Teoria de dimensão de aneis e variedades, Notas de aula de Álgebra

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Teoria de dimensão de aneis e variedades

Yury Popov, RA 163275

Contents

• 1 Teoria de dimensão de aneis
  • 1.1 Noções básicas de álgebra comutativa
    • 1.1.1 Ideais primos e primários
    • 1.1.2 Extensões algébricas e transcendentes
    • 1.1.3 Localizações
    • 1.1.4 Dimensão de Krull
  • 1.2 Aneis noetherianos
  • 1.3 Extensões integrais
  • 1.4 Resultados principais
  • 1.5 Aplicações e exemplos
• 2 Teoria de dimensão de variedades
  • 2.1 Noções básicas de conjuntos algébricos afins
    • 2.1.1 Espaço afim A 𝑛
    • 2.1.2 Variedades afins e decomposições
    • 2.1.3 Dimensão de conjunto algébrico
  • 2.2 Aneis de funções regulares
• 3 Dimensão local
  • 3.1 Teoria de dimensão de aneis locais
  • 3.2 Pontos regulares e singulares
• References
  • Literature

Capítulo 1

Teoria de dimensão de aneis

Este capítulo é dedicado às definições e resultados básicos da teoria de di- mensão de aneis. Vamos lembrar os conceitos básicos relacionados à dimen- são de Krull de um anel e ver as relaçoes de dimensão com as construções e definições de álgebra comutativa. Depois vamos mostrar dois resultados que facilitam a computação de dimensões de domínios de integridade. O primeiro diz que a dimensão de um domínio de integridade coincide com o grau de transecndência de corpo de frações dele, e o segundo diz que a dimensão de domínio pode ser expressada como soma de altura de qualquer ideal primo e a dimensão de domínio quociente. Terminamos o capítulo com alguns exemplos.

1.1 Noções básicas de álgebra comutativa

Nesta seção vamos lembrar as definições e resultados básicos de álgebra comutatíva que vamos usar ao longo de texto. Todo o conteudo desta seção pode ser encontrado nos livros [1, 2]. Desde aqui e até o fim do capítulo, se não for dito o contrário, 𝐴 é um anel comutativo com o elemento identidade 1.

1.1.1 Ideais primos e primários

Aqui vamos lembrar a definição e as propriedades básicas do nosso objeto de estudo principal: ideais primos. O material desta seção pode ser encontrado em [2, Cap.1, Cap.4],

Definição 1.1.1. Um ideal p ( 𝐴 é chamado um ideal primo se 𝐴/p é um domínio. Em outras palavras, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑦 ∈ 𝐴, então 𝑥 ∈ p ou 𝑦 ∈ p.

Um exemplo clássico de ideal primo é ideal (𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑘 ) do anel polino- mial 𝑘(𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ) (𝑘 ≤ 𝑛). Depois no texto vamos ver que este exemplo é universal em algum sentido (teorema 1.3.3). Vamos também precisar da noção de radical de ideal:

Definição 1.1.2. Seja 𝐼 ⊆ 𝐴 um ideal de 𝐴. O radical de 𝐼 é definido por √ 𝐼 = {𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎 𝑛^ ∈ 𝐼 por algum 𝑛 > 0 }.

É fácil verificar que o radical de um ideal é um ideal também. Um ideal 𝐽 ⊆ 𝐴 é chamado ideal radical se 𝐽 =

Muito depois vamos precisar da definição de um ideal primário:

Definição 1.1.3. Um ideal q ( 𝐴 é chamado um ideal primário se qualquer divisor de zero em 𝐴/q é um elemento nilpotente. Em outras palavras, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 e 𝑥𝑦 ∈ 𝐴, então 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑦 𝑛^ ∈ 𝐴 para algum 𝑛 > 0.

Exemplo 1.1.1. Um ideal (𝑥^2 ) de um anel polinomial 𝑘[𝑥] é primário, mas não é primo. Em geral, é bom pensar nos ideais primários como potências de primos, mesmo que uma potência de um ideal primo pode não ser um ideal primário e existem ideais primários que não são potências de primos. A segunda parte da seguinte afirmação (que deixamos como exercício ao leitor) vai esclarecer esta intuição:

Proposição 1.1.1 ([2], Cap.1, Cap.4).

