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1. (Fuvest 2011) Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da
figura abaixo divide o segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”.
A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas. Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum. Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela.
Trecho traduzido e adaptado do artigo de G. Markowsky, Misconceptions about the golden ratio, The College Mathematics Journal , 23, 1, january, 1992, pp. 2-19.
a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações. b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações. c) Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de
triângulos para demonstrar que o ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.
2. (G1 - cps 2010) Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de 20 metros. Após uma aula de Matemática, cujo tema era Semelhança de Triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que aprendeu para calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu o seguinte esquema:
- O segmento AC é perpendicular aos segmentos BF e CE ;
- o segmento (^) AB representa a antena;
- o segmento BC representa a altura do prédio;
- ponto D pertence ao segmento CE ;
- o ponto F pertence ao segmento AE ;
- o ponto B pertence ao segmento AC ;
- os segmentos BC e FD são congruentes;
- a medida do segmento BF é 12 m;
- a medida do segmento DE é 36 m.
Assim, Marcelo determinou que a altura do prédio é, em metros, a) 45. b) 50. c) 60. d) 65. e) 70.
3. (G1 - cp2 2017) Na figura a seguir, os triângulos ABC e ABD são retângulos em A e D,
respectivamente. Sabe-se que (^) AC = 15 cm, AD = 16 cme (^) BD =12 cm.
A área do triângulo ABE é de
a) 100 cm.^2
b) 96 cm.^2
c) 75 cm.^2
d) 60 cm.^2
4. (Enem 2ª aplicação 2016) Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo duas delas triângulos congruentes e a terceira um
Gabarito:
Resposta da questão 1: a) “(...) embora muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética sejam falsas e equivocadas”.
b) “Infelizmente, divulgaram-se amplamente essas afirmações sobre a razão áurea”.
c) ∆PAC ~ ∆MBC
y x x y y AC BC AB AC
Portanto, C divide o segmento AB na razão áurea.
Resposta da questão 2: [C]
Considerando x a altura do prédio, temos:
ABF ~ ACE
20 x 12 36 20 1 20 x 4 x 60 m
Resposta da questão 3: [C]
AB^2 = 122 + 162 ⇒ AB^2 = 144 + 256 ⇒ AB = 20
AEH ~ ABD
h x 4h x 12 16 3
EHB ~ CAB
h y 4h y 15 20 3
Como x + y = 20,podemos escrever:
4h 4h 20 h 7,5 cm 3 3
Portanto, a área do triângulo ABE será dada por:
A 20 7,5 75 cm^2 2
Resposta da questão 4: [B]
O mosaico que possui as características daquele que se pretende construir é o 2. De fato, pois os triângulos 30 , 60 , 90° ° ° são congruentes e o triângulo 30 , 30 , 120° ° ° é isósceles.
No mosaico 1,^ o triângulo 30 , 30 , 120° ° ° é isósceles, mas os triângulos 30 , 60 , 90° ° ° não são
congruentes. No mosaico 3, os triângulos 22 , 68 , 90° ° ° são congruentes, mas o triângulo 44 , 46 , 90° ° ° não é
isósceles. Nos mosaicos 4 e 5 não é possível formar um triângulo retângulo com as três peças.
Resposta da questão 5: 02 + 08 + 16 = 26.
[01] Falso. É preciso que tenha lados/ângulos congruentes (dois lados e um ângulo, por exemplo).
[02] Verdadeiro. Triângulos congruentes têm a mesma área.
[04] Falso. Triângulos semelhantes podem, por exemplo, tem áreas diferentes – logo, não serão sempre congruentes.
[08] Verdadeiro. Todos os triângulos congruentes são também semelhantes.
[16] Verdadeiro. Se dois triângulos possuem dois lados e um ângulo congruentes (lado, ângulo, lado) então são congruentes e o terceiro lado também será igual.
Resposta da questão 6: 04 + 08 = 12.
