Teorema Central Limit e Intervalo de Confiança: Distribuição Normal das Médias Amostrais, Notas de estudo de Probabilidade

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Probabilidade eEstatística

Teorema Central do Limite e

Intervalo de Confiança

Teorema Central do Limite

Teorema Central do Limite •^

Observações importantes:^ – Quando maior o tamanho das amostras, a distribuição das

médias será mais próxima de uma distribuição normal.

• Para n>30, a distribuição das médias amostrais pode ser

aproximada satisfatoriamente por uma distribuição normal.

• Se a distribuição da variável ‘x’ for originalmente uma

distribuição normal, então a distribuição das médiasamostrais terá distribuição normal para qualquer tamanhoamostral ‘n’.

O QUE HÁ DE EXTRAORDINÁRIO NO

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

? ELE NOS DIZ QUE

QUALQUER QUE SEJA A FORMA DA DISTRIBUIÇÃO ORIGINAL, SUAS

MÉDIAS

RESULTAM

NUMA DISTRIBUIÇÃO

NORMAL

. PARA ENCONTRARMOS A DISTRIBUIÇÃO DA MÉDIA, BASTA

CONHECERMOS A MÉDIA DA POPULAÇÃO E O DESVIO PADRÃO.^ TODAS AS TRÊS DENSIDADES ACIMA TÊM A MESMA MÉDIA E DESVIO PADRÃO. APESAR DESUAS FORMAS DIFERENTES, QUANDO

n=

10, AS DISTRIBUIÇÕES DAS MÉDIAS DAS

AMOSTRAS SÃO PRATICAMENTE IDÊNTICAS.

• Em geral, entretanto, a média amostral

do

conjunto de dados é a melhor estimativa deuma média populacional.

• Uma

estimativa

é um valor específico, ou um

intervalo de valores usados para aproximarum parâmetro populacional.

• Um

estimador

é uma característica da

amostra (Ex:

), utilizado para obtermos uma

aproximação do parâmetro populacional.

x

x

Estimativa de Média Populacional

Estimativa de Média Populacional •^

Razões para utilizarmos a média amostral como umestimador de uma média populacional

μ

.

• A distribuição das médias amostrais

tende a apresentar

menor variação do que distribuições de outrascaracterísticas amostrais (mediana ou moda)

• É um estimador não tendencioso da média populacional

μ

:

tende a centrar-se em torno de

μ

; tende a um valor central

que é o próprio valor de

μ

x

• O que nos garante que as 20 amostras

compõem uma boa estimativa da população?

• Por isso associamos uma estimativa pontual a

uma outra estimativa:

INTERVALO DE CONFIANÇA

ou

ESTIMATIVA INTERVALAR

INTERVALO DE CONFIANÇA

ou

ESTIMATIVA INTERVALAR

Estimativa de Média Populacional

Intervalo de Confiança • É uma amplitude (ou um intervalo) de valores

que tem a probabilidade de conter o valorverdadeiro da população

• Observa-se que, na definição de intervalo de

confiança, está associado uma probabilidade.

• A esta probabilidade chamamos de:

Nível de Confiança Grau de Confiança, ou Coeficiente de Confiança

Nível de Confiança Grau de Confiança, ou Coeficiente de Confiança

Nível de Confiança (NC) •^

É a probabilidade

1-

α

(comumente expressa

percentualmente) do intervalo de confiança conter o valorverdadeiro, o parâmetro populacional

1-

α

Nível de Confiança

Nível de Confiança (NC) • Comumente utiliza-se NC de: • 90%

Æ

α

Æ

α

Æ

α

1-

α NC = 95%

0,

0,

Intervalo de Confiança

1-

α NC = 95%

0,

0,

A^

B

Intervalo deConfiançaA < z < B

• Conclusão:
  • Se coletarmos várias

amostras de 20alunos e construirmosum intervalo de 95%de confiança paracada uma, a longoprazo, 95% destesintervalos conteriamefetivamente a médiada população

μ

CONSIDERE UMA ARQUEIRA ATIRANDO EM UM ALVO. SUPONHA QUE ELAACERTA NO CENTRO COM RAIO DE 10 CM 95% DAS VEZES. OU SEJA, ERRAAPENAS UMA VEZ A CADA 20 TENTATIVAS.

SENTADO ATRÁS DO ALVO ENCONTRA-SEUM BRAVO DETETIVE, QUE NÃO VÊ ONDEESTÁ O CENTRO. A ARQUEIRA ATIRA APRIMEIRA FLECHA..

Significado

do I.C.

Como melhorar a confiança?

AUMENTANDO O TAMANHO DO CÍRCULO

O PRIMEIRO MÉTODO É EQUIVALENTE A

ALARGAR O

INTERVALO DE CONFIANÇA

. QUANTO

MAIOR FOR A MARGEM DE ERRO,MAIS CERTO VOCÊ ESTÁ DE QUE O VALOR DESEJADO ENCONTRA-SE NO

INTERVALO:

OU, MELHORANDO A MIRA DA ARQUEIRA!