Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Qu´ımica
EQ502 – Introdu¸c˜ao `a An´alise de Processos
Exerc´ıcios Aula 3
Larissa Jaroczinski
Pedro Vasconcellos Cazzoli
RA: 205462
RA: 252906
Campinas - SP
2025
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Simulação de um tanque com duas variáveis de entrada e duas de saída, Exercícios de Controle de Processo
Descrição da criação de um modelo no Xcos de um tanque com controle de nível e concentração utilizando o método de funções de transferência.
Tipologia: Exercícios
2025
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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Qu´ımica
EQ502 – Introdu¸c˜ao `a An´alise de Processos
Exerc´ıcios Aula 3
Larissa Jaroczinski
Pedro Vasconcellos Cazzoli
RA: 205462
RA: 252906
Campinas - SP
1 Exerc´ıcio 1:
a) Levando-se em considera¸c˜ao que a E.D.O. que descreve o comportamento do n´ıvel (L)
com rela¸c˜ao `a vaz˜ao (F 0
) ´e mostrada na equa¸c˜ao abaixo, iniciamos o procedimento para a
obten¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia com a escrita da E.D.O. em termos de vari´aveis desvio.
dL
dt
At
F 0 − Cv
p
gL
dL
dt
C
vs
2 At
r
g
L
s
L =
At
F
0
Com os termos entre colchetes sendo a =
Cvs
2 At
q
g
Ls
e b =
1
At
. Para obter a fun¸c˜ao de
transferˆencia G(s), que ´e a raz˜ao entre a sa´ıda e a entrada do sistema no dom´ınio s, aplicamos
a transformada de Laplace, conforme segue.
L
d
L
dt
- L[a
L(t)] = L[b
F
0
(t)]
sL(s) −
L(0) + aL(s) = bF 0 (s)
L(s) =
b
s + a
F
0
(s)
G(s) =
L(s)
F 0 (s)
b
s + a
b) Para encontrar a express˜ao matem´atica para a resposta do sistema a um aumento de
20% em F 0
, ´e preciso encontrar a fun¸c˜ao no dom´ınio de s que representa o degrau de F 0
F
0
(s) =
s
L(s) =
b
s + a
F 0 (s)
L(s) =
s
b
s + a
L(s) = 0, 8 b
s(s + a)
L(s) =
0 , 8 b
a
s
s + a
Como o comportamento do n´ıvel em rela¸c˜ao `a F 0
´e diretamente proporcional, um aumento
de 20% na entrada gera um aumento de 20% em
L, exatamente o que observamos na figura.
c) Pelo Teorema do Valor Final (TVF), temos que:
lim
t→∞
f (t) = lim
s→ 0
sF (s)
lim
t→∞
L(t) = lim
s→ 0
s 0 , 8 b
s(s + a)
lim
t→∞
L(t) = lim
s→ 0
0 , 8 b
s + a
lim
t→∞
L(t) ≈ 0 , 6
Como a fun¸c˜ao do n´ıvel est´a em vari´avel desvio, para encontrar o valor do n´ıvel no novo
estado estacion´ario, soma-se o valor de L S
=1,5 m no valor encontrado pelo TVF. Assim, o valor
do n´ıvel no novo estado estacion´ario ´e de 2,1 m, o que ´e pr´oximo do valor encontrado no item
b), que foi de, aproximadamente, 2,0993 m pelo gr´afico.
