Lista de Exercícios
Transformada de Laplace e Z
Vinícius Marinho Silva
Vitória da Conquista, BA
Janeiro de 2013.
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Transformada de Laplace e Z: Exercícios Resolvidos por Vinícius Marinho Silva, Exercícios de Circuitos Elétricos
Uma lista de exercícios resolvidos por vinícius marinho silva sobre a transformada de laplace e z. O documento inclui soluções para vários problemas, utilizando métodos clássicos e manipulação de funções, e contém referências ao livro 'sinais e sistemas' de simon haykin e barry van veen.
Tipologia: Exercícios
2024
1 / 15
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Lista de Exercícios
Transformada de Laplace e Z
Vinícius Marinho Silva
Vitória da Conquista, BA Janeiro de 2013.
Problemas
2.4-7 A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é
ℎ(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡)
Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for:
a) u ( t )
b) 𝑒−𝑡𝑢(𝑡)
c) 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡)
d) 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑢(𝑡)
Item a:
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡)∗𝑥(𝑡)
Substituindo x(t) e h(t):
𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡). 𝑢(𝑡)
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace):
1
𝑠+1 e^ 𝑥(𝑠) =^
1 𝑠
logo,
𝑦(𝑠) = ℎ(𝑠). 𝑥(𝑠)
𝑦(𝑠) = ( (^) 𝑠+1^1 ) (^1 𝑠)
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1 será necessário expandir estas funções por frações parciais. Então:
𝑦(𝑠) =
𝑠 +^
Trata-se de do caso 1 de frações parciais (Raízes diferentes e racionais) Para saber o valor do resíduo “A” multiplica-se a equação acima pelo denominador de “A” e em seguida substitui-se “s” pela raiz do denominador de “A”, ou seja, substitui-se por zero. Então:
[(
𝑠)] (𝑠) = (
𝑠 +^
Substituindo-se s por 0:
[(
0 + 1)] = 𝐴 + (^
ℎ(𝑠) = (^) 𝑠+1^1 e 𝑥(𝑠) = (^) 𝑠+2^1
Logo, 𝑦(𝑠) = ℎ(𝑠). 𝑥(𝑠)
𝑦(𝑠) = (^) 𝑠+1^1. (^) 𝑠+2^1
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1 será necessário expandir estas funções por frações parciais. Então:
𝑦(𝑠) =
𝑠 + 1.^
𝑠 + 2 =^
𝑠 + 1 +^
Subst. A e B:
𝑦(𝑠) =
𝑠 + 1 +^
Em função do tempo: 𝑦(𝑡) = (𝑒−𝑡^ − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡)
Item d:
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡)∗𝑥(𝑡) Substituindo x(t) e h(t): 𝑦(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡). 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝑢(𝑡) Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace):
ℎ(𝑠) = 𝑠+1^1 e 𝑥(𝑠) = 𝑠 2 + 3^32
logo,
𝑦(𝑠) = ℎ(𝑠). 𝑥(𝑠)
𝑦(𝑠) = (^) 𝑠+1^1.^ 𝑠 (^2) +3^12
Como esta transformada não pode ser obtida diretamente da tabela 1. É necessário expandir estas funções por frações parciais. Trata-se de uma fração parcial de modo 3 (onde o denominador possui raiz complexa). Nota-se que (𝑠^2 + 3^2 ) é o fator irredutível que possui raízes complexas. Então a fração parcial será:
𝑦(𝑠) =
𝑠 + 1.^
𝑠^2 + 3^2 =^
(𝑠 + 1)(𝑠^2 + 3^2 ) =^
(𝑠^2 + 3^2 )
Para encontrar “A” utiliza-se a metodologia tradicional (multiplica-se os dois termos da equação principal pelo denominador de A e depois aplica-se em “s” a raiz do denominador de A). Então teremos:
[
(𝑠^2 + 3^2 )(𝑠 + 1)] (𝑠 + 1) =^
(𝑠^2 + 3^2 ) (𝑠 + 1)
Simplificando,
[
(𝑠^2 + 3^2 )] = 𝐴 +
(𝑠^2 + 3^2 ) (𝑠 + 1)
Substituindo s por -
[
(−1)^2 + 3^2 ] = 𝐴 + 0
Para encontrar "B", multiplique tudo por "s " e aplique o limite ao infinito para s. Para encontrar “C” apenas considere na equação principal 𝑠 = 0. Então:
𝐴 =
10 ,^ 𝐵 = −𝐴 = −
10 ,^ 𝐶 =^
Subst. A, B e C:
10 (^
𝑠^2 + 3^2 = (
10 ) (^
𝑠^2 + 3^2 )
10 ) [(^
𝑠^2 + 3^2 )]
Em função do Tempo:
𝑦(𝑡) =
10 [𝑒
𝑡𝑢(𝑡) + cos(3𝑡). 𝑢(𝑡)]
Obs: Para o lado direito utilizou-se o caso 9 da tabela da transformada de Laplace.