1. Seja p ⊆ 𝐴 um ideal primo. Então p é um ideal radical:

p = p;

2. Seja q ⊆ 𝐴 um ideal primário. Então

q é o mínimo ideal primo que contém q.

Um ideal radical q com

q = p é chamado p-primário.

A seguinte definição nos fornece transferir os ideais através de homo- morfsimo de um anel ao outro:

Definição 1.1.4. Seja 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 um homomorsfismo de aneis e 𝐼 ⊇ 𝐴, 𝐽 ⊆ 𝐵 ideais. O ideal gerado por 𝑓 (𝐼) é chamado a extensão de 𝐼 em 𝐵, (e é denortado por 𝐼 𝑒 ) e o ideal 𝑓 −^1 (𝐽) é chamado a contração de 𝐽 a 𝐴 (e é denotado por 𝐽 𝑐 ).

Ideais primos e primarios comportam-se bem com respeito a contração:

Lema 1.1.1. Seja 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 um homomorfismo de aneis e seja q ⊆ 𝐵 um ideal primo ( primário ) de 𝐵. Então q 𝑐^ é um ideal primo ( primário ) de 𝐴.

Definição 1.1.7. Seja 𝐾 ⊆ 𝐿 uma extensão de corpos. Um subconjunto 𝑆 ⊆ 𝐿 é chamado algebricamente independente sobre 𝐾, se para quaisquer 𝑠 1 ,... , 𝑠 𝑛 ∈ 𝑆 e 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] a equação 𝑓 (𝑠 1 ,... , 𝑠 𝑛 ) = 0 implica 𝑓 = 0.

Em outras palavras, os elementos de um subconjunto algebricamente independente não satisfazem nenhuma relação polinomial não trivial com coeficientes no corpo básico. Agora podemos introduzir a definição do grau de transcendência de ex- tensão:

Definição 1.1.8. Seja 𝐾 ⊆ 𝐿 uma extensão de corpos. Um subconjunto 𝑆 ⊆ 𝐿 é chamado uma base de transcendência sobre 𝐾, se 𝑆 é algebricamente independente e é maximal com respeito à inclusão com esta propriedade. O grau de transcendência da extensão 𝐾 ⊆ 𝐿 é a cardinalidade de alguma base de transcendência de 𝐿 sobre 𝐾. Denotamos ele por tr.deg 𝐾 𝐿.

Note que não é imediatamente claro que a definição acima é correcta (isto é, que as cardinalidades de quaisquer duas bases de transcendência coincidem). Isso é feito, por exemplo, em [5, Cap.8], (a demonstração parece muito à demonstração de que todas as bases lineares de um espaço vetorial sobre um corpo têm a mesma cardinalidade). Note que se 𝑆 é uma base de transcendência de extensão 𝐾 ⊆ 𝐿, então 𝐿 é uma extensão algébrica de corpo 𝐾(𝑆) de funções racionais em conjunto de variáveis 𝑆. Da definição segue que uma extensão 𝐾 ⊆ 𝐿 é algébrica se e só se tr.deg 𝐾 𝐿 = 0. Também é fácil ver que para uma torre de extensões 𝐾 ⊆ 𝐿 ⊆ 𝐹 temos tr.deg 𝐾 𝐹 = tr.deg 𝐾 𝐿 + tr.deg 𝐿 𝐹 (verifique isso no caso em que todos os graus são finitos).

1.1.3 Localizações

Agora vamos lembrar o conceito de localização e dar os resultados básicos relacionados que vamos usar depois. O material desta subseção pode ser encontrado em [2, Cap.3].

Definição 1.1.9. Um subonjunto 𝑆 ⊆ 𝐴 é chamado conjunto multiplicatívo se 1 ∈ 𝑆 e 𝑆 é fechado com respeito à multiplicação, isto é, 𝑆 · 𝑆 ⊆ 𝑆.

Seja 𝑆 ⊆ 𝐴 um subsonjunto multiplicativo. Considere a seguinte relação ∼ em 𝐴 × 𝑆 :

(𝑎, 𝑠) ∼ (𝑏, 𝑡) ⇔ (𝑎𝑡 − 𝑏𝑠)𝑢 = 0 para algum 𝑢 ∈ 𝑆.

