Solução de Equações Lineares: Raízes, Sistemas Compatíveis e Incompatíveis, Notas de aula de Álgebra

Baixe Solução de Equações Lineares: Raízes, Sistemas Compatíveis e Incompatíveis e outras Notas de aula em PDF para Álgebra, somente na Docsity!

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

LINEARES

Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga

8.1 DEFINIÇÕES

Equação linear é uma equação na forma:

na qual são as variáveis e

são os respectivos coeficientes da variáveis, e b é o termo

independente.

Solução de uma equação linear: os valores das variáveis

que transformam uma equação linear em identidade, isto

é, que satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses

valores são chamados deraízes da equação linear.

a x 1 1  a x 2 2  a x 3 3  ...  a xn n  b

x 1 , x 2 , x 3 ,..., xn a 1 , a 2 , a 3 ,..., an

Sistema determinado é um sistema compatível que admite

apenas uma única solução.

Exemplo:

é compatível e determinado, pois tem como raízes

unicamente.

x y x y

^ ^ 

x y

8.2.1 SISTEMA DETERMINADO

Sistema indeterminado é um sistema compatível que admite

mais de uma solução (na verdade infinitas soluções).

Sistema incompatível é um sistema que não admite solução.

Exemplo:

é incompatível pois 3x+9y não pode ser simultaneamente

igual a 12 e igual a 15 para mesmos valores de x e y.

x y x y

^ ^ 

8.2.2 SISTEMA INDETERMINADO

y x

x y x y

^ ^ 

8.3 SISTEMA INCOMPATÍVEL

I)Permutação de duas equações.

II)Multiplicação de uma equação por um número real

diferente de zero.

III)Substituição de uma equação por uma soma com outra

equação previamente multiplicada por um número real

diferente de zero.

23

x y z I x y z L x y z x y z x y z x y z

^ ^ ^ 

^ ^ ^ 

1 1

x y z II x y z L L x y z x y z x y z x y z

^ ^ ^ 

^ ^ ^ 

2 2 ^  1

3 mesma solução sistemas equivalentes

x y z

III x y z L L L

x y z

x y z

x y z

x y z

x

y

z

^ ^ ^ 

^ ^ ^ 

Será separado em:

8.6.1 Sistema com n equações lineares com igual número de

variáveis.

8.6.2 Sistema com m equações com n variáveis (para m≠n)

8.6.3 Sistema de equações lineares homogêneo (para m=n

ou m≠n)

Dado o seguinte sistema:

x y x y

^ ^ 

8.6 ESTUDO E SOLUÇÃO DOS SISTEMA

DE EQUAÇÕES LINEARES

8.6.1 SISTEMA COM N EQUAÇÕES COM N

VARIÁVEIS

8.6.1.1 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

1 1

x y L L x y

2 2 1

x y x y L L L

^ ^ 

2 2

x y x y L L

^ ^ 

 ^  ^ ^  

x y L L L x y

^ ^ ^ ^ ^  

x y x y

^ ^ 

sistema equivalente

x y

^ 

x y

^ raízes

Seja o sistema de n equações lineares comn variáveis:

fazendo

11 12 13 1 1 1 21 22 23 2 2 2 31 32 33 3 3 3

1 2 3 n n

x b x ;X= x ;B=

x

n n n

n n n nn

a a a a a a a a b A a a a a b

a a a a b

 ^ ^ ^ ^ ^ 

8.6.1.2 MÉTODO DA MATRIZ INVERSA

11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n n n n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

^ ^ ^ ^ ^ 

 ^ ^ ^ ^ 

o sistema pode ser escrito sob a forma matricial:

ou utilizando a notação abreviada, vem:

Admitindo a existência da matriz A-1^ e pré-multiplicando

ambos os membros pela matriz inversa, vem:

mas:

11 12 13 1 1 1 (^21 22 23 2 2 ) 31 32 33 3 3 3

1 2 3 n n

x b x x =

x

n n n

n n n nn

a a a a a a a a (^) b a a a a b

a a a a b

AX  B

A ^1 AX  A B ^1

A ^1 A  I

Exemplo:

1) Para b 1 =16, b 2 =-5 , b 3 =

2) Para b 1 =25, b 2 =-11, b 3 =-

3) Para b 1 =3 , b 2 =5 , b 3 =-

Fazendo:

Os 3 sistemas se transformam em:

1 2 3

x y z b x y z b x y z b

^ ^ ^ 

1 2 3

1 3 2 ;X= ;B = -5 ;B = -11 ; B = 5

x A y z

 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

1 2 3

AX B

AX B

AX B

e a solução deles é dada por:

(^11) (^12) (^13)

X A B X A B X A B

  

  

1

A 

 ^   

X

  ^ ^ ^ 

 ^    ^  ^  ^  

  ^ ^ ^ 

  ^ ^ ^ 

1 1

10 4 3^2

x y x y x y

L L

^ ^ 

8.6.2 SISTEMA COM M EQUAÇÕES COM N

VARIÁVEIS (M≠ N)

O método é semelhante ao método de Gauss-Jordan, com a

diferença de que a matriz dos coeficientes não pode ser

transformada em matriz-unidade pois não é quadrada.

Exemplos:

1) Resolver o sistema de 3 equações com 2 variáveis:

 

 

2 2 1

3 3 1

L L L

L L L

 

 

2 2

3 3 2

1 1 2

L L

L L L

L L L

     ^  

  ^ 

x y x y x y

^ ^ 

Ora, como não existem valores para x e y que satisfaça a 3ª equação, o sistema é incompatível.