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Uma análise do método de landweber-kaczmarz, um algoritmo iterativo utilizado para resolver sistemas de equações lineares. A análise inclui a demonstração da convergência do método e a estimativa da taxa de convergência. Além disso, é comparado com outros métodos, como o método de landweber e o método de kaczmarz, para resolver sistemas de equações lineares.
Tipologia: Resumos
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Taxas de Convergência para
Métodos Iterativos Cíclicos em
Problemas Mal Postos
Florianópolis Abril de 2015
Taxas de Convergência para Métodos Iterativos Cíclicos em Problemas Mal Postos por Rubén Alex Martínez Muñoz^1
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de Mestre, Área de Concentração em Matemática Aplicada, e aprovada em sua forma nal pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.
Prof. Dr. Daniel Gonçalves Coordenador do Curso Comissão Examinadora
Prof. Dr. Marcelo Sobottka - UFSC (Presidente da Banca)
Prof. Dr. Raphael Falcão da Hora - UFSC
Prof. Dr. Wagner Barbosa Muniz - UFSC
Prof. Dr. Adriano De Cezaro - FURG
Florianópolis, Abril de 2015. (^1) Bolsista da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Agradeço, em primeiro lugar, ao Departamento de Matemática da UFSC, que deu uma oportunidade para mim, e também à CAPES, por seu valioso suporte nanceiro. Agradeço também a cada um dos professores que tive nas diversas disciplinas, em particular a meu orientador acadêmico Igor Mozolevski e a meu orientador de nitivo Antônio Leitão, nalmente quero agradecer a os professores que aceitaram ser membros da banca da minha defesa, para todos, mis respetos. Menção aparte é para Elisa Amaral, obrigado por tudo. Agradeço, não podia ser de outra maneira, a meus amigos e conhe- cidos que ganhei aqui nessa ilha maluca: Kamal, Roberto, Alessandro, Marcelo, Witro, Mario, Eduardo, Raúl, en m...tuda a gente que co- nheci graças à UFSC, e em especial, agradecer à minha amiga Jú, ela é demais. Agradeço, a minha linda família, a família é o principal suporte na vida.
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In the class of iterative regularization methods, Kaczmarz type methods are some of that are more often used to solve problems in applied mathematics. However, in the literature the amount of con- vergence results and their convergence rate is not abundant. This work deals with the analysis of convergence of some versions of the Landweber-Kaczmarz method, obtaining convergence and stability of the modi ed method with a relaxation parameter, and convergence ra- tes for method for linear block operators in versions symmetrical and non-symmetrical. Finally, the performance of the methods is compared with the performance of well-established methods. Keywords: Inverse problems, ill-possed problems, iterative regu- larization methods, Landweber-Kaczmarz, convergence rates.
vii
Introdução 1
1 Regularização de Problemas Mal Postos por Métodos Iterativos 3 1.1 Problemas Mal Postos................... 3 1.2 Regularização por Métodos Iterativos........... 6 1.2.1 Método de Landweber............... 6 1.2.2 Método de Landweber-Kaczmarz Clássico e o Mé- todo Loping-Landweber-Kaczmarz(LLK) em Es- paços de Hilbert.................. 7 1.2.3 Relação Histórica de Resultados......... 8
2 Convergência do Método Landweber-Kaczmarz 11
3 Taxas de Convergência 27 3.1 Problemas Inversos em Análise.............. 27 3.2 Métodos Tipo Kaczmarz e Operadores em Bloco.... 29 3.2.1 Método Landweber-Kaczmarz não Simétrico com Pré-Condicionamento............... 29 3.2.2 Método Landweber-Kaczmarz Simétrico com Pré- Condicionamento.................. 31 3.3 Taxas de Convergência para o Método Landweber-Kaczmarz não Simétrico........................ 34 3.4 Taxas de Convergência para o Método Landweber-Kaczmarz Simétrico.......................... 49
4 Experiências Numéricas 51 4.1 Métodos Iterativos a Serem Comparados......... 51 4.2 Descrição do Problema Teste............... 52 4.2.1 Gerando Dados Exatos e com Ruído....... 53
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Neste capítulo serão de nidos conceitos tais como Problemas in- versos, Problemas Inversos Mal Postos e o que se entende por um método de regularização para essa classe de problemas junto às no- ções de convergência e taxas de convergência para métodos de regula- rização. De nido isso, apresentam-se como estratégias de regulariza- ção para problemas inversos mal postos, os métodos de Landweber e Landweber-Kaczmarz no contexto de espaços de Hilbert gerais.