Vamos deixar como exercício a verificação que ∼ é uma relação de equiv- alência. Denotamos por 𝑆−^1 𝐴 o conjunto de classes de equivalência de ∼. A classe de equivalência do par (𝑎, 𝑠) ∈ 𝐴 × 𝑆 denotaremos por 𝑎/𝑠. Intro- duzimos uma estrutura de anel em 𝑆−^1 𝐴 por seguintes fórmulas:

𝑎/𝑠 + 𝑏/𝑡 = (𝑎𝑡 + 𝑏𝑠)/𝑠𝑡,

𝑎/𝑠 · 𝑏/𝑡 = 𝑎𝑏/𝑠𝑡.

Deixamos para leitor a verificação do fato que estas operações são bem- definidas e que 𝑆−^1 𝐴 com estas operações vira um anel comutativo com unidade 1 / 1. Este anel vamos chamar a localização de 𝐴 por um conjunto multiplicativo 𝑆.

Temos um homomorfismo natural 𝑓 : 𝐴 → 𝑆−^1 𝐴 dado por 𝑓 (𝑎) = 𝑎/ 1 (que não é injetivo em geral!). Note que o conjunto 𝑓 (𝑆) ⊆ 𝑆−^1 𝐴 consiste de elementos inversíveis de 𝑆−^1 𝐴. De fato, o anel 𝑆−^1 𝐴 satisfaz a seguinte propriedade universal:

Proposição 1.1.2. Seja 𝑔 : 𝐴 → 𝐵 um homomorfismo de aneis tal que todos elementos 𝑔(𝑠) ∈ 𝐵, 𝑠 ∈ 𝑆 são inversíveis. Então existe um único homomorfismo ℎ : 𝑆−^1 𝐴 → 𝐵 tal que 𝑑 = ℎ ∘ 𝑓.

Uma propriedade elementar de localização que também vamos precisar é que ela é transitiva. Isto é, sejam 𝑆 1 ⊆ 𝑆 2 conjuntos multiplicativos. Então é fácil ver que a localização dupla (𝑓 (𝑆 2 ))−^1 𝑆 1 − 1 𝐴, onde 𝑓 é o homomorfismo 𝐴 → 𝑆− 1 1 𝐴 definido acima, é isomorfa a 𝑆 2 − 1 𝐴.

Exemplo 1.1.2. Um exemplo famliar de localização é assim: se 𝐴 é um domínio de integridade, o conjunto 𝑆 = 𝐴 ∖ { 0 } é multiplicativo, e a local- ização por 𝑆 é somente o corpo de frações de 𝐴.

Exemplo 1.1.3. Outro exemplo principal de localizaçõ é o seguinte: seja p ⊆ 𝐴 um ideal primo. Então o conjunto 𝑆 = 𝐴 ∖ p é multiplicativo. Por isso, podemos considerar a localização de 𝐴 por 𝑆 que vamos denotar por 𝐴p e chamamos este anel a localização de 𝐴 por p. Note que a extensão p𝐴p de p em 𝐴p é o único ideal maximal em 𝐴p, pois cada elemento fora dele é inversível. Logo, 𝐴p é um anel local.

Juntando estes dois exemplos e a transitividade de localização no caso em que 𝐴 é um domínio, temos que o corpo de frações de 𝐴 é igual ao

Definição 1.1.11. Seja p ⊆ 𝐴 um ideal primo. A altura de p é o supremo de comprimentos de todas as cadeias de ideais primos contidos em p, isto é, das cadeias da forma p 0 ( p 1 (... ( p 𝑛 = p.

Em outras palavras, é a dimensão de localização de 𝐴 por p. Denotamos a altura de p por ht(p).

Note que a dimensão de 𝐴 é o supremo de alturas de seus ideais primos. Vamos precisar de uma noção de altura para ideais arbitrários:

Definição 1.1.12. Seja 𝐼 ⊆ 𝐴 um ideal de 𝐴. A altura de 𝐼 é o ínfimo de alturas de ideais primos contendo 𝐼.

Da definição segue que para cada ideal 𝐼 ⊆ 𝐴 temos que

ht(𝐼) + dim(𝐴/𝐼) ≤ dim𝐴.

Mostrar que esta desigualidade vira igualidade no caso em que 𝐴 é um domínio e 𝐼 é um ideal primo é um dos objetivos principais deste texto.

