´e F = dp/dt. Em- bora Newton n˜ao diga explicitamente, essa lei s´o vale em SIRs, pois estamos supondo que a primeira lei ´e valida tamb´em. No caso de sistemas n˜ao inerci-

6 CAP´ITULO 1. MEC ANICA NEWTONIANAˆ 1.

demˆonio que pudesse conhecer as posi¸c˜oes e velocidades de todas as part´ıculas do universo e as for¸cas entre elas seria capaz de prever inequivocamente seu futuro. Essa afirmativa, no entanto, mostrou-se errada mesmo dentro da teo- ria cl´assica devido a existˆencia de movimento ca´otico, como veremos adiante. Notamos ainda que, aplicando a mesma for¸ca F em dois objetos diferentes, as acelera¸c˜oes (na dire¸c˜ao da for¸ca) ser˜ao proporcionais:

x¨ 1 x ¨ 2

m 2 m 1

Tomando um dos objetos como padr˜ao para massa, m 1 = 1 por exemplo, podemos medir a massa dos outros objetos.

1.2 O grupo de Galileo

Como mencionamos anteriormente, sistemas inerciais tem a seguinte proprie- dade importante: se K ´e inercial e K′^ move-se em rela¸c˜ao a K com velocidade constante, ent˜ao K tamb´em ´e inercial. A prova ´e bastante simples: Suponha, por simplicidade, que os referenciais K e K′^ tenham eixos x, y, z e x′, y′, z′^ paralelos e que em t = 0 suas origens coincidam, como ilustrado na figura 1.1. Seja V a velocidade constante da origem de K′^ em rela¸c˜aoa origem de K. Uma part´ıcula m ter´a coordenadas r e r′^ quando observada de K e K′^ respectivamente e, por constru¸c˜ao

r′(t) = r(t) − Vt. (1.3)

A velocidade e acelera¸c˜ao da part´ıcula nesses referenciais ser˜ao

v′(t) = v(t) − V a′(t) = a(t).

Dessa forma, se n˜ao houverem for¸cas sobre m, a = 0 pois K ´e inercial por hip´otese. Como a′^ = a, a′^ = 0 tamb´em e K′^ tamb´em ´e inercial. A transforma¸c˜ao (1.3) ´e de um tipo bem particular, pois os eixos s˜ao paralelos e coincidem em t = 0. O conjunto geral de transforma¸c˜oes que leva um referencial inercial em outro ´e conhecido como Grupo de Transforma¸c˜oes de Galileo [3] e pode ser escrito como:

r′(t) = Rr(t) − Vt − u

t′^ = t − s

1.2 1.2. O GRUPO DE GALILEO 7

x

x’

y’

y

z

z’

r

r’

V

K’

K

m

Figura 1.1: Os referenciais K e K′^ s˜ao inerciais.

onde R ´e uma matriz ortogonal de determinante 1 (matriz de rota¸c˜ao), V e u vetores e s um parˆametro escalar. As transforma¸c˜oes de Galileo formam um grupo com 10 parˆametros independentes e podem ser decompostas em trˆes transforma¸c˜oes elementares:

• Transla¸c˜ao das origens do espa¸co e do tempo (4 parˆametros)

g 1 (r, t) = (r′, t′) = (r − u, t − s)

• Rota¸c˜ao dos eixos (3 parˆametros)

g 2 (r, t) = (r′, t′) = (Rr, t)

• Movimento uniforme com velocidade constante (3 parˆametros)

g 3 (r, t) = (r′, t′) = (r − Vt, t)

O requerimento de que as equa¸c˜oes de movimento sejam invariantes por transforma¸c˜oes de Galileo imp˜oe uma s´erie de restri¸c˜oes aos tipos de for¸cas F que esperamos encontrar na natureza. Vamos ver a invariˆancia por transla¸c˜oes temporais, por exemplo. Ela implica que se m¨r = F(r, r˙, t) ent˜ao mr¨′^ = F(r′, r˙′, t′) onde r′^ = r e t′^ = t − s. Ent˜ao, a equa¸c˜ao de movimento em K′ pode ser reescrita como m¨r = F(r, r˙, t − s) 6 = F(r, r˙, t), a n˜ao ser que F n˜ao dependa explicitamente do tempo. A invariˆancia por transla¸c˜oes temporais

