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CURSO DE ENGENHARIA EL´ETRICA
DISCIPLINA SINAIS E SISTEMAS (SIS0001)
Exerc´ıcio 3
Alunas: Luiza Cortez da Silva Tapajoz de Arruda e Maria Eduarda Verbinenn
Considere dois sistemas LIT com respostas `a amostra unit´aria h1[n] e h2[n], como mos- trado na Figura 13(a). Esses dois sistemas s˜ao cascateados conforme a Figura 13(b). Seja x[n] = u[n], fa¸ca:
Figura 1: Imagens do Exerc´ıcio
a) No Matlab/Ocatave, calcule y[n]. Para isso, calcule primeiro w[n] = x[n] ∗ h1[n] e depois y[n] = w[n] ∗ h2[n], ou seja, y[n] = [x[n] ∗ h1[n]] ∗ h2[n].
Figura 2: Convolu¸c˜ao y[n]
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b) Agora, encontre y[n], primeiro convoluindo h1[n] e h2[n] para obter g[n] = h1[n] ∗ h2[n] e depois convoluindo x[n] com g[n] para obter y[n] = x[n] ∗ [h1[n] ∗ h2[n]].
Figura 3: Convolu¸c˜ao y[n]
c) Desenvolva os itens (a) e (b) de forma alg´ebrica. Para (a) Sejam os sinais:
x[n] = u[n] =
1 , n ≥ 0 0 , n < 0
h 1 [n] =
n u[n] =
n , n ≥ 0 0 , n < 0
A convolu¸c˜ao discreta entre x[n] e h 1 [n] ´e dada por:
w[n] = x[n] ∗ h 1 [n] =
X^ ∞
k=−∞
x[k] · h 1 [n − k]
Como x[k] = 0 para k < 0, a soma se reduz a:
w[n] =
X^ n
k=
h 1 [n − k] =
X^ n
k=
n−k
Fazendo a substitui¸c˜ao m = n − k:
w[n] =
X^ n
m=
m
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Sabemos que:
h 1 [k] =
k
h 2 [n − k] =
1 , n − k = 0 3 2 ,^ n^ −^ k >^0
Ent˜ao, a soma se divide em dois termos:
g[n] = h 1 [n] · 1 +
nX− 1
k=
h 1 [k] ·
Substituindo h 1 [k]:
g[n] =
n
nX− 1
k=
k
A soma ´e uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao r = − 12 , logo:
nX− 1
k=
k
n
1 + (^12)
n
g[n] =
n
n
n
n = 1
g[n] = u[n]
Etapa 2: y[n] = x[n] ∗ g[n] = u[n] ∗ u[n] Convolu¸c˜ao de dois degraus unit´arios:
y[n] =
X^ n
k=
1 = n + 1 ⇒ y[n] = (n + 1)u[n]
Obtivemos o mesmo resultado que na convolu¸c˜ao feita passo a passo:
y[n] = (n + 1)u[n]
Portanto, confirmamos a propriedade associativa da convolu¸c˜ao:
x[n] ∗ (h 1 [n] ∗ h 2 [n]) = (x[n] ∗ h 1 [n]) ∗ h 2 [n]
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C´odigo em MATLAB/Octave desenvolvido para a obten¸c˜ao das imagens anteriormente apresentadas: 1 % %% %%% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2 % Atividade 3 SIS % 3 % Luiza C S T Arruda % 4 % Maria Eduarda Verbinenn % 5 % %% %%% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6 7 clc ; clear ; close all ; 8 9 % Definindo intervalo de tempo maior para evitar truncamento da convolucao 10 n = 0:50; % Vetor de tempo 11 12 % Definindo u [ n ] e x [ n ] 13 x = double ( n >= 0) ; % x [ n ] = u [ n ] 14 15 % Definindo h1 [ n ] e h2 [ n ] 16 h1 = ( -0.5) .^ n .* x ; % h1 [ n ] = ( -1/2) ^ n * u [ n ] 17 h2 = x + 0.5 * double ( n >= 1) ; % h2 [ n ] = u [ n ] + (1/2) * u [n -1] 18 19 % Convolucoes manuais ( definidas pela teoria ) 20 w = convolucao (x , h1 ) ; % w [ n ] = x [ n ] * h1 [ n ] 21 y1 = convolucao (w , h2 ) ; % y [ n ] = w [ n ] * h2 [ n ] = ( x * h1 ) * h 22 g = convolucao ( h1 , h2 ) ; % g [ n ] = h1 [ n ] * h2 [ n ] 23 y2 = convolucao (x , g ) ; % y [ n ] = x [ n ] * g [ n ] = x *( h1 * h2 ) 24 25 % % Comparacoes opcionais usando conv do MATLAB ( comentadas ) 26 % w_teste = conv (x , h1 ) ; 27 % y1_teste = conv ( w_teste , h2 ) ; 28 % g_teste = conv ( h1 , h2 ) ; 29 % y2_teste = conv (x , g_teste ) ; 30 31 % Plotagem 32 figure ; 33 subplot (3 ,2 ,1) ; stem (n , x , ' filled ') ; axis ([ -1 10 -1 2]) ; title ( 'x [ n ] = u [ n ] ') ; 34 xlabel ( 'n ') ; ylabel ( 'x [ n ] ') ; 35 36 subplot (3 ,2 ,2) ; stem (n , h1 , ' filled ') ; axis ([ -1 5 -1 2]) ; title ( ' h_1 [ n ] = ( -1/2) ^ n u [ n ] ') 37 xlabel ( 'n ') ; ylabel ( ' h_1 [ n ] ') ; 38 39 subplot (3 ,2 ,3) ; stem (n , h2 , ' filled ') ; axis ([ -1 10 -1 2]) ; title ( ' h_2 [ n ] = u [ n ] + 0.5 u [n -1] ') ; 40 xlabel ( 'n ') ; ylabel ( ' h_2 [ n ] ') ;
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