1.2 Aneis noetherianos

Aqui vamos brevemente nos lembrar das noções de aneis noetherianos e ar- tinianos e ver como o conceito da dimensão aparece naturalmente no estudo deles. Também veremos que a construindo o anel polinomial 𝐴[𝑥] sobre um anel noetheriano 𝐴 faz a dimensão crescer exatamente por 1. Como corolário, calcluamos a dimensão de anel de polinômios sobre um corpo. O material desta seção pode ser encontrado em [2, Cap.7], e [3, Cap.5]

Definição 1.2.1. O anel 𝑅 é noetheriano se vale uma das condições equiv- alentes:

1. Cada cadeia crescente de ideais de 𝑅

𝐼 1 ⊆ 𝐼 2 ⊆... ⊆ 𝐼 𝑛 ⊆...

estabiliza-se, isto é, existe um índice 𝑘 ∈ N tal que

𝐼 𝑘 = 𝐼 𝑘 +1 = 𝐼 𝑘 +2 =... ;

2. Cada ideal de 𝑅 é finitamente gerado.

Definição 1.2.2. O anel 𝑅 é artiniano se cada cadeia decrescente de ideais de 𝑅 𝐼 1 ⊇ 𝐼 2 ⊇... ⊇ 𝐼 𝑛 ⊇...

estabiliza-se, isto é, existe um índice 𝑘 ∈ N tal que

𝐼 𝑘 = 𝐼 𝑘 +1 = 𝐼 𝑘 +2 =...

Podemos caraterizar os aneis artinianos por meio de dimensão:

Teorema 1.2.1 ([2], Cap.8). Um anel é artiniano se e só se é noetheriano e tem dimensão 0.

Por exemplo, um corpo 𝑘 é claramente artiniano e tem dimensão 0. Por outro lado, o anel Z é noetheriano (porque é domínio de fatoração única e cada ideal é principal), mas tem dimensão 1 e não é artiniano: para qualquer número primo 𝑝, a cadeia

(𝑝) ( (𝑝^2 ) ( (𝑝^3 ) (...

não termina. Note que um anel noetheriano não precisa ter dimensão finita: um ex- emplo de tal anel foi construido por Nagata em 1962 [2, Cap.11].

Uma propriedade boa de aneis noetherianos é que neles cada ideal tem uma decomposição primária:

Teorema 1.2.2 ([2], Cap.7). Seja 𝐼 ⊆ 𝐴 um ideal de anel noetheriano. Então 𝐼 possui uma decomposição primária.

A ferramenta principal para verficar que um anel é noetheriano é o teo- rema de Hilbert da base:

Teorema 1.2.3 (Teorema de Hilbert da base, [2], Cap.7). Seja 𝐴 um anel noetheriano. Então o anel polinomial 𝐴[𝑥] sobre 𝐴 também é noetheriano.

Iterando o teorema, temos que anel polinomial 𝐴[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] sobre 𝐴 é noetheriano para qualquer 𝑛. É fácil ver (verifique!) que um quociente de um anel noetheriano é noetheriano. Além disso, já vimos que um corpo 𝑘 e o anel Z são noetherianos. Logo, vale o seguinte

Corolário 1.2.1. Seja 𝐴 uma álgebra finitamente gerada sobre um corpo 𝑘 ou um anel finitamente gerado. Então 𝐴 é um anel noetheriano.

Demonstração: Seja 𝑛 = ht(p) e seja p 0 ( p 1 (... ( p 𝑛 = p e q 𝑖 = p 𝑖 [𝑥], então q 0 ( q 1 (... ( q 𝑛 = q, então ht(p) ≤ ht(q). Pelo teorema 1.2.4 existe um ideal 𝐼 ⊆ 𝐴 gerado por 𝑛 elementos tal que p é um primo minimal sobre 𝐼. Pelo corolário anterior, q é um primo minimal sobre 𝐽 = 𝐼𝐴[𝑥]. Mas 𝐽 é também gerado por 𝑛 elementos sobre 𝐴[𝑥], então de novo pelo teorema 1.2.4 ht(q) ≤ ht(p).

Agora estamos listos para provar o resultado principal da seção:

Teorema 1.2.5. Seja 𝐴 um anel noetheriano. Então dim𝐴[𝑥] = dim𝐴 + 1.

