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Professores Weber Campos & Sérgio Carvalho
SISTEMAS LINEARES
1. Conceito de Equação Linear
Antes de conhecermos um Sistema Linear, devemos saber o que é uma equação linear.
Chamamos de equação linear toda equação do tipo:
a 1 x1 + a 2 x2 + a 3 x3 + ... + a (^) nxn = b ,
onde: x 1 , x 2 , x 3 , ... , x (^) n são as variáveis ou incógnitas ,
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a (^) n são números reais chamados de coeficientes , e
b é um número real chamado de termo independente da equação.
F 0 E 0Exemplos de equações lineares:
1) 2x 1 + 5x 2 + x 3 = 4
2) –3x 1 + x 2 + 10x 3 – x 4 = –
3) 6x 1 + 2x 2 = 15
F 0 E 0Outros exemplos de equações lineares, mas com outras letras para as variáveis:
1) 2x – 3y + z = 1
2) 5y + w = –
2. Conceito de Sistema Linear
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares.
São exemplos de sistemas lineares:
3. Representação de um Sistema Linear em Forma Matricial
Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Encontraremos a forma matricial dos três exemplos dados acima. Ao mesmo tempo aprenderemos a construir a matriz incompleta e a matriz de cada variável de um sistema linear, que serão úteis mais adiante.
F 0 E 0 Matriz incompleta do sistema =
F 0 E 0Matriz de X =
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos independentes)
F 0 E 0Matriz de Y =
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos independentes)
Exemplo 1 Encontre a solução do sistema
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações, mostraremos uma forma baseada em determinantes.
O valor de x que satisfaz o sistema é dado por:
x = determinante da matriz de x ___
determinante da matriz incompleta
E o valor de y que satisfaz o sistema é dado por:
y = determinante da matriz de y ___
determinante da matriz incompleta
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.
matriz incompleta = F 0 E 0determinante = 2 x 4 – 1 x (-5) = 13
matriz de x = F 0 E 0determinante = 1 x 4 – 7 x (-5) = 39
matriz de y = F 0 E 0determinante = 2 x 7 – 1 x 1 = 13
Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x = determinante da matriz de x ___ = 39 = 3
determinante da matriz incompleta 13
y = determinante da matriz de y ___ = 13 = 1
determinante da matriz incompleta 13
Resposta: uma única solução:(x=3 , y=1) F 0 E 0 Sistema Possível e Determinado!
Exemplo 2 Encontre a solução do sistema
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os seus determinantes.
matriz incompleta = F 0 E 0determinante = 2 x 15 – (-6) x (-5) = 0
matriz de x = F 0 E 0determinante = 1 x 15 – (-3) x (-5) = 0
matriz de y = F 0 E 0determinante = 2 x (-3) – (-6) x 1 = 0
Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x = determinante da matriz de x ___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta 0
y = determinante da matriz de y ___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta 0
Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! F 0 E 0 Sistema Possível e Indeterminado!
Vejamos algumas dessas possíveis soluções!
Isolando a incógnita y na 1ª equação (ou na 2ª equação) obteremos:
2x – 5y = 1F 0 E 0 y = (2x – 1)/
1º) O sistema linear é chamado de “ possível ” ou “ compatível ” quando admite pelo menos uma solução. Por sua vez, temos:
F 0 E 0O sistema linear possível é chamado de “ determinado ” quando a solução for única ;
F 0 E 0 O sistema linear possível é chamado de “ indeterminado ” quando houver infinitas soluções.
2º) O sistema linear é chamado de “ impossível ” se não houver solução.
Obs.: Um sistema linear homogêneo (termos independentes iguais a zero) é sempre possível. Se o sistema linear homogêneo for possível e determinado apresentará apenas uma solução (a solução nula , também chamada de solução trivial ou imprópria ), e se for possível e indeterminado apresentará além da solução nula , outras soluções não nulas , também chamadas de soluções próprias.
Exemplos de sistemas lineares homogêneos:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções.
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é correto afirmar que
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) se m=0, o sistema é impossível.
c) se m=6, o sistema é indeterminado.
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.
Sol.:
A classificação de um sistema linear é dada por:
As variáveis do sistema são a e b (em vez de x e y, como normalmente se usa), enquanto m é a constante.
- Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta:
A matriz incompleta é retirada a partir do sistema de equações.
F 0 E 0 matriz incompleta do sistema =
Determinante da matriz incompleta:
F 0 E 0Determinante de = m.m – 2.3m = m 2 – 6m
F 0 E 0Vamos analisar para que valores de m o sistema é possível e determinado :
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero! Daí:
F 0 D E F 0 D E
Simplificando cada uma das equações do sistema: dividindo por 6 a primeira equação e por 2 a segunda equação, obteremos:
Observe que o primeiro membro das equações do sistema são iguais. Mas os valores à direita das igualdades são diferentes (0F 0 B 92), então o sistema é classificado como impossível.
Em suma:
Quando mF 0 B 9 0 e mF 0 B 9 6 , o sistema é possível e determinado!
Quando m=0 , o sistema é possível e indeterminado!
E quando m=6 , o sistema é impossível!
- (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares
,
pode-se corretamente afirmar que:
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.
d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.
Sol.:
As variáveis do sistema são x 1 e x 2 , enquanto p e q são as constantes.
Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta. A matriz incompleta é construída a partir dos coeficientes de x 1 e de x 2. Teremos:
A matriz incompleta do sistema é , e seu determinante é igual a:
F 0 E 0determinante = 1.p – 2.(-1) = p+
Se o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, então o sistema é “possível e determinado”. Mas se o determinante é igual a zero, então o sistema poderá ser “possível e indeterminado”
ou “impossível”. Examinemos estes casos.
1) Determinante da matriz incompleta diferente de zero
F 0 E 0p+2F 0 B 9 0 F 0 E 0pF 0 B 9-
Portanto, se pF 0 B 9 2 , então o sistema é possível e determinado!
Agora, vamos analisar o outro caso:
2) Determinante da matriz incompleta igual a zero
F 0 E 0p+2 = 0 F 0 E 0p = -
Ou seja, para que o determinante seja igual a zero é necessário que se tenha p=-.
Para descobrirmos se o sistema é “possível e indeterminado” ou “impossível”, devemos substituir p por -2 no sistema.
F 0 D E F 0 D E F 0 D E
Observe que o primeiro membro de ambas as equações deste último sistema são iguais. Se os valores à direita das igualdades forem diferentes, então o sistema será classificado como impossível ; mas se forem iguais, então o sistema será classificado como possível e indeterminado. Assim:
F 0 E 0Sistema possível e indeterminado : 2 = q/2F 0 D E q = 4
F 0 E 0Sistema impossível : 2F 0 B 9q/2F 0 D E qF 0 B 9 4
Em suma, temos:
pF 0 B 9-2 F 0 A Eo sistema é possível e determinado!
p=-2 e q=4 F 0 A Eo sistema é possível e indeterminado!
p=-2 e qF 0 B 9 4 F 0 A Eo sistema é impossível!
Como será classificado o sistema, quando tivermos a=0? Para encontrar a resposta, devemos substituir a por zero no sistema trazido no enunciado da questão. Teremos:
F 0 D E F 0 D E F 0 D E F 0 D E
O valor de x é igual a 2, e como o valor de y não ficou definido, então ele pode assumir qualquer valor. E desta forma, o sistema torna-se possível e indeterminado.
E como será classificado o sistema, quando tivermos a=6?
Substituiremos a por 6 no sistema trazido no enunciado da questão. E teremos:
F 0 D E F 0 D E
Simplificando cada uma das equações do sistema: dividindo por 6 a primeira equação e por 2 a segunda equação, obteremos:
Observe que o primeiro membro das equações do sistema são iguais. Mas os valores à direita das igualdades são diferentes (0F 0 B 92), então o sistema é classificado como impossível.
F 0 E 0Em suma:
Quando F 0 B 9a 0 e aF 0 B 9 6 , o sistema é possível e determinado!
Quando a=0 , o sistema é possível e indeterminado!
E quando a=6 , o sistema é impossível!
4. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema de incógnitas x e y, é correto
afirmar que o sistema
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.
c) tem solução não trivial para um único valor real de a.
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.
e) é impossível para qualquer valor real de a.
Sol.:
As variáveis (incógnitas) do sistema acima são x e y , e a é uma constante.
Vamos organizar o sistema de forma que fique x sobre x e y sobre y, e os termos independentes do lado direito da igualdade. Teremos:
A segunda equação não tem a variável y, podemos ainda afirmar que nesta equação o coeficiente da variável y é zero.
Passemos ao cálculo do determinante da matriz incompleta. A matriz incompleta é composta pelos coeficientes de x e de y das equações.
matriz incompleta = F 0 E 0determinante = a x 0 – (-2) x 1 = +
Como o determinante foi diferente de zero, então podemos afirmar que o sistema é possível e determinado! Com isso, podemos apenas descartar a alternativa E!
Vamos trabalhar com as equações!
Na segunda equação, temos que x=-2a. Lançaremos este resultado na primeira equação:
F 0 E 0ax – 2y = 0
F 0 E 0a. (-2a) – 2y = 0
F 0 E 0-2a^2 – 2y = 0
F 0 E 0 y = -a 2
Como dissemos anteriormente, o sistema é possível e determinado , portanto admite uma única solução, a qual é:
F 0 E 0 x = -2a e y = -a 2.
A letra a é uma constante não definida, podendo assim assumir qualquer valor. E como x e y estão em função de a , então eles podem assumir uma infinidade de valores.
Se a for zero teremos a solução trivial x=0 e y=0 , e para quaisquer outros valores de a teremos soluções não triviais, por exemplo:
Quando a=1 F 0 D E x=-2 e y=-1 ;
Quando a=2 F 0 D E x=-4 e y=-.
Resposta: alternativa A.
Quando o determinante da matriz incompleta é igual a zero, o sistema de equações terá duas possibilidades: “o sistema é possível e indeterminado” ou “o sistema é impossível”.
Vamos resolver o sistema!
A fim de resolver o sistema, multiplicaremos por “-2” a primeira equação:
Agora somaremos as duas equações:
_________________________
Ao somarmos as duas equações, obtemos uma igualdade do tipo “0=0”. Toda vez que nos depararmos com uma igualdade do tipo: “0=0” ou “2=2” ou “5=5”... o sistema será considerado “Possível e Indeterminado”.
Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções, ou seja, o Sistema é Possível e Indeterminado! (Alternativa E!)
