Teorema Fundamental do Cálculo: Parte 1 e 2, Exercícios de Cálculo

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Teorema Fundamental do Cálculo

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

Introdução

Problema da tangente

Cálculo Diferencial

Problema de área

Cálculo Integral

Tem relação!

Isaac Barrow

2.1 TFC - Parte 1

F x( )  a^ x f t dt( )

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO – PARTE 1

Se f for contínua em [a,b], então a função F definida por:

é contínua em [a,b] e diferenciável em (a, b) e F’(x)=f(x), isto é, F é a

antiderivada de f.

( ) ' ( ) ou ( ) ( )

x x a a

f t dt f x d f t dt f x

dx

 ^  

x F x  (^) a f t dt

Seja uma função f contínua em [a,b] e defina uma nova função F

por:

onde a≤x≤b. Observe que F depende somente de x, que aparece

como variável superior do limite da integral. Se x for um número

fixado, então a integral é um número definido. Se variarmos x, o

número da integral acima também varia e define uma função de x

denotada por F(x).

F(x) pode ser interpretada como a área sob o gráfico de f de a até

x, onde x pode varia de a até b - “função

área até aqui”

Sabemos a definição da derivada:

0

'( ) lim^ (^ )^ ( )

h

F x F x^ h^ F x

 h

^ ^ 

TEOREMA FUNDAMENTAL DE CÁLCULO – PARTE 2

Se f for contínua em [a,b], então:

onde F é qualquer antiderivada (ou primitiva), isto é, uma função tal

que F’=f.

b

a f^ x dx^ ^ F b^ F a

2.2 TFC - Parte 2

Vejamos um exemplo que ilustra o quanto é razoável a parte 2 do

TFC:

Sabemos que a velocidade é a taxa da variação do espaço sobre o

tempo, isto é v(t)=s’(t). Vimos na aula anterior que

fornecia o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo [a,b].

Se calcularmos também temos o deslocamento ocorrido

nesse intervalo. Deste modo é razoável pensar que:

b a v t dx

( ) ( ) ( )

b a v t dx^ ^ s b^ s a

Notações comuns:

F b( )  F a( ) F x( ) ba e (^)  F(x) ba

s b( ) s a( )

Então, do TFC podemos estabelecer que se tomarmos uma função F, a

diferenciarmos e depois integrarmos o resultado, chegaremos de volta à função

original F.

DIFERENCIAÇÃO INTEGRAÇÃO

PROCESSOS INVERSOS

Precisamos de uma notação mais conveniente para as antiderivadas que

as tornem fáceis de serem trabalhadas. Devido à relação dada pelo TFC

entre antiderivadas e integrais, a notação

é tradicionalmente usada para uma antiderivada de f e é

chamada de integral indefinida.

Por exemplo:

pois

Portanto podemos olhar uma integral indefinida como uma família de

funções (uma antiderivada para cada valor de constante C).

2.3 Integral Indefinida

 f^ ( )x dx

2 3 3

x dx  x C

(^32) 3

d x (^) C x dx

   ^   

f ( )x F x( ) f^ ( )x

TABELA DE INTEGRAIS INDEFINIDAS:

 cf^ ( )x dx^ c^  f^ ( )x dx

kdx^ ^ kx^ C 1 ( 1) 1

n x^ n x dx C n n

      

e dxx^  ex C 

sen x dx^  ^ cos xC

 ^ f^ ( )x^ ^ g x( )^ ^ dx^ ^  f^ ( )x dx^ g x dx( )

sec^2 x dx  tg xC 

(^1) dx ln x C x  ^ 

ln

x a^ x a dx C a ^ ^ 

cos^ x dx^ ^ sen x^ C

cossec^2 x dx   cotg C 