Demosntração: Seja p 0 ( p 1 (... ( p 𝑛 uma cadeia de primos de 𝐴. Se q 𝑖 = p 𝑖 𝐴[𝑥], pela proposição anterior ht(q 𝑛 ) = ht(p 𝑖 ). Mas a sequência q 0 ( q 1 (... ( q 𝑛 pode ser extendida por q 𝑛 ( q 𝑛 +1 +(𝑥) (o elemento 𝑥 não pertence a q 𝑛 pois p 𝑛 é proprio). Por isso dim𝐴[𝑥] ≥ 1 + dim𝐴. Considere agora uma cadiea q 0 ( q 1 (... ( q 𝑚 de primos em 𝐴[𝑥] e seja p 𝑖 = q 𝑖 ∩ 𝐴 para 𝑖 = 0,... , 𝑚. Então não todos os ideais p 𝑖 são distintos (o contrário implicaria que dim𝐴 ≥ dim𝐴[𝑥], o que contradiria a parte anterior). Seja 𝑗 o índice maximal tal que p 𝑗 = p 𝑗 +1. A proposição 1.2.1 implica que q 𝑗 = p 𝑗 [𝑥], e a proposição anterior implica que ht(p 𝑗 ) = ht(q 𝑗 ) ≥ 𝑗. Mas pela escolha de 𝑗, p 𝑗 = p 𝑗 +1 ( p 𝑗 +2 (... ( p 𝑚 ,

por isso 𝑚 − 1 ≤ ht(p 𝑗 ) + 𝑚 − 𝑗 − 1 ≤ dim𝐴 e dim𝐴[𝑥] − 1 ≤ dim𝐴.

Note que a dimensão de Krull de qualquer corpo 𝑘 é 0. Iterando o teorema acima e o teorema da base de Hilbert, temos

Teorema 1.2.6. Seja 𝑘 um corpo e 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] o anel de polinômios em 𝑛 variáveis sobre 𝑘. Então

dim𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] = 𝑛. Terminamos a seção com um lema técnico que vamos utilizar depois:

Lema 1.2.2. A altura de ideal (𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ) ⊆ 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ], onde 𝑘 é um corpo, é exatamente 𝑖.

Demonstração: A cadeia de primos 0 ( (𝑥 1 ) ( (𝑥 1 , 𝑥 2 ) (... ( (𝑥 1 , 𝑥 2 ,... , 𝑥 𝑖 )

implica que ht(𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ) ≥ 𝑖. Por outro lado, todo membro de cadeia de primos de 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ]

0 = p 0 ( p 1 (... ( (𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 )

é um ideal primo de 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ]. Logo, ht(𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ) ≤dim𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑖 ] = 𝑖.

1.3 Extensões integrais

O conceito principal para o discurso subsequente é o da extensão integral. Nesta subseção vamos lembrar as definições relacionadas e ver que a di- mensão não muda com a extensão integral. Também aqui vamos mostrar o teorema de Normalização de Noether, que expressa cada álgebra finitamente gerada sobre um corpo como extensão integral de uma álgebra polinomial. O material desta seção pode ser encontrado em [2, Cap.5] e [3, Cap.5].

Lembre que a extensão 𝐴 ⊆ 𝐵 de aneis é chamada integral (alternativa- mente, dizemos que 𝐵 é integral sobre 𝐴) se cada elemento de 𝐵 é uma raiz de um polinômio mônico com coeficientes em 𝐴. Extensões integrais comportam-se bem em relação aos quocientes e às localizações:

Lema 1.3.1. Seja 𝐴 ⊆ 𝐵 uma extensão integral, e seja 𝐼 ⊆ 𝐵 um ideal, 𝑆 ⊆ 𝐴 um conjunto multiplicativo. Então:

1. 𝐵/𝐼 é integral sobre 𝐴/(𝐴 ∩ 𝐼);
2. 𝑆−^1 𝐵 é integral sobre 𝑆−^1 𝐴.

Demonstração: 1) Seja 𝜋 : 𝐵  𝐵/𝐼 a projecão canônica, 𝑥′^ ∈ 𝐵/𝐼 e 𝑥 ∈ 𝜋−^1 (𝑥′). Tomando a equação de integralidade de 𝑥 𝑛^ + 𝑎 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 −^1 +... + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 = 0, onde 𝑎 𝑖 ∈ 𝐴, modulo 𝐼, obtemos o necessário.

