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CÁLCULO I
Prof. Marcos Diniz | Prof. André Almeida |Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. Emerson Veiga | Prof. Tiago Coelho
Aula no^ 10: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente.
Objetivos da Aula
- De nir taxa de variação média e a derivada como a taxa de variação instantânea;
- Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto.
1 Taxa de Variação
Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra quantidade x. Assim, y é uma função de x e escrevemos y = f (x). Se x variar de x 1 a x 2 , então a variação em x (também chamada de incremento) será ∆x = x 2 − x 1
e a variação correspondente em y será
∆y = f (x 2 ) − f (x 1 ).
De posse destas informações, de nimos:
De nição 1 (Taxa média de variação de y em relação a x). O quociente das diferenças
∆y ∆x =^
f (x 2 ) − f (x 1 ) x 2 − x 1
é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x 1 , x 2 ]
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1. Consideremos a reação A + B → C
onde A e B são os reagentes e C é o produto. A concentração de um reagente A é o número de mols por litro e é denotada por [A]. A concentração varia durante a reação, desse modo, [A], [B] e [C] são funções do tempo t. A taxa média da reação do produto em um intervalo de tempo t 1 ≤ t ≤ t 2 é dada por
∆[C] ∆t
= C^ −^ C t 2 − t 1
Uma observação importante é que na reação acima, a taxa de reação do produto é positiva e dos reagentes é negativa (Por quê?).
Exemplo 2. A temperatura Fahrenheit F é dada em termos da temperatura Celsius C pela fórmula
F = 1, 8 C + 32.
Determine a taxa média de variação de F em relação a C quando a temperatura passa de 20◦^ C a 30◦^ C.
Solução: Considerando o intervalo dado: [20, 30], temos:
∆F ∆C =^
F (30) − F (20)
10 = 1,^8 F/
◦C.
Isto signi ca que no intervalo considerado, cada aumento de 1◦^ C corresponde a um aumento de 1,8 F, ou seja, a temperatura em Farenheit aumenta 1,8 vezes mais rapidamente que em Celsius.
Exemplo 3. Considere um círculo de área A e raio r. Determine a taxa de variação média da área desse círculo em relação ao seu raio quando r varia de 2 a 2 , 1.
Solução: Sabemos que A(r) = πr^2
Logo, ∆A ∆r
= A(2,^ 1)^ −^ A(2)
=^4 ,^41 π^ −^4 π 0 , 1
=^0 ,^41 π 0 , 1
= 4, 1 π.
Exemplo 4. Se uma barra ou pedaço de o forem homogêneos, sua densidade linear será uniforme e estará de nida como a massa por unidade de comprimento.
ρ = mL
onde ρ é a densidade linear, m é a massa e L é o comprimento. Suponha que a barra não seja homogênea, mas que sua massa, medida a partir da extremidade esquerda até um ponto x seja m = f (x). A massa da parte da barra que está situada entre x 1 e x 2 é dada por
∆m = f (x 2 ) − f (x 1 )
Logo, a densidade média daquela parte da barra é
∆m ∆x
= f^ (x^2 )^ −^ f^ (x^1 ) x 2 − x 1
Considere agora que f (x) = 3
x e que x 1 = 1 e x 2 = 1, 1. Então, a densidade média da parte da barra entre x 1 e x 2 é dada por
∆m ∆x =^
f (1, 1) − f (1) 1 , 1 − 1 =
0 , 1 ≈^
0 , 1 ≈^
0 , 1 ≈^0 ,^32 kg/m
2 Taxa Instantânea de Variação
Se uma quantidade y é função de uma quantidade x, isto é, y = f (x), já vimos que a taxa média de variação de y por unidade de variação em x, no intervalo [x 1 , x 1 + ∆x], é dada por:
∆y ∆x
= f^ (x^1 + ∆x)^ −^ f^ (x^1 ) ∆x
O "limite" deste quociente, quando ∆x → 0 , isto é,
∆^ limx→ 0 f^ (x^1 + ∆x)^ −^ f^ (x^1 ) ∆x
é o que de nimos como a taxa (instantânea) de variação de y em relação a x em x = x 1.
