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Num polígono convexo dado, hexágono convexo, são traçadas todas as diagonais num vértice fixado. i. No hexágono ficam determinados quatro triângulos justapostos ...
Tipologia: Esquemas
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1. Classificação das vinte figuras de Polígonos segundo o número dos seus lados.
Representação em tabela.
Número de lados Polígono Representação gráfica
Três lados Triângulo
Quatro lados Quadrilátero
Cinco lados Pentágono
Seis lados Hexágono
Sete lados Heptágono Nenhum
Oito lados Octógono
Nove lados Eneágono Nenhum Dez lados Decágono Nenhum Onze lados Undecágono Nenhum Doze lados Dodecágono
2. Classificação dos polígonos pela convexidade.
Polígonos não convexos:
As restantes figuras de Polígonos são todos polígonos convexos.
3. Exemplos de construção dos seguintes polígonos: i. Polígono não convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
ii. Polígono convexo usando diferentes polígonos convexos do conjunto.
4. Comparação do comprimento dos lados das figuras (resultados obtidos pela superposição das peças).
i. Polígono com o menor lado:
ii. Polígono que possui o maior lado:
6. Classificação dos polígonos pelo número de pares de lados paralelos que possuem.
Pares de lados paralelos 1 2 3
Polígonos
7. i. Polígono convexo com a menor diagonal:
ii. Polígono convexo que possui a maior diagonal:
8. Os polígonos convexos que têm todas as diagonais iguais são os seguintes: 9. O número de vértices e de diagonais dos polígonos convexos representados em tabela.
Polígono convexo Lados Vértices Diagonais em cada vértice Diagonais do polígono Triângulo 3 3 Nenhuma 0 Quadrilátero 4 4 1 2 Pentágono 5 5 2 5 Hexágono 6 6 3 9 Heptágono 7 7 4 14 Octógono 8 8 5 20 Eneágono 9 9 6 27 Decágono 10 10 7 35
10. O número de diagonais que têm cada um dos seguintes polígonos é: i. Decágono: 35 diagonais. ii. 50-ágono: 1175 diagonais. iii. 100-ágono: 4850 diagonais. 11. Representação de todas as diagonais dos polígonos não convexos pertencentes a Polígonos.
Tabelamento dos dados, mantendo a ordem de esquerda à direita dos polígonos da figura acima:
Polígono não convexo Lados Vértices Diagonais do polígono Quadrilátero 4 4 2 Quadrilátero 4 4 2 Hexágono 6 6 9 Octógono 8 8 20 Dodecágono 10 10 54
12. i. Polígono não convexo que possui a menor diagonal:
ii. Polígono não convexo que possui a maior diagonal:
13. O número N de diagonais de um polígono P (convexo ou não convexo) com n lados (n-ágono) é dado por:
(Número de diagonais do polígono P) N = n(n−3) 2
18. Classificação dos polígonos convexos pelo número de ângulos internos obtusos que possuem.
Ângulos internos obtusos
Polígonos convexos
Nenhum
Observação. A seguir, aplicamos três métodos diferentes para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo.
19. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 1. Num polígono convexo dado, hexágono convexo, são traçadas todas as diagonais num vértice fixado. i. No hexágono ficam determinados quatro triângulos justapostos. ii. A soma T das medidas dos ângulos internos de um triângulos é T = 180º, então a soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a: S = 4. 180 = 720º. 20. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 2. No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos. i. No interior do hexágono é escolhido um ponto P e unindo P com os vértices, resulta a secção do polígono em triângulos justapostos. P ii. No hexágono ficam determinados seis triângulos justapostos. iii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono é igual a soma T das medidas dos ângulos de cada um dos seis triângulos menos a soma S´ das medidas dos ângulos em torno do ponto P, ou seja: S = 6. T – S´ = 6. 180 - 360 = 1080 – 360 = 720º.
21. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Método 3. Os seguintes polígonos são seccionados em triângulos justapostos usando diagonais que não se intersectam.
Os dados são tabelados como segue:
Polígono convexo
Diagonais sem intersecção
Triângulos internos
Soma dos ângulos internos Quadrilátero 1 2 360º Pentágono 2 3 540º Hexágono 3 4 720º Heptágono 4 5 900º Octógono 5 6 1080º
Observação. O resultado obtido para S é o mesmo pelos três métodos aplicados nas Atividades 19- 21.
22. Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono não convexo. Um hexágono não convexo é seccionado em triângulos justapostos usando diagonais internas que não se intersectam. i. No hexágono não convexo ficam determinados quatro triângulos. ii. A soma S das medidas dos ângulos internos do hexágono não convexo é igual a: S = 4. 180 = 720º.