2. Lembre que cada elemento de 𝑆−^1 𝐵 pode ser escrito como 𝑥/𝑠, 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑠 ∈ 𝑆 (verifique!). Dividindo a equação de integralidade de 𝑥 𝑛 +𝑎 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 −^1 +

... + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 = 0, onde 𝑎 𝑖 ∈ 𝐴, por 𝑠 𝑛 , temos que

(𝑥/𝑠) 𝑛^ + (𝑎 𝑛 − 1 /𝑠)(𝑥/𝑠) 𝑛 −^1 +... + (𝑎 1 /𝑠 𝑛 −^1 )(𝑥/𝑠) + 𝑎 0 /𝑠 𝑛^ = 0.

Então 𝑥/𝑠 é integral sobre 𝑆−^1 𝐴.

Agora vamos mostrar o resultado principal desta seção: a dimensão não muda com uma extensão integral (compare com a seção anterior). Vamos começar com alguns lemas, que têm seu próprio valor:

Lema 1.3.2. Seja 𝐴 ⊆ 𝐵 uma extensão integral de domínios. Então 𝐴 é corpo se e só se 𝐵 é corpo.

Demonstração: Suponha que 𝐴 é corpo e seja 𝑦 ∈ 𝐵. Considere a relação de dependência integral de 𝑦 de grau mínimo possível:

𝑦 𝑛^ + 𝑎 𝑛 − 1 𝑦 𝑛 −^1 +... + 𝑎 0 = 0.

Demonstração: Por indução, podemos supor que 𝑚 = 1, 𝑛 = 2. Seja 𝐴 = 𝐴/p 1 , 𝐵 = 𝐵/q 1. Pelo lema 1.3.1 𝐴 ⊆ 𝐵 é uma extensão integral. Pelo teorema anterior, existe um ideal primo q 2 em 𝐵 tal que q 2 ∩ 𝐴 = p 2. Levantando q 2 a 𝐵, temos um ideal primo q 2 ⊆ 𝐵 com q 2 ∩ 𝐴 = p 2. A segunda afirmação segue diretamente do corolário 1.3.2. Agora o resultado principal segue quase imediatamente:

Corolário 1.3.3. Seja 𝐴 ⊆ 𝐵 uma extensão integral. Então dim𝐴 = dim𝐵.

Demonstração: Sejam q 1 ( q 2 ideais primos de 𝐵. Então para p 1 = q 1 ∩ 𝐴, p 2 = q 2 ∩ 𝐴 temos que p 1 , p 2 são primos e a inclusão p 1 ⊆ p 2 é estrita pelo corolário 1.3.2. Então temos que dim𝐴 ≥ dim𝐵. Por outro lado, o Teorema de Going-Up implica exatamente que dim𝐵 ≥ dim𝐴.

Para a seguinte discussão vamos precisar de uma afirmação fundamen- tal em álgebra comutatica: a Normalização de Noether. Começamos com a versão forte dela, e obtemos a versão usual como consequência.

Teorema 1.3.3 (Normalizaçõ de Noether (forte), [3], Cap.5). Seja 𝐴 = 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] uma álgebra polinomial sobre corpo 𝑘, e seja 𝐼 um ideal de 𝐴 com ht(𝐼) = 𝑟. Então existem 𝑛 elementos 𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ∈ 𝐴 algebraicamente independentes tais que

1. 𝐴 é uma extensão integral de 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ];
2. 𝐼 ∩ 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ] = (𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑟 ). A demonstração desta afirmação não é difícil, mas não está relacionada diretamente ao tópico do texto. Por isso, um leitor interessado pode ler ela na fonte indicada acima. Agora a versão usual de Normalização de Noether segue diretamente:

Teorema 1.3.4 (Normalizaçõ de Noether, [1], Cap.5). Seja 𝐴 uma álgebra finitamente gerada sobre um corpo 𝑘. Então exsitem 𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ∈ 𝐴 que são algebriacamente independentes sobre 𝑘 e 𝐴 é uma extensão integral de 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ]. Além disso, dim𝐴 = 𝑟.

Demonstração: Seja 𝐴 = 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ]/𝐼 com ht𝐼 = 𝑛−𝑟. Pelo teorema anterior existem elementos 𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 tais que 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] é integral sobre 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ] e 𝐼 ∩ 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ] = (𝑦 𝑟 +1,... , 𝑦 𝑛 ). Denotando 𝑧 𝑖 = 𝑦 𝑖 mod 𝐼 (𝑖 = 1,... , 𝑟), obtemos o primeiro resultado enunciado (se 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] é uma extensão integral de 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ], então 𝐴 = 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ]/𝐼 é uma extensão integral de 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ]/(𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ]∩𝐼) = 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ] pelo lema 1.3.1). Além disso, o teorema 1.2.6 e o corolário 1.3.3 implicam que dim𝐴 = 𝑟.