2.4-9 Repita o problema 2.4-7 para
ℎ(𝑡) = (1 − 2𝑡)𝑒−𝑡𝑢(𝑡) e 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡)
A resposta do um sistema (estado nulo) obedece a seguinte equação:
𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)
Substituindo x(t) e h(t):
𝑦(𝑡) = (1 − 2𝑡)𝑒−2𝑡𝑢(𝑡). 𝑢(𝑡)
Deixando h(t) e x(t) em função da frequência (vide tabela 1 - Transformada de Laplace):
ℎ(𝑠) = 𝑠+2^1 − (𝑠+2)^22 e 𝑥(𝑠) = 1 𝑠
logo,
𝑦(𝑠) = ℎ(𝑠). 𝑥(𝑠)
De modo que
𝑎 = −
RC
A resposta quando 𝑡 = 0−^ tem a forma
𝑦𝑜(𝑡) = 𝑐 1. 𝑒−
𝑡 𝑅𝐶
Quando t=0 teremos
𝑦𝑜(0) = 𝑐 1. 𝑒−
0 𝑅𝐶 (^) = 𝑐 1 = 2
Porém 𝑦(0) = 2𝑉 (enunciado):
2 = 𝑐 1. 𝑒−
0 𝑅𝐶
𝑐 1 = 2
Portanto:
𝑦𝑜(𝑡) = 2. 𝑒−
𝑡 𝑅𝐶
A resposta de entrada nula é
𝑦𝑜(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)
Portanto, substituindo h(t) e x(t)
𝑦(𝑡) = (1 + 𝑒−
𝑡 𝑅𝐶). 𝑢(𝑡)
Item b
Sabe-se que a resposta de entrada nula é
𝑦𝑜(𝑡) = 𝑦𝑜(0). 𝑒−
𝑡 𝑅𝐶
Desde que o sistema seja invariante no tempo, o passo unitário é avançado 1 segundo gerando a resposta 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 1) .Então
𝑦(𝑡) = (1 − 𝑒−
𝑡− 𝑅𝐶 (^) ) 𝑢(𝑡 − 1)
Portanto,
𝑦𝑜(0) = 𝑒
1 𝑅𝐶 (^) − 0,5. 𝑒
2 𝑅𝐶
3.9-4 Utilize o método clássico para resolver
𝑦[𝑛] + 2𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2] = 2𝑥[𝑛] − 𝑥[𝑛 − 1]
Com entrada x[n] = 3−n^ u[n]^ e condições auxiliares y[0] = 2 e y[1] = − 133.
𝛾^2 + 2𝛾 + 1 = (𝛾 + 1)^2 = 0
As raízes repetidas são −
𝑦𝑛[𝑛] = (𝐵 1 + 𝐵 2 𝑛)(−1)𝑛
As equações do sistema são:
(𝐸^2 + 2𝐸 + 1) 𝑦[𝑛] = (2𝐸^2 − 𝐸)𝑥[𝑛] (^) e 𝑥[𝑛] = (^13 )
𝑛
𝑦[𝑛] = 𝐻 [
3 ] 3
−𝑛 = −^1
𝑦[𝑛] = (𝐵 1 + 𝐵 2 𝑛)(−1)𝑛^ −
Para 𝑛 = 0, 1, e substituindo 𝑦[0] = 2 e 𝑦[1] = −
13 3
2 = 𝐵 1 −
3 = −(𝐵^1 + 𝐵^2
𝐵 1 =
16 𝐵^2 =^
𝑦[𝑛] = (
𝑛 −^1
Respondendo esta questão por transformada Z
𝑦[𝑛] + 2𝑦[𝑛 − 1] + 𝑦[𝑛 − 2] = 2𝑥[𝑛] − 𝑥[𝑛 − 1]
Considerando x[n] = 3−n^ u[n] e condições auxiliares y[0] = 2 e y[1] = − 133 a equação acima se tornará:
𝑦(𝑧) + 2[𝑧−1𝑦(𝑧) + 𝑦[−1]] + [ 𝑧−1𝑦(𝑧) + 𝑦[−1] + 𝑦[−2]] = 2𝑥(𝑧) − (𝑧−1𝑥(𝑧) + 𝑥[−1])
Sabe-se que
𝑥[−1] 𝑒 𝑥[−2] = 0
e que
