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Lista 2 – Jogos dinâmicos de informação completa: Equilíbrio de Nash x Equilíbrio de Nash perfeito em
subjogos, informação imperfeita, jogos repetidos, estratégia. Jogos estáticos de informação incompleta:
Definição de equilíbrio, Equilíbrio de Nash Bayesiano, Leilão selado de primeiro preço e outras aplicações
o A lista deve ser entregue de forma individual
o A lista 0 2 deve ser entregue na aula do dia 13 de maio
o Qualquer mudança de data em decorrência do andamento da disciplina, será avisado em sala de aula.
[Questão 01] Considere o seguinte jogo sequencial descrito a partir da árvore:
Julgue as seguintes afirmativas como verdadeiro ou falso, justificando cada uma delas:
(0) O perfil de estratégias [𝑎, (𝑑, ℎ, 𝑘)] corresponde a um equilíbrio de Nash perfeito em subjogos.
(1) O perfil de estratégias [𝑏, (𝑓, ℎ, 𝑙)] corresponde a um equilíbrio de Nash do jogo.
(2) Todo equilíbrio de Nash deste jogo é ENPS.
(3) Todo jogo na forma extensiva com informação completa possui um único equilíbrio perfeito
em subjogos, que pode ser obtido por indução retroativa.
(4) O perfil de estratégias [𝑐,
] corresponde a um ENPS.
[Questão 02] Considere o seguinte jogo sequencial em dois estágios: No primeiro estágio, Priscila
decide se fica em casa ou se sai com Sérgio. Caso Priscila decida ficar em casa, ela aufere 2 como
payoff , que será também o payoff auferido por Sérgio. Caso Priscila decida sair com Sergio, eles
consideram ir aos seguintes eventos: Um jogo de futebol ou uma peça de teatro. Sergio prefere ir ao
futebol e Priscila prefere ir ao teatro. Caso Sergio e Priscila forem juntos ao jogo, o payoff de Sérgio
é 3 e o de Priscila é 1. Porém, se forem juntos ao teatro, o payoff de Sergio é 1 e o de Payoff de Priscila
é 3. Caso o casal decida que vão separados a qualquer evento, seus payoffs serão nulos. As decisões
sobre as idas aos eventos são tomadas simultaneamente por Priscila e Sérgio.
(0) Faça a representação deste jogo em sua forma extensiva.
(1) Encontre os equilíbrios de Nash perfeito em subjogos. Existe algum equilíbrio envolvendo
ameaças não críveis? Explique.
(2) Encontre os equilíbrios de Nash desse jogo.
[Questão 03] Considere um duopólio de Stackelberg tal como visto em sala de aula, onde a firma 1
é a líder e a firma 2 é a seguidora. Suponha que a função demanda seja dada pela equação:
𝑝
( 𝑄
) = 100 − 2 𝑄, 𝑄 = 𝑞
!
"
Considere ainda que os custos marginais das empresas são ambos iguais a 10.
(0) Encontre o equilíbrio de Nash desse jogo.
(1) Encontre os lucros das empresas.
(2) Assuma os mesmos dados e encontre o equilíbrio caso as empresas decidissem por
quantidade de forma simultânea (Cournot).
(3) Compare os lucros das empresas quando elas decidem de forma simultânea e quando elas
decidem de forma sequencial e discuta os resultados.
[Questão 04 - Exercício 2.1 (Gibbons)] Suponha que um pai e um filho joguem o seguinte jogo,
inicialmente analisado por Becker (1974): Primeiro, a criança realiza uma ação, 𝐴, que produz renda
para a criança, 𝐼𝐶(𝐴), e renda para o pai, 𝐼𝑃
. Pense em 𝐼𝐶(𝐴) como a renda da criança líquida de
quaisquer custos da ação A. Segundo, o pai observa as rendas 𝐼𝐶
e 𝐼𝑃(𝐴) e então escolhe uma
herança, 𝐵, para deixar para a criança. Dessa forma, o payoff da criança é dado pela equação 1,
enquanto o do pai é descrito pela equação 2:
!
(𝐴, 𝐵) = 𝑢[𝐼𝐶(𝐴) + 𝐵] (1)
"
(𝐴, 𝐵) = 𝑣[𝐼𝑃(𝐴) − 𝐵] + 𝑘. 𝑢[𝐼𝐶(𝐴) + 𝐵]
O valor de 𝑘 > 0 reflete a preocupação dos pais com o bem-estar da criança. Suponha que:
(i) A ação 𝐴 assuma valores não negativo;
(ii) As funções de renda 𝐼𝐶(𝐴) e 𝐼𝑃(𝐴) são estritamente côncavas;
(iii) 𝐵 pode assumir tanto valores positivos quanto negativos;
(iv) 𝑢(.) e 𝑣(. )são crescentes e estritamente côncavas.
Prove o “Rotten kid” theorem , que sugere que a criança escolhe a ação que maximiza a renda agregada
da família, 𝐼𝑐(𝐴) + 𝐼𝑝(𝐴), embora apenas o payoff dos pais exiba altruísmo.
[Questão 05 - Exercício 2.15 (Gibbons)] Suponha que exista 𝑛 firmas em um oligopólio de Cournot.
