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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia de Sistemas Eletrônicos - PSI – EPUSP PSI 3 212 - LABORATÓRIO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Experiência 5 - Resposta em Frequência de Circuitos RC e RLC
PARTE 1 - INTRODUÇÃO TEÓRICA
Walter Salcedo e Marcio Lobo Revisão: Leopoldo Yoshioka Edição 2017
1) Objetivos:
- Estudar a resposta em frequência em redes passivas RC e RLC.
- Identificar indicadores de qualidade da resposta destes circuitos analisando frequência de corte e índice de mérito.
- Analisar a resposta em frequência de um multímetro digital portátil.
2) Introdução
Nas experiências anteriores observamos o comportamento do capacitor e do indutor em circuitos operando em regime permanente senoidal. Verificamos que a impedância do capacitor é inversamente proporcional à frequência, enquanto que a impedância do indutor aumenta linearmente com a frequência. Nesta experiência estudaremos o comportamento de circuitos compostos por combinações de elementos R, L e C e com a variação da frequência do sinal de excitação. Um circuito RC ou RLC pode ser representado por um quadrupolo (ou quadripolo) que é um dispositivo de duas portas, como mostrado na Figura 1. O quadrupolo pode ser definido pela função ganho, G(j), = 2f, que relaciona o sinal de entrada com o sinal de saída. O ganho é definido para excitação senoidal em regime estacionário. O G(j) depende dos parâmetros que constituem o quadrupolo (R, L e C) e da frequência do sinal de excitação (). O G(j) é uma função complexa constituída por um componente real e outro imaginário (representação cartesiana) ou pelo módulo e fase (representação polar). Figura 1 - Quadrupolo
Para um quadrupolo como o da Figura 1, definimos o ganho, 𝐺(𝑗𝜔), como sendo a razão
entre os fasores da tensão de saída, 𝑽̂ 𝑺 , e da tensão de entrada, 𝑽̂ 𝑬 , como segue:
𝐺(𝑗𝜔)^ =
𝑉𝑆 𝜑𝑉𝑠 𝑉𝐸 𝜑𝑉𝑒
ou
𝐺(𝑗𝜔)^ = |
𝑉𝑆 𝑉𝑒
| exp(𝑗𝜑)^ = |𝐺(𝑗𝜔)|^ exp(𝑗𝜑)^ , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜑 = 𝜑𝑉𝑠 − 𝜑𝑉𝑒 (2)
Assim, a função de transferência do ganho, 𝐺(𝑗𝜔), para uma excitação harmônica de
frequência angular será completamente determinada pelo seu módulo, |𝐺(𝑗𝜔)|, e sua
fase, 𝜑, respectivamente. Experimentalmente o módulo do ganho é obtido indiretamente
através da medida dos valores eficazes das tensões de entrada (VE) e saída (VS) do quadrupolo. A fase do ganho também poderá ser obtida diretamente utilizando-se um
osciloscópio e medindo-se a defasagem entre os sinais de tensão de saída (𝜑𝑉𝑠) e de
entrada (𝜑𝑉𝑒).
3) Resposta em frequência
Como apresentado no item anterior, a função de transferência de um circuito composto de elementos reativos (C e L) é dependente da frequência do sinal de excitação, caracterizando desta forma a resposta em frequência do sistema em estudo. Na prática, através da resposta em frequência de um quadrupolo podemos inferir o tipo de circuito que está contido. 3.1 Sistemas não-ressonantes Em sistemas não ressonantes, a resposta em frequência é caracterizada pela frequência de corte. Existem dois critérios para a determinação da frequência de corte:
- frequência onde o módulo da função de transferência é 3 dB (decibéis^1 ) abaixo do valor de patamar (corresponde a 1 √ 2 ≈ 0,71 vezes o valor do patamar ou valor máximo);
- frequência onde a fase da função de transferência é - 45 graus. A Figura 2 mostra um exemplo de curvas de resposta em frequência da função ganho, com comportamento não ressonante. A Figura 2a mostra a curva do módulo do ganho, sendo que na faixa de 10 Hz até próximo de 700 Hz o valor do ganho é aproximadamente de 0 dB (corresponde ao Ganho = 1). Observe que na frequência de corte (723 Hz) o valor do ganho é de - 3 dB (corresponde ao Ganho = 0,701). A partir da frequência de corte o ganho se reduz cada vez mais com o aumento da frequência. Note que quando se utiliza representação em decibéis (dB), valores negativos de ganho significam que a amplitude da tensão de entrada é menor do que a amplitude da tensão de saída, ou seja, ganho menor do que um. A Figura 2b mostra a curva da fase do ganho, sendo que a curva começa em 0o decrescendo monotonicamente com o aumento da frequência, até chegar a - 90 o. Observe que na frequência de corte (723 Hz) o valor da fase do ganho é exatamente - 45 o. (^1) Ganho em decibéis: 𝐺 𝑑𝐵 =^20 𝑙𝑜𝑔^ (^ 𝑉𝑠 𝑉𝐸
- ponto onde a fase da função de transferência é igual a zero. Nesta experiência consideraremos o primeiro critério^2. As frequências de corte inferior (fc1) e frequência de corte superior (fc2) seguem o mesmo critério dos sistemas não ressonantes, ou seja, correspondem aos pontos onde o módulo
da função de transferência apresenta uma queda de 3 dB (ou |𝐺(𝑗𝜔)|/√ 2 , ou Zmax/√ 2 ).