Os problemas inversos pertencem a uma das áreas da matemática aplicada com maior crescimento nas últimas décadas, principalmente porque muitos problemas próprios da engenharia e ciências podem se enquadrar nessa classe de problemas. Se entende por Problema Inverso aquele que consiste em determinar causas em função de efeitos observados. Sendo mais preciso, ao falar de um problema inverso implicitamente se está falando de um outro problema, que seria o problema direto. Ambos problemas são inversos mutuamente e portanto a solução de um envolve a solução do outro.
é a aproximação de um problema mal posto por uma família de pro- blemas bem postos. A maior di culdade num problema inverso mal posto na forma da equação (1.1), é o cálculo de uma solução x∗^ quando dispõe-se de dados com ruído yδ^ , já que como o operador inverso F −^1 é descontínuo, pode gerar (e geralmente gera) soluções inadequadas para o problema. Portanto, é necessário procurar uma aproximação xδα de x∗^ que seja possível de calcular de maneira estável, no sentido de que dependa continuamente dos dados observados yδ^ , e que convirja à so- lução x∗^ quando o nível de ruído tende para zero, dada uma escolha adequada do parâmetro de regularização α. Para ver em detalhe a teoria de regularização para problemas inver- sos sugere-se ao leitor consultar [8], onde são apresentadas alternativas de escolha do parâmetro de regularização α. É importante ressaltar que a escolha do parâmetro de regularização requer um balanço entre esta- bilidade e precisão para a solução aproximada regularizada xδα. Para tal, uma estimativa de δ na relação (1.2) é fundamental. Quando um método de aproximação é de fato um método de regu- larização, isto é, é estável:
xδα δ→ 0 −→ xα
e é convergente:
xδα α,δ→ 0 −→ x∗,
cabe a pergunta sobre a rapidez da convergência. Infelizmente, em geral a convergência de um método de regularização para resolver um problema mal posto pode ser arbitrariamente lenta, por isso as taxas de convergência podem ser obtidas somente em subconjuntos de X e determinadas por informações a-priori sobre a solução exata x∗^ ou sobre os dados y. Estas informações a-priori são formuladas em termos das chamadas condições de fonte ou source conditions (para maiores detalhes veja [8]). Finalmente, entende-se por taxa de convergência para um método de regularização a taxa para a qual acontece
‖xδα − x∗‖ δ→ 0 −→ 0.
1.2 Regularização por Métodos Iterativos
Na prática, o problema direto é muito melhor entendido que o pro- blema inverso, por isso, para resolver os primeiros existe uma grande quantidade de bons algoritmos e software computacional, isto é, soft- ware para avaliar F (x) dado um determinado x ∈ X. Então, é uma boa ideia tentar resolver o problema inverso mediante iterações sucessivas, usando essa bateria de softwares e algoritmos.
Os métodos iterativos tem uma propriedade de auto-regularização, no sentido que o término antecipado do processo iterativo tem um efeito regularizador, ou seja, o índice da iteração faz a função do parâmetro de regularização α e, o critério de parada faz a função do método de seleção do parâmetro. Para ver um estudo detalhado das propriedades de regularização que possuem os métodos iterativos veja [8, 16].
A condição de otimalidade de primeira ordem para o problema de mínimos quadrados não linear
min x∈X
‖F (x) − y‖^2 ,
é a equação normal
F ′(x)∗F (x) = F ′(x)∗y, (1.3)
onde F ′(x) é a derivada de Fréchet de F em x ∈ X e F ′(x)∗^ é o correspondente operador adjunto. Transformando a expressão (1.3) em uma iteração de ponto xo obtém-se
x = x − F ′(x)∗(F (x) − y), (1.4)
logo denotando por xδn as iterações no caso de dados com ruído yδ^ (e por xn no caso de dados exatos y) obtém-se a iteração de Landweber
xδn+1 = xδn − F ′(xδn)∗(F (xδn) − yδ^ ). (1.5)
Um estudo detalhado deste método para os casos em que o operador F é linear ou não linear pode ser encontrado em [8, 16].