A demanda inversa é dada pela equação:
𝑝(𝑄) = 𝑎 − 𝑄, 𝑄 =. 𝑞
Suponha que esse jogo-estágio se repete infinitamente. Determine o valor mínimo de 𝛿, tal que as
firmas utilizem a estratégia do gatilho para sustentar os lucros de monopólio como um equilíbrio
de Nash perfeito em subjogos.
[Questão 06] Considere um cartel entre duas empresas. Diz-se que uma empresa coopera com o
cartel quando restringe sua produção para aumentar os lucros do cartel, e diz-se que uma empresa
não coopera quando ela mantém sua produção ao nível determinado pela solução de Cournot, ainda
que a outra empresa coopere e restrinja sua produção. Suponha que o lucro de uma delas quando
não coopera e a outra coopera seja de 1600, que o lucro da empresa quando ambas cooperam com
o cartel é de 1400,e que o lucro de cada empresa quando ambas não cooperam seja de 1200.
Considerando que as empresas adotam a estratégia do gatilho, encontre o fator estocástico de
desconto, 𝛿, mínimo para que o cartel seja bem-sucedido infinitamente.
[Questão 07 - Exercício 2.6 (Gibbons)] Três oligopolistas operam em um mercado com demanda
inversa dada pela equação:
𝑝(𝑄) = 𝑎 − 𝑄, 𝑄 = 𝑞
!
"
$
Sendo 𝑞
a quantidade produzida pela firma 𝑖. Cada uma das empresas tem seu custo marginal
dado por 𝑐 e não possuem custos fixos. As quantidades são escolhidas pelas firmas da seguinte
Assumindo que a probabilidade de o jogador 2 ser do tipo conciliador seja 0,4 e a probabilidade de
ser do tipo agressivo seja 0,25, encontre o(s) equilíbrio(s) Bayesiano(s) perfeito(s).
[Questão 12 ] Em uma sala de aula existem n alunos. Simultaneamente, cada estudante i
escolhe um nível de esforço , incorrendo no custo , onde c é uma constante positiva. O
estudante i recebe um acréscimo de na sua nota final por conta do seu esforço individual.
Contudo, o esforço dos outros estudantes, indexados por j , aumenta o padrão dos critérios de
correção das provas, levando a um decréscimo da nota final. Assim, a magnitude do impacto
negativo do esforço adicional do estudante j na nota do estudante i é , onde é uma constante
positiva. Assim, a utilidade do estudante i é
dada por:
Porém, os alunos não conhecem o nível de esforço que os outros estão dispostos a fazer em tal
disciplina, pois eles estão no primeiro período e nunca se viram antes. Apenas conhecem a
distribuição de probabilidade dos alunos. Todos possuem a mesma função de distribuição:
, ou seja:
(a) Prove que
(b) Calcule
(c) Calcule o equilíbrio de Nash Bayesiano, onde as estratégias são os níveis de esforço
escolhidos pelos estudantes. Este equilíbrio envolve estratégias estritamente dominantes?
Explique.
[Questão 13 ] Três jogadores estão concorrendo em um leilão de um bem. Se trata de um leilão
selado. Cada jogador i atribui um valor ao bem que está sendo leiloado, o que nos leva a afirmar
que se um jogador ganha o leilão, tem utilidade dada por. O valor que cada um atribui a
esse bem é desconhecido pelos demais jogadores. A crença adotada pelos jogadores é que
para os demais jogadores. O lance mais alto ganha o leilão, em caso de empate entre os três jogadores
i
x
2
i
cx
i
x
j
a x
a
å
=
n
j
i n i i j
u x x x x x cx x
1
2
1 2 3
( , , ,..., ) a
÷
ø
ö
ç
è
æ
x ~ exp
ï
î
ï
í
ì
÷
ø
ö
ç
è
æ
exp
x
x x
f x
E ( x )= 2
E u i
i
i i i
u = v - b
v ~ U [ 0 , 1 ]
i
joga-se um dado para decidir, onde cada um dos jogadores fica com dois lados do dado. Em caso
de empate entre dois jogadores, joga-se uma moeda para decidir quem fica com o bem. Para
simplificação, suponha que o lance dos três são lineares em função do valor atribuído ao bem:
(a) Monte a função utilidade de um dos jogadores em função dos lances dos demais jogadores.
(b) Mostre que o equilíbrio desse jogo é resolvido por uma equação de segundo grau e determine
os coeficientes dessa equação.
[Questão 14 ] Questão 3.3 – Gibbons.
[Questão 15 ] Questão 3.4 – Gibbons.
[Questão 16 ] Questão 3.6 – Gibbons.
[Questão 17 ] Questão 01 – Prova 2016.
[Questão 18 ] Questão 04 – Prova 2016.
[Questão 19 ] Questão 01 – Prova 2018.
[Questão 20 ] Questão 02 – Prova 2018.
[Questão 21 ] Questão 05 – Prova 2018.
[Questão 22 ] Questão 02 – prova 2019
[Questão 23 ] Questão 03 – prova 2019
[Questão 24 ] Questão 01 – Prova 2020
[Questão 25 ] Questão 03 – Prova 2020
i i i i
b = a + l v