Velocidade e Aceleração
Suponha que uma partícula se move ao longo de uma reta horizontal com sua posição no instante t dada pela função posição x(t). Quando o tempo sofre uma variação de t a t + ∆t, a partícula se move da posição x(t) a x(t + ∆t). O deslocamento da partícula, neste intervalo de tempo, é então dado por:
∆x = x(t + ∆t) − x(t).
Calculamos a velocidade média v da partícula, dividindo o deslocamento pelo tempo gasto neste deslo- camento. Assim,
v =
x(t + ∆t) − x(t) ∆t E de nimos a velocidade instantânea v da partícula no instante t, como o limite da velocidade média, quando ∆t → 0 , isto é,
v(t) = (^) ∆limt→ 0 x(t^ + ∆∆t)t^ −^ x(t)= dxdt. (2)
De modo análogo, de nimos a aceleração a da partícula como a taxa de variação instantânea de sua velocidade:
a(t) = (^) ∆limt→ 0
v(t + ∆t) − v(t) ∆t =^
dv dt.^ (3) Além desses exemplos, podemos abordar outros que con rmam e enfatizam a importância de estudarmos as taxas de variações instantâneas, entre eles podemos citar ainda:
- Corrente elétrica
- Compressibilidade
- Taxa de crescimento Instantâneo
- O custo marginal
- Taxa do uxo de calor
- Gradiente de temperatura
- Potência
- Gradiente de velocidade do sangue
- Taxa de divulgação de um boato
- Taxa de desenvolvimento de desempenho
Mesmo com nomes diferentes, todos eles são a derivada. Segue a de nição de derivada da função f num ponto x = p.
De nição 2. Seja y = f (x) uma função real e p ∈ Df. Dizemos que a função f é derivável em x = p se existir a taxa de variação instantânea de f em x = p e caso ocorra, escrevemos
f ′(p) = df dx
(p) = (^) ∆limx→ 0 ∆f ∆x
= (^) ∆limx→ 0 f^ (p^ + ∆x)^ −^ f^ (p) ∆x
Exemplo 7. O custo em real da fabricação de x brinquedos é dado pela função:
C(x) = 110 + 4x + 0, 02 x^2
Encontre a taxa com a qual o custo está variando quando x = 40.
Solução: A taxa pedida é a derivada da função custo C em x = 40.
C′(40) = lim ∆x→ 0
∆C
∆x = (^) ∆limx→ 0 C(40 + ∆x)^ −^ C(40) ∆x = (^) ∆limx→ 0 110 + 4(40 + ∆x) + 0,^ 02(40 + ∆x)
∆x = (^) ∆limx→ 0
110 + (^) 160 + 4∆ x + (^) 32 + 1 , 6∆x + 0, 02(∆x)^2 − (^) 110 − (^) 160 − (^) 32 ∆x = (^) ∆limx→ 0
4∆x + 1, 6∆x + 0, 02(∆x)^2 ∆x = (^) ∆limx→ 0
∆x(4 + 1, 6 + 0, 02∆x) ∆x = (^) ∆limx→ 0 (4 + 1, 6 + 0, 02∆x) = 5 , 6
3 Derivada e Reta Tangente
Começaremos essa seção falando do problema da tangente. A ideia de tangente é conhecido desde os gregos antigos, porém de uma forma um tanto que imprecisa. Nessa seção, procuramos resolver o seguinte problema: Dada uma curva y = f (x) como determinar a reta tangente à curva em um ponto P dado?. Então, considere uma função y = f (x). Sabemos que, dado um ponto (x 0 , f (x 0 )) pertencente à reta, a equação da mesma é dada da forma:
y − f (x 0 ) = m(x − x 0 )
Logo, nosso problema se resume em: Determinar o coe ciente angular da reta tangente ao grá co da função f (x) no ponto (x 0 , f (x 0 )). Desse modo, considere um número x 0 ∈ Df e o ponto (x 0 , f (x 0 )) sobre o grá co da função, representado pela letra P. Seja x ∈ Df e considere o ponto Q como sendo o ponto (x, f (x)).