26. No polígono não convexo ABCD da Atividade 25, a soma S das medidas dos ângulos externos 𝛼̂ , 𝛽̂, 𝛾̂ e 𝛿̂, é calculada fazendo a soma das medidas dos ângulos internos de ABCD (2.180) mas S e igualando à soma das medidas dos ângulos suplementares em cada vértice de ABCD, isto é: 2.180 + S = 4. 180. De onde resulta: S = 360º. 27. Determinação dos triângulos pertencentes a Polígonos.
Polígonos T
28. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus lados.
Triângulos Equilátero Isóscele Escaleno
29. Classificação dos triângulos de Polígonos T pelos seus ângulos.
Triângulos Acutângulo Retângulo Obtusângulo
30. Análise da existência segundo a sua classificação nos seguintes triângulos.
Triângulo Sempre Algumas vezes Nunca Triângulo escaleno obtusângulo X Triângulo escaleno retângulo X Triângulo escaleno acutângulo X Triângulo equilátero obtusângulo X Triângulo equilátero retângulo X Triângulo isóscele obtusângulo X Triângulos isóscele retângulo X Triângulo isóscele acutângulo X
31. Destaque dos quadriláteros pertencentes a Polígonos.
Polígonos Q
32. Classificação dos quadriláteros pelo comprimento dos lados:
Quadriláteros. Comprimento dos lados 4 3-1 2-2 2-1-1 1-1-1-
34. Os paralelogramos que pertencem a Polígonos Q são:
37. Classificação dos quadriláteros, com indicação sobre a afirmação ser verdadeira ou falsa.
Enunciado Verdadeiro ou Falso Todos os quadrados são retângulos. V Alguns retângulos são losangos ou rombos. V Todos os paralelogramos são quadriláteros. V Todo losango ou rombo é um quadrilátero regular. F Todo paralelogramo é um trapézio. F Todo quadrado é uma pipa. F Alguns retângulos são quadrados. V Nenhum quadrado é um retângulo. F Nenhum trapézio é um paralelogramo. V Um trapézio isóscele pode não ser uma pipa. V Nenhum paralelogramo é um trapézio isósceles. V
38. Classificação dos polígonos regulares convexos pelo número de lados (entre parênteses).
Triângulo Quadrado (4) Pentágono Hexágono equilátero (3) regular (5) regular (6)
Heptágono Octógono Eneágono Decágono regular (7) regular (8) regular (9) regular (10)
42. Determinação da medida em graus, do ângulo central de cada polígono regular convexo.
Lados do polígono 3 4 5 6 8 10 12 Ângulo central 120 90 72 60 45 36 30
43. Construção de todos os polígonos convexos equiláteros possíveis utilizando somente triângulos equiláteros e quadrados de lados congruentes, ambos tipos de polígonos em cada figura.
pentágono hexágono heptágono octógono
eneágono decágono undecágono não equilátero O undecágono convexo é polígono não equilátero, dois quadrados consecutivos, com lados alinhados, produzem um novo lado desse polígono que mede o dobro dos outros lados.
dodecágono
No dodecágono convexo equilátero todos os ângulos internos medem 150º. Portanto, não existe polígono convexo equilátero, formado por triângulos equiláteros e por quadrados, com maior número de lados. As figuras acima representam todos os polígonos convexos equiláteros que podem ser construídos com triângulos equiláteros e quadrados.
44. Exemplos de construções de figuras congruentes com cópias de triângulos iguais.
Triângulos equiláteros
Losangos
Hexágonos
45. Identificação das figuras pertencentes a Polígonos que possuem simetria central.
47. Exemplos de construções com polígonos:
i. Com cópias de uma mesma peça, construção de polígono semelhante a um elemento de Polígono.
Exemplo 1. Com doze peças triangulares iguais ao triângulo construir:
Triângulo que é semelhante a equilátero
Triângulo Construído com seis cópias do mesmo triângulo. equilátero Este triângulo também é semelhante aos anteriores.
Exemplo 2. Construção de um pentágono com dois tipos de triângulos:
Pentágono semelhante a regular
ii. Com diferentes polígonos, que incluem quadrados e triângulos obtusângulos, forma-se um polígono semelhante a outro polígono dado.
Exemplo. Construção de decágonos semelhantes.
48. Comparação das seguintes figuras planas e análise das propriedades de semelhança segundo que elas existem sempre, eventualmente ou nunca.
Figuras planas Sempre Algumas vezes Nunca Dois ângulos X Dois triângulos equiláteros X Dois triângulos isósceles X Dois quadrados X Dois retângulos X Um quadrado e um retângulo X Dois pentágonos X Dois pentágonos regulares X Um pentágono regular e um hexágono regular X
Losango ou rombo Paralelogramo
Paralelogramo Paralelogramo
Estrela Trapézio
Estrela
