Séries numéricas critérios de convergência, Exercícios de Cálculo

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Séries numéricas

critérios de convergência

Prof. a Priscila Savulski Ferreira

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Cálculo Integral

Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente ou

divergente.

Critérios de convergência e divergência

Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;

Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;

Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente ou

divergente.

Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergência

de séries.

Teste de divergência

Teorema

Se

an é convergente, então lim n→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

∑^ n

i= 1

ai temos que an = sn − sn− 1.

Teste de divergência

Teorema

Se

an é convergente, então lim n→∞

an = 0

Dem.: Note que dado sn =

∑^ n

i= 1

ai temos que an = sn − sn− 1.

Além disso, como

an é convergente para um valor, por exemplo s, temos

que sn → s e sn− 1 → s.

Volta do Teorema

Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo 1

n

→ 0, mas a série harmônica

n

diverge. Logo

an → 0 ;

an converge.

Volta do Teorema

Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo 1

n

→ 0, mas a série harmônica

n

diverge. Logo

an → 0 ;

an converge.

Além disso, a contrapositiva nos remete a o primeiro critério:

Critério de divergência

Se an 9 0, então

an diverge.

Exemplo

Verifique se a série converge ou diverge

π

7 n + 1

n

Exercício

Verifique se a série converge ou diverge

∑ (^) n^2 − 1

4 n^2 + 7

Momento de tentar! Pause o vídeo!

Exercício

Verifique se a série converge ou diverge

∑ e n

n^2

Momento de tentar! Pause o vídeo!

Exercício – resposta

Verifique se a série converge ou diverge

∑ (^) en

n^2

Considere f (x) =

e x

x^2

. Assim,

lim x→∞

e x

x^2

L′H ︷︸︸︷ = lim x→∞

e x

2 x

L′H ︷︸︸︷ = lim x→∞

e x

Logo an → ∞ 6 = 0 e, pelo critério de divergência,

an é divergente.

Propriedades

Propriedades

Considere

an e

bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)

(an + bn) converge e

(an + bn) =

an +

bn.

b)

ran converge e

ran = r

an.

Dem.: a) Sejam

an → sa e

bn → sb.

Propriedades

Propriedades

Considere

an e

bn convergentes e r ∈ IR. Então

a)

(an + bn) converge e

(an + bn) =

an +

bn.

b)

ran converge e

ran = r

an.

Dem.: a) Sejam

an → sa e

bn → sb.

Considere sn =

n ∑

i= 1

(ai + bi) assim,