d) Utilizando a fun¸c˜ao de transferˆencia, tem-se a seguinte configura¸c˜ao de blocos no Xcos,
juntamente com o c´odigo utilizado no exerc´ıcio 1 da aula anterior para o modelo linearizado e
fenomenol´ogico do n´ıvel do tanque:
Figura 3 – Diagrama para a quest˜ao 1d
De cima para baixo est˜ao o modelo linearizado, o modelo utilizando a fun¸c˜ao de trans-
ferˆencia e o modelo fenomenol´ogico. Com isso, obt´em-se o seguinte gr´afico, sendo a linha verde
representa o da fun¸c˜ao de transferˆencia, a linha preta representa o modelo linearizado e a
vermelha, o fenomenol´ogico:
Percebe-se que as linhas preta e verde est˜ao sobrepostas, indicando que o comportamento
da fun¸c˜ao de trasnferˆencia e do modelo linearizado concidem. Estes modelos s˜ao sobrepostos
Figura 4 – Diagrama para a quest˜ao 1d
porque ambos representam a mesma dinˆamica linear aproximada em torno dp ponto esta-
cion´ario: o primeiro descreve o sistema por uma equa¸c˜ao diferencial linear, enquanto o segundo
´e sua representa¸c˜ao no dom´ınio da frequˆencia via Transformada de Laplace, mantendo equi-
valˆencia matem´atica exata.
J´a o modelo fenomenol´ogico n˜ao linear (que inclui termos como
L na vaz˜ao de sa´ıda) cap-
tura o comportamento real do sistema, mas diverge dos modelos lineares para perturba¸c˜oes
maiores (como +20%), pois estes desconsideram n˜ao-linearidades significativas al´em da regi˜ao
de lineariza¸c˜ao. Assim, enquanto os modelos lineares s˜ao idˆenticos entre si por constru¸c˜ao, o
fenomenol´ogico mostra diferen¸cas quando a resposta do sistema ´e influenciada por efeitos n˜ao
lineares n˜ao aproximados.
e) A resposta anal´ıtica do item b) mostra apenas a rea¸c˜ao do sistema com o degrau de
+20%, em F 0 , mostrando a rea¸c˜ao do sistema a partir da altera¸c˜ao at´e o estado estacion´ario.
J´a a simula¸c˜ao do item d) nos permite observar o comportamento do tanque antes e depois do
degrau devido a contribui¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia.
J´a para a equa¸c˜ao (2), repetimos o mesmo processo:
dC A
dt
- eC A
= dL + f F 0
sCA(s) +
CA(0) + eCA(s) = dL(s) + f F 0 (s)
C
A
(s) =
d
s + e
L(s) +
f
s + e
F
0
(s)
C
A
(s) =
d
s + e
(G
11
F
0
− G
21
C
v
f
s + e
F
0
C
A
(S) =
db
(s + e)(s + a)
f
s + e
F
0
dc
(s + e)(s + a)
C
v
C
A
F
0
db
(s + e)(s + a)
f
s + e
= G
21
CA
C
V
dc
(s + e)(s + a)
= G 22
C
A
(s) = G 21
F
0
(s) − G 22
C
v
(s)
Desse modo, as quatro fun¸c˜oes de transferˆencia ser˜ao:
G 21 =
CA(s)
F
0
(s)
db
(s + e)(s + a)
f
s + e
G 11 =
L(s)
F
0
(s)
b
s + a
G
22
C
A
(s)
C
v
(s)
dc
(s + e)(s + a)
G
21
L(s)
C
v
(s)
c
s + a
b) Utilizando as fun¸c˜oes de transferˆencia acima, montamos o seguinte fluxograma no Xcos:
Figura 5 – Fluxograma para a quest˜ao 2b
Onde ´e poss´ıvel observar as quatro fun¸c˜oes de transferˆencia. A l´ogica deste fluxograma
segue o seguinte racioc´ınio para sistemas com m´ultiplas entradas e m´ultiplas sa´ıdas:
Figura 6 – Racioc´ınio utilizado para realiza¸c˜ao da simula¸c˜ao no Xcos
No fim do c´odigo, para corre¸c˜ao do valor que ser´a plotado, soma-se o valor do estado
estacion´ario do n´ıvel e da concentra¸c˜ao nas vari´aveis desvio. Ap´os a execu¸c˜ao da simula¸c˜ao,
tˆem origem os seguintes gr´aficos:
Figura 7 – Comportamento do n´ıvel do tanque no cen´ario proposto
Figura 8 – Comportamento da concentra¸c˜ao de A no cen´ario proposto