Figura 1: Grá co de uma Função f
Assim, podemos traçar uma reta que liga os dois pontos e notamos que essa reta é secante ao grá co da função f.
Dessa forma, a reta tangente ao grá co de f no ponto (x 0 , f (x 0 )) é dada pela equação: y − f (x 0 ) = mP (x − x 0 ) (5)
O limite em (4) já foi visto na seção anterior e recebe o nome de derivada. Dessa forma, podemos interpretar geometricamente a derivada de f no ponto x = x 0 , como sendo o coe ciente angular da reta tangente ao grá co de y = f (x) no ponto de abscissa x = x 0.
Observação 2. A derivada está presente na seção anterior como a taxa de variação instantânea e nesta seção como o coe ciente angular da reta tangente. Há alguma conexão entre as duas interpretações?
Exemplo 8. Seja f (x) = x^3 .Calcule:
a) f ′(2);
b) df dx
x=− 5
Solução:
a)
f ′(2) = (^) xlim→ 2 f^ (x x)^ −−^ f 2 (2)= lim x→ 2 x
x − 2 = lim x→ 2
(x^ −^ 2)(x^2 + 2x^ + 4) x^ −^2
= lim x→ 2 x^2 + 2x + 4 = 22 + 2.2 + 4 = 12
Então, f ′(2) = 12. b) df dx
x=− 5
= (^) hlim→ 0
f (−5 + h) − f (−5) h = lim h→ 0
(−5 + h)^3 − (−5)^3 h
= (^) hlim→ 0
h^3 − 15 h^2 + 75h − (^) 125 + (^) 125 h = (^) hlim→ 0
h^3 − 15 h^2 + 75h h = lim h→ 0
h(h^2 −^15 h^ + 75) h = (^) hlim→ 0 h^2 − 15 h + 75 = 0^2 − 15 .0 + 75 = 75
Então, df dx
x=− 5
Exemplo 9. Determine a derivada das funções dadas nos pontos indicados em cada item.
a) f (x) = √x e x 0 = 3;
b) g(x) =^1 x
e x 0 = − 1.
Solução:
a) df dx
x=
= (^) xlim→ 3
f (x) − f (3) x − 3 = lim x→ 3
x −
x − 3 = lim x→ 3
x −
x +
(x − 3)(
x +
= (^) xlim→ 3 x − 3 (x^ −^ 3)(
x +
= lim x→ 3 √^1 x +
b)
f ′(−1) = (^) hlim→ 0 f^ (h^ −^ 1) h^ − f^ (−1)= lim h→ 0
h − 1
h = lim h→ 0
h − 1
h
= (^) hlim→ 0
h h − 1 h
= lim h→ 0 h h(h^ −^ 1)
= lim h→ 0 1 h − 1 = − 1
Observação 3. Para que não que nenhum resto de dúvida, se faz necessário justi car a ideia de "a reta tangente tocar em um ponto". Isso se dá por que lembramos apenas das retas tangentes a uma circunferência, mas a reta tangente não deve ser entendida como uma reta que toca em apenas um ponto do grá co da função f. Para isso, considere a função f (x) = x^3 − 2 x + 3, cujo grá co é:
Figura 5: Grá co da função f (x) = x^3 − 2 x + 3
A reta tangente ao grá co da função f no ponto (1, f (1)) é y = x + 1
Gra camente,
Figura 6: Grá co da reta tangente à função f (x) = x^3 − 2 x + 3 no ponto (1, f (1))
Mas, note que o ponto (− 2 , −1) pertence a reta, de fato, pois y(−2) = −2 + 1 = − 1
Figura 8: Exemplo 2
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as de nições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 2.7 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 2.7 do livro texto.