1.3 1.3. EXEMPLOS ELEMENTARES 9

onde G = 6. 673 × 10 −^11 m^3 Kg−^1 s−^2 ´e a constante de gravita¸c˜ao universal. Substituindo r por R + x, lembrando que g = GM/R^2 e supondo x << R podemos escrever

x¨ = −

GM

R^2

(r/R)^2

= −g

(1 + x/R)^2

≈ −g +

2 gx R

A solu¸c˜ao ´e deixada como exerc´ıcio e o resultado ´e

x(t) = (x 0 −

R

) cosh (νt) +

v 0 ν

sinh (νt) +

R

onde ν =

2 g/R. Mostre que para ν → 0 a solu¸c˜ao do exemplo anterior ´e recuperada.

Exemplo 3 - O oscilador harmˆonico I - E dif´´ ıcil superestimar o papel do oscilador harmˆonico na F´ısica. Voltaremos a falar dele em diversos momen- tos. Por enquanto basta pensar no movimento unidimensional de um corpo de massa m preso a uma mola ideal de constante el´astica k. Se medirmos a posi¸c˜ao da massa a partir de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio, a sua equa¸c˜ao de movimento ser´a mx¨ = −kx, ou ainda

x¨ = −ω^2 x, ω =

k/m.

A solu¸c˜ao, sujeita `as condi¸c˜oes iniciais x(0) = x 0 e ˙x(0) = v 0 , ´e

x(t) = x 0 cos (ωt) +

v 0 ω

sin (ωt).

Exemplo 4 - O oscilador harmˆonico II - O exemplo anterior ilustra uma situa¸c˜ao bastante comum de n˜ao-invariˆancia por transla¸c˜oes espaciais. De fato, se fizermos x′^ = x − a obtemos

m¨x′^ = mx¨ = −kx = −k(x′^ + a) 6 = −kx′.

Isso ocorre porque o sistema m¨x = −kx ´e de fato uma descri¸c˜ao reduzida de um problema de dois corpos, afinal de contas a outra extremidade da mola tem que estar presa em algum lugar! Considere, ent˜ao, a situa¸c˜ao mais realista descrita pela figura (1.2). As equa¸c˜oes de movimento dos corpos com massas m 1 e m 2 s˜ao

m 1 x¨ 1 = k(x 2 − x 1 − l) m 2 x¨ 2 = −k(x 2 − x 1 − l)

10 CAP´ITULO 1. MEC ANICA NEWTONIANAˆ 1.

x

x 1

x 2

m 1 m 2

Figura 1.2: Duas massas presas por uma mola observadas de um referencial inercial.

onde l representa o comprimento natural da mola. Definindo coordenadas relativas e de centro de massa por

r = x 2 − x 1 − l, R =

m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

e as massas total e reduzida

M = m 1 + m 2 , μ =

m 1 m 2 m 1 + m 2

podemos mostrar facilmente que as equa¸c˜oes de movimento se reduzem a

μr¨ = −kr M R¨ = 0.

Tanto as equa¸c˜oes para x 1 e x 2 quanto para r e R s˜ao invariantes por transla¸c˜oes. Fazendo x 1 → x 1 + a e x 2 → x 2 + a vemos que r → r e R → R + a e as equa¸c˜oes permanecem idˆenticas. Fica como exerc´ıcio resol- ver as equa¸c˜oes acima, obtendo x 1 (t) e x 2 (t) em termos de suas condi¸c˜oes iniciais, e estudar o limite em que m 1 >> m 2.

Exemplo 5 - For¸cas dependentes do tempo - Como ´ultimo exemplo, consi- deremos o movimento unidimensional de uma part´ıcula sob a a¸c˜ao de uma for¸ca dependente do tempo. Para simplificar o c´alculo vamos supor que m = 1 e que escolhemos unidades tais que F (t) = t, com t medido em ho- ras. A equa¸c˜ao de movimento ´e ¨x = t. Se fizermos um experimento hoje supondo que x(0) = x˙(0) = 0 obteremos a trajet´oria x 1 (t) = t^3 /6. Se repetirmos o experimento amanh˜a sob as mesmas condi¸c˜oes teremos que fazer x(T ) = x˙(T ) = 0 onde T = 24 horas. A solu¸c˜ao ser´a x 2 (t) =