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Instituto Superior de Educação
I. S. E
Trabalho cientifico do fim do curso apresentado ao I. S. E. Para
obtenção do grau de licenciatura em matemática
Tema: Guia para o estudo das sucessões
12º ano de escolaridade
Orientador, Autor:
Doutor Paulino Fortes Alda Hortense M. Correia
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Praia, Junho de 2007
Instituto Superior de Educação
Departamento de ciências e tecnologia
Curso de Matemática
Trabalho cientifico:
Guia para o estudo das sucessões
12º ano de escolaridade
Elaborado por:
Alda Hortense Mendes Correia e aprovado pelos membros do Júri. Foi homologado pelo
conselho cientifico pedagógico, com o requisito parcial à obtenção do grau de:
Licenciatura em Matemática
Data:__________________
O Júri:
_______________________
_______________________
____________________ ___
Este trabalho é dedicado a todos aqueles que me
rodeiam, principalmente as meninas Hannah,
Helza e Hyrah, aos meus pais, às minhas irmãs,
ao Clodomir, ao Doutor Paulino, à Ana Lina
e à Lenine.
Índice
- 1 Prefácio
- 2 Introdução
- 3 Breve nota histórica
- 4 Enigmas
- 5 Sucessões; sucessões numéricas
- 5.1 Definições e exemplos
- 5.1.1 Exercícios de aplicação:
- 5.2 Monotonia
- 5.3 Sucessões Periódicas
- 5.4 Propriedades algébricas e topológicas das sucessões
- 5.4.1 Operações com sucessões
- 5.4.2 Estrutura de anel unitário
- 5.4.3 Propriedade topológicas
- 5.4.4 Exercícios de aplicação
- 6 Sucessões Usuais
- 6.1 Progressão aritmética
- 6.1.1 Representação, propriedades e alguns teoremas
- 6.1.2 Soma dos n primeiros termos
- 6.1.3 Médios aritméticos
- 6.1.4 Progressões aritméticas: Resumo
- 6.1.5 Exercícios de aplicação
- 6.2 Progressões geométricas
- 6.2.1 Definições alternativas
- 6.2.2 Representação, propriedades e alguns teoremas
- 6.2.3 Monotonia
- 6.2.4 Exercícios 2 ÍNDICE
- 6.2.5 Produto dos termos duma p.g.
- 6.2.6 Soma dos n termos duma progressão geométrica
- 6.2.7 Exercícios
- 6.2.8 Médios geométricos
- 6.2.9 Progressões geométricas: Resumo
- 6.2.10 Progressões geométricas: tabela exaustiva
- 6.2.11 Exercícios propostos
- 7 Limite das sucessões
- 7.1 Definição e propriedades
- 7.1.1 Exercícios
- 7.1.2 Limite
- 7.2 Sucessões convergentes
- 7.3 Método de comparação
- 7.4 Propriedades dos infinitésimos
- 7.5 Sucessões divergentes
- 7.6 Propriedades das sucessões infinitamente grandes/pequenos
- 7.7 Exercícios:
- 7.8 Operações com sucessões convergentes
- 7.9 Exercícios de aplicação
- 8 Sucessões diversas - estudo das mesmas 8.1 Comparação com as sucessões geométricas e/ou aritméticas e - 8.1.1 Sucessões do tipo un = f (n) - 8.1.2 Sucessões do tipo un+1 = (aun + b)^1 / - 8.1.3 Sucessões do tipo un+1 = (aun + b)/(cun + d)
- 9 Séries
- 9.1 Definição
- 9.2 Propriedades
- 9.3 Cálculo de Sn
- 9.4 Enquadramento duma série
- 9.5 Relação entre progessões geométricas e outras sucessões
- 9.5.1 Sucessões do tipo un+1 = aun + b
- 9.5.2 Sucessões do tipo un+2 = aun+1 + bun
- 9.5.3 Sucessões do tipo un = aucunn++bd
- ÍNDICE
- 9.6 Estudo de duas sucessões conjuntas
- 9.7 Exercícios de aplicação
- 10 Complementos sobre sucessões
- 10.1 Representação dos números reais
- 10.2 Sucessões de Cauchy
- 10.3 Numero de ouro
- 10.4 Exponencial
- 10.5 Series e Produtos infinitos
- 10.6 Introdução ao logaritmo
- 10.6.1 Definição e principio
- 10.6.2 Teorema
- 10.6.3 Propriedades
- 10.6.4 Logaritmos vulgares
- 11 Conclusão e recomendações
4 ÍNDICE
6 CAPÍTULO 1. PREFÁCIO
CAPÍTULO 2
Introdução
Um dos grandes objectivos do ensino da matemática, actualmente, é o desenvolvimento das capacidades de cálculo e de resolução de proble- mas. Uma vez que uma das grandes metas do ensino da matemática é contribuir para o aumento da capacidade de tomadas de decisão com fun- damento matemático, portanto certas e optimizadas. A sociedade de hoje, caracterizada por crescentes e rápidas alter- ações, necessita de indivíduos que pensem duma forma flexível, critica, eficaz e criativa. O poder matemático adquirido no estudo da matemática ajuda na preparação do cidadão activo do presente. Neste caso, as sucessões numéricas, além de terem influência no que foi dito acima, constituem uma classe importante das funções reais e estão na fundamentação