1.4 Resultados principais

Aqui, com as ferramentas obidas antes, podemos mostrar os resultados prin- cipais desta seção. Vamos ver que a dimensão de um domínio integral é igual ao grau de trancsendência de seu corpo de frações, e que a altura de qualquer ideal primo em um domínio é a diferença entre dimensão de todo anel e o anel quociente. O material desta seção pode ser encontrado em [3, Cap.5] e [1, Cap.5].

Teorema 1.4.1. Seja 𝐴 um domínio finitamente gerafo sobre corpo 𝑘. En- tão dim𝐴 = tr.deg 𝑘 Frac𝐴.

Demonstração: Pelo teorema de normalização de Noether, existem ele- mentos algebraicamente independentes 𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 , tais que 𝐴 é integral sobre 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ] e dim𝐴 = 𝑟. Seja 𝐹 = Frac𝐴 e 𝐿 = 𝑘(𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ). Então 𝐿 ⊆ 𝐹 é uma extensão algébrica e tr.deg 𝑘 𝐹 = tr.deg 𝑘 𝐿+tr.deg 𝐿 𝐹 = 𝑟 +0 = dim𝐴.

Teorema 1.4.2. Seja 𝐴 um domínio finitamente gerado sobre corpo 𝑘 e p um ideal primo de 𝐴. Então

htp + dim(𝐴/p) = dim𝐴.

Demonstração: Sejam 𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 como no teorema 1.3.4, e denote p′^ = p ∩ 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ]. Já notamos que dim𝐴 = 𝑟. Note que pelo lema 1.3.1 e corolário 1.3.3 temos dim𝐴/p = dim𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ]/p′^ e pelo teorema de Going- Up ht(p) = ht(p′). Isto é, podemos supor que 𝐴 é uma álgebra polinomial. Agora podemos aplicar o teorema 1.3.3 para 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ] e ideal p′^ de novo: existem 𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑛 ∈ 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ] algebraicamente independentes tais que 𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ] é integral sobre 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑟 ] e p′∩𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑟 ] = 𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦ht(p)]. Pela mesma argumentação que na primeira redução,

dim𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ]/p′^ = dim𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦 𝑟 ]/𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦ht(p)] = 𝑟 − ht(p)

(a última igualidade segue do teorema 1.2.6) e

ht(p′) = ht(𝑘[𝑦 1 ,... , 𝑦ht(p)]) = ht(p)

(a última igualidade segue do lema 1.2.2). Por isso, temos

ht(p′) + dim(𝑘[𝑧 1 ,... , 𝑧 𝑟 ]/p′) = 𝑟 = dim𝐴

pelo teorema 1.2.6.

Capítulo 2

Teoria de dimensão de

variedades

Neste capítulo vamos definir a dimensão para um conjunto algébrico afim. Também vamos usar os resultados de capítulo anterior para ver que a dimen- são de uma variedade algébrica afim pode ser expressada como a dimensão de certos aneis de funções nela. Notamos aqui que uma teoria parecida pode ser desenvolvida para variedades projetivas, mas não vamos mencionar ela aqui. Um leitor interessado pode encontrar ela em [4, Cap.1.2, Cap.1.3].

2.1 Noções básicas de conjuntos algébricos afins

Nesta seção vamos lembrar as definições e afirmações básicas de conjuntos algébricos afins.

2.1.1 Espaço afim A 𝑛

Nesta subseção vamos definir o lugar principal para fazer geometria al- gébrica: o espaço topológico afim A 𝑛 Seja 𝑘 um corpo fixo algebricamente fechado. O espaço afim de dimensão 𝑛 sobre 𝑘 é somente o conjunto 𝑘 𝑛. Ele é denotado por A 𝑛𝑘 ou somente A 𝑛. Seja 𝐴 = 𝑘[𝑥 1 ,... , 𝑥 𝑛 ] o anel polinomial em 𝑛 variáveis sobre 𝑘, que podemos interpretar de maneira obvia como anel de funções em A 𝑛. Seja 𝑓 ∈ 𝐴 um polinômio e 𝑇 ⊆ 𝐴 um subconjunto. Então, com a identificação acima, podemos falar dos zeros de 𝑓 e 𝑇 :