𝑦[1] + 2𝑦[0] + 𝑦[−1] = 2𝑥[1] − 𝑥[0], 𝑦[0] + 2𝑦[−1] + 𝑦[−2] = 2𝑥[0] − 𝑥[1]
portanto:
1
12 ,^ 𝐵 =^
5
36 ,^ 𝐶 =^
7 4
Então,
𝑦(𝑧) =
2 ) +^
6 ) +^
Em função do tempo
𝑦𝑓[𝑛] = δ[𝑛] (
) + 3𝑢[𝑛] (
) + 4𝑢[𝑛] (
𝑦𝑓[𝑛] =
2 δ[𝑛] +
2 𝑢[𝑛] + 7𝑢[𝑛]
Encontrando a entrada nula
yn[z] =
Multiplicando por 𝑧𝑧
yn[z] =
206z (𝑧 + 4) = (206).^
Em função do tempo
yn[n] = (−4 )( 206 )𝑢[𝑛]
Então a resposta total é
𝑦[𝑛] = 𝑦𝑓[𝑛] + 𝑦𝑛[𝑛] =
2 δ
[𝑛] +^5
2 𝑢[𝑛] + 7𝑢[𝑛]
− 824𝑢[𝑛]
4.1-3 Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
b) (^) 𝑠 (^2) + 4𝑠+133s+
c)
(s+1)^2 𝑠^2 + 𝑠−
f) (^) 𝑠(𝑠+1)s+2 2
Item b
Como a função
3s+ 𝑠^2 + 4𝑠+13 possui um denominador com raízes complexas ele pertence ao exemplo
As+B 𝑠^2 + 2𝑎𝑠+𝑐 que^ possui^ uma^ transformada^ de^ Laplace^ específica^ na^ tabela^ de transformadas 1.
Então:
As + B 𝑠^2 + 2𝑎𝑠 + 𝑐 = e
−at (^) [Acosbt + B − Aa 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑡] 𝑢(𝑡) Sendo 𝑏 = √𝑎^2 + 𝑐
Portanto,
e−2t^ [3. cos√2^2 + 13 t +
5 − 3x √2^2 + 13
𝑠𝑒𝑛√2^2 + 13 𝑡] 𝑢(𝑡)
e−2t^ [3. cos4,123t −
4,123 𝑠𝑒𝑛4,123𝑡] 𝑢(𝑡)
e−2t[3. cos4,123t− , 𝑠𝑒𝑛4,123𝑡]𝑢(𝑡)
Item c
Como a função (s+1)
2 𝑠^2 + 𝑠−6 não possui um denominador com raízes complexas é necessário manipular esta função de modo que se possa fazer uma das transformações da tabela de transformadas 1. Então:
(s + 1)^2 𝑠^2 + 𝑠 − 6 =
s^2 + 2s + 1 𝑠^2 + 𝑠 − 6 Trata-se de um caso especial em que o denominador tem o mesmo grau que o numerador. Então, deve-se proceder da seguinte maneira:
Divide-se s^2 + 2s + 1 por 𝑠^2 + 𝑠 − 6 e nota-se que possui como quociente o número 1 e de resto a equação 3𝑠 + 7. Assim:
s^2 + 2s + 1 𝑠^2 + 𝑠 − 6 =
𝑠^2 + 𝑠 − 6
𝑠^2 + 𝑠 − 6 (1) +^
𝑠^2 + 𝑠 − 6
Ou
s^2 + 2s + 1 𝑠^2 + 𝑠 − 6 = 1 +^
𝑠^2 + 𝑠 − 6 =^
Encontrando a transformada da segunda parcela da equação
3𝑠 + 7 (𝑠 − 2)(𝑠 + 3) =^
(𝑠 − 2) +^
Portanto, em função do tempo:
δ(t) +
2𝑡𝑢(𝑡) +^2
𝑥[𝑛] = 4 (2)𝑛−1^ 𝑢[𝑛 − 1] +
𝑛 𝑢[𝑛]
De acordo com a tabela 5.
𝑋[𝑧] =
Item d
𝑥[𝑛] = [2−𝑛^ 𝑐𝑜𝑠
3 ] 𝑢[𝑛 − 1] = 2
3 ) 𝑢[𝑛] − 𝛿[𝑛]
De acordo com a tabela 5.
𝑋[𝑧] =