de vários conceitos da matemática: desde a própria criação do corpo dos números reais aos métodos aproximativos em geral. Também, servem para modelar vários problemas e enigmas matemáticos e da vida real. Daí a preocupação na elaboração deste manual de referencia para quem se interesse pelo tema. A preocupação na elaboração deste documento de apoio não fica somente limitada na introdução do estudo das sucessões, mas, principal- mente pensou-se na contribuição que este venha a ter na assimilação e estudo de outras cadeiras onde são aplicadas diversos tipos de sucessões e valores aproximados. A estatística, a matemática financeira, de entre outros, cujas aplicações dependem directamente das sucessões, tem influência e de que maneira na sociedade e na tomada de decisões. Na estatística, em especial, o indivíduo terá que aplicar as funções certas principalmente na previsão do crescimento populacional afim de prever e encontrar soluções na demografia futura.
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CAPÍTULO 3
Breve nota histórica
O termo sucessão ou sequência está relacionado com um conjunto de objectos dispostos numa dada ordem. Porém na antiguidade, o estudo de sequências foi aplicada no cálculo dos valores aproximados de:
- Áreas Neste caso, é aplicado ao cálculo da área do segmento duma parábola, duma circunferência, etc. (observe a figura abaixo)
Para poder encontrar o valor aproximado dessa área, os matemáticos da antiguidade dividiam o intervalo em n partes iguais e consideravam pelo menos duas sucessões tal que un < A < vn onde A representa a área e un e vn são sucessões crescente e decrescente respectivamente. Assim, a área será o limite de cada uma dessas sucessões encontradas.
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10 CAPÍTULO 3. BREVE NOTA HISTÓRICA
- Do número π Encontram o valor aproximado de π através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos numa circunferência de compri- mento π e diâmetro a unidade (n representa o número de lados do polígono).
De acordo com a figura acima representada o valor aproximado de π depende do perímetro dos dois pentágonos.
p Este valor é calculado fixando o valor de x 1. Para qualquer real x 1 o valor de k
p está situado entre x 1 e (^) xp 1 onde
⎥ ⎦
⎤ ⎢ ⎣
⎡ = − + − −
− (^1) 1
1 ( )
( 1 )
1 k n
n n x
p k x k
x .
- Um real qualquer O valor aproximado de a/b pertence ao intervalo ]un, vn[ onde a primeira sucessão é crescente e a segunda decrescente, representando os valores arredonda- dos por defeito e por excesso respectivamente. Isto permitiu que se descobrisse bem a regra de certas sucessões como a das sucessões geométricas e sucessões formadas pela soma dos n primeiros termos duma progressão geométrica (Arquimedes, 287-212 a.c.) foram in- troduzidos na previsão do tamanho da população tendo em conta a taxa de fecundidade, das sucessões aritméticas que está directamente, quando maior for o n, ligada à estrutura do conjunto dos números reais e o resultado deste é o axioma de Arquimedes. Este foi uma das razoes pela qual Arquimedes fora considerado fundador da estatística, do cálculo integral e da análise infinitésimal. Além de Arquimédes, outros matemáticos se interessaram pelo estudo de certas sucessões. Em particular, Leonardo de Pisa mais conhecido por
12 CAPÍTULO 3. BREVE NOTA HISTÓRICA
CAPÍTULO 4
Enigmas
A exploração didáctica, e mesmo científica, de enigmas é uma estratégia bastante rica uma vez que: i) É motivadora pois um enigma traz sempre uma forma interessante, por vezes até lúdica de apresentar um problema; ii) É integradora pois a maior parte dos enigmas abarca vários aspectos de uma matéria e até várias matérias; iii) É completa pois leva ao hábito de análise, sintese e outras estratégias de resolução de problemas. Por isso, apresentamos abaixo alguns enigmas envolvendo o conceito de sucessão, com vista a constituir uma fonte de recurso aos professores e cu- riosos:
- Timóteo hesita entre duas firmas que lhe propõe trabalho. A primeira oferece-lhe 180 contos por ano com a promessa dum aumento de 10 contos por semestre. A segunda oferece-lhe 180 contos por ano com a promessa dum aumento de 40 contos por ano. Depois de muito pensar, Timóteo escolheu a primeira firma. Porquê?