𝑍(𝑓 ) = {𝑃 ∈ A 𝑛^ : 𝑓 (𝑃 ) = 0},

2. Teoria de dimensão de variedades 19

𝑍(𝑇 ) = {𝑃 ∈ A 𝑛^ : 𝑓 (𝑃 ) = 0 para todos 𝑓 ∈ 𝑇 } =

𝑓 ∈ 𝑇

Definição 2.1.1. Um subconjunto 𝑌 ⊆ A 𝑛^ é chamado um conjunto al- gébrico se existe um subconjunto 𝑇 ⊆ 𝐴 com 𝑌 = 𝑍(𝑇 ).

Claramente, para um 𝑇 temos a igualidade 𝑍(𝑇 ) = 𝑍(𝐼), onde 𝐼 = (𝑇 ) o ideal gerado por 𝑇. O teorema de Hilbert da base implica que 𝐴 é noetheriano, por isso, cada ideal 𝐼 é finitamente gerado. Logo, 𝑍(𝑇 ) pode ser expressado como um conjunto de zeros comuns de um conjunto finito de polinômios 𝑓 1 ,... , 𝑓 𝑟. É fácil ver que a união de dois conjuntos algébricos é um conjunto al- gébrico, e que a interseção de qualquer família de conjuntos algébricos é um conjunto algébrico (verifique!). Além disso, o conjunto vazio e todo es- paço A 𝑛^ são algébricos: ∅ = 𝑍(1), A 𝑛^ = 𝑍(0). Portanto, podemos definir a topologia de Zariski em A 𝑛^ tomando os conjuntos algébricos como conjuntos fechados.

Exemplo 2.1.1. Vamos considerar a topologia de Zariski na linha afim A^1. Cada ideal de 𝐴 = 𝑘[𝑥] é principal, por isso, todo conjunto algébrico é conjunto de zeros de um polinômio. Como 𝑘 é algebricamente fechado, cada polinômio 𝑓 é produto de fatores de grau 1: 𝑓 = 𝑐(𝑥 − 𝑎 1 )... (𝑥 − 𝑎 𝑛 ), onde 𝑐, 𝑎 1 ,... , 𝑎 𝑛 ∈ 𝑘. Por isso, 𝑍(𝑓 ) = {𝑎 1 ,... , 𝑎 𝑛 } e conjuntos algébricos em A^1 são conjuntos finitos e todo espaço. Note que então os conjuntos abertos em topologia de Zariski em A^1 são os com complemento finito e, como 𝑘 é infinito, quaisquer dois conjuntos abertos em A^1 têm interseção não vazia. Por isso, a topologia de Zariski não é Hausdorff.

Seja 𝑌 ⊆ A 𝑛^ um subconjunto. Defina o ideal de 𝑌 em 𝐴 por

𝐼(𝑌 ) = {𝑓 ∈ 𝐴 : 𝑓 (𝑃 ) = 0 para todos 𝑃 ∈ 𝑌 }.

Agora temos duas funções: 𝑍, que manda subconjuntos de 𝐴 aos sub- conjuntos algébricos de A 𝑛 , e 𝐼, que manda subconjuntos de A 𝑛^ aos ideais de 𝐴. As propriedades básicas e ligações entre elas são descritas na seguinte afirmação:

Proposição 2.1.1. 1) Se 𝑇 1 ⊆ 𝑇 2 ⊆ 𝐴, então 𝑍(𝑇 1 ) ⊇ 𝑍(𝑇 2 );

2. Se 𝑌 1 ⊆ 𝑌 2 ⊆ A 𝑛 , então 𝐼(𝑌 1 ) ⊇ 𝐼(𝑌 2 );
3. Se 𝑌 1 , 𝑌 2 ⊆ A 𝑛 , então 𝐼(𝑌 1 ∪ 𝑌 2 ) = 𝐼(𝑌 1 ) ∩ 𝐼(𝑌 2 );
4. Para qualquer ideal 𝐽 ⊆ 𝐴, 𝐼(𝑍(𝐽)) =

𝐽, o radical de 𝐽;

5. Para qualquer subconjunto 𝑌 ⊆ A 𝑛 , 𝑍(𝐼(𝑌 )) = 𝑌 , o fecho de 𝑌.