- Um governo decide apenas emitir duas moedas de valor diferente: uma de 7 unidades monetárias e outra de 11. Assim, somas como 15 unidades não podem ser obtidas de maneira exacta. Qual é a maior quantia que não pode ser paga com qualquer combinação das duas moedas?
- Timóteo comprou uma balança com dois pratos, mas sem pesos. Então resolveu fazê-los, cortando em vários pedaços uma barra de 121g. Obteve, assim, um sistema que lhe permite pesar exactamente todos os objectos que pesem um número inteiro de gramas de 1 a 121. Como dividiu Timóteo a barra? Quantos pedaços são necessários?
- Calvin: Hobbes, ajudas-me nos TPC?
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CAPÍTULO 5
Sucessões; sucessões
numéricas
5.1 Definições e exemplos
Vai-se iniciar apresentando exemplos de sucessões e problemas que geram sucessões.
Exemplo 5.1 A disposição abaixo é uma sucessão: 2 , 10 , 50 , 0 , 100 , − 3 , − 4 , − 5 , 535 , 15 , 200 , 3
Exemplo 5.2 Supondo que a taxa anual de aumento dos preços é de 8%, isto é se um produto que custa 100 escudos este ano, no próximo custará 100 + 1008 × 100 , etc. Seja vn o preço desse mesmo produto ao longo de n anos. Calcule o valor aproximado de vn a 0.01, para n ∈ { 1 , 2 , 3 , 5 }. Solução: n = 1 ⇒ v 1 = 100 + 1008 × 100 = 108 n = 2 ⇒ v 2 = 108 + 1008 × 108 = 116. 64 n = 3 ⇒ v 3 = 125. 9712 ≈ 125. 97 n = 5 ⇒ v 5 ≈ 147. 02
Exemplo 5.3 Considere-se a função f (x) = (^2) xx+1−^5. Para todo o inteiro nat- ural n, un = f (n). O organograma abaixo indicado resume os cálculos efecutados para cal- cular os valores de un para todo n inteiro natural menor do que 50.
Definição 5.1 (sucessão) Seja a um inteiro natural. Designa-se por Na = {a, a + 1, a + 2, ...} de naturais maiores ou iguais a a. Chama-se sucessão
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16 CAPÍTULO 5. SUCESSÕES; SUCESSÕES NUMÉRICAS
Figura 5.1:
numérica uma aplicação de Na em R. Onde u(n) a imagem de n, nota-se da seguinte forma: un. O real un é um termo da sucessão; neste caso, é o termo de ordem n. O termo ua é o primeiro termo da sucessão. E, u = (un)n≥a ou u = (un)n∈Na representa a sucessão u.
Nota 5.1 Quando a = 0 a sucessão pode ser representada das seguintes maneiras: (un) = (un)n≥ 0 ou u = (un)n∈N 0
Nota 5.2 Às vezes, para precisar a forma dos termos sucessivos, a sucessão é notada da seguinte forma: (un)n≥a = (ua, ua+1, ..., un, ...).
Exemplo 5.4 Tomemos como exemplo a sucessão u = (^) n^1 para todo inteiro não nulo. Esta sucessão será representada da seguinte forma: ( (^1) n )n≥ 1 = (1, 12 , 13 , ..., (^) n^1 , ...). Podemos, também, encontrar a notação seguinte:
n
isto é devido ao facto do mesmo não ser definido em n = 0 conseqüentemente o primeiro termo jamais pode ser nulo.
Nota 5.3 Representa-se uma sucessão finita da seguinte forma: (un)a¹n¹b = (ua, ua+1, ..., ub).