O índice de mérito, parâmetro que indica a qualidade do sistema, é definido da seguinte forma: 𝑄 =
Particularmente, nesta experiência analisaremos a resposta em frequência de quadrupolos constituídos por circuitos passivos RC e RLC e, com o auxílio destes resultados, discutiremos a resposta em frequência de um multímetro digital. Figura 3 – Resposta em frequência de um circuito ressonante. (^2) As frequências identificadas pelos dois critérios podem coincidir ou não dependendo do fator Q relacionado às perdas dos componentes reativos (corrente de fuga pelo dielétrico do capacitor ou resistência de enrolamento do indutor).
4 ) Resposta em Frequência do Circuito RC
Figura 4 – Circuito RC. A função de transferência do ganho, G(jω), do circuito mostrado na Figura 4 (parte marcada por linhas tracejadas) será dada pelas expressões que seguem:
𝐺(𝑗𝜔)^ =
√ 1 + (𝜔𝑅𝐶)^2
2
𝜑 = − 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛(𝜔𝑅𝐶)^ (^6 )
Obs.: Tente deduzir você mesmo os resultados acima.
5 ) Resposta em Frequência do Circuito RLC
5.1 Circuito RLC (indutor sem perdas) Figura 5
Onde: o = 1/√𝐿𝐶 Obs.: Tente deduzir você mesmo os resultados acima.
[
2
2
+ (𝜔𝑅𝐶)^2 ) + (
2
2
2
]
1 ⁄ 2
[
𝜔^2
2
𝜔^2 𝐿^2
𝜔^2 𝐿^2
) ]
PARTE 2 - PREPARAÇÃO PARA A EXPERIÊNCIA
Nesta experiência vocês devem realizar uma preparação antes do dia de aula. A preparação é imprescindível para a execução da experiência no Laboratório. A falta de preparação implicará na falta de tempo para a execução dos itens previstos no Guia Experimental. 1) Resposta em frequência de circuito RC Considere o circuito RC mostrado na Figura 4 e adote R = 1 kΩ e C = 100 nF.
- Calcule o valor numérico do módulo de ganho, |𝐺(𝑗𝜔)|, e de fase, 𝜑 , com a frequência variando de 10 Hz a 6 kHz. Escolha os intervalos de frequência convenientemente espaçados ( ver Tabela 2 do Template do Relatório ). Utilize um software de cálculo numérico (por exemplo Wolfram Alpha) ou uma planilha eletrônica (por exemplo Excel ou Calc)
- Construa os gráficos, ajustando as escalas para representar as curvas de forma similar às curvas mostradas na Figura 2. Para o gráfico do módulo do ganho deve- se utilizar a escala em dB e a escala de frequência deve ser logarítmica. Veja um exemplo de escala monolog no final deste documento.
- Imprima os gráficos (caso você tenha utilizado algum software). Os mesmos deverão ser anexados ao Relatório que será desenvolvido durante a experiência.
- A partir dos gráficos de ganho e de fase obtenha a frequência de corte.
- Calcule a frequência de corte teórica, utilizando-se a fórmula 𝑓𝑐 = 1 2 𝜋𝑅𝐶
2 ) Resposta em frequência de circuito RLC Considere o circuito RLC mostrado na Figura 6 , e adote R = 10kΩ, C = 10 0 nF, LS = 3,0mH e RS = 8,0 Ω.
- Calcule o valor numérico do módulo de ganho, |𝐺(𝑗𝜔)|, e da fase, 𝜑 , com a frequência variando de 1 kHz a 20 kHz. Escolha os pontos convenientemente espaçados ( ver Tabela 3 do Template do Relatório).
- Construa o gráfico, ajustando as escalas para representar a curva de forma similar às curvas mostradas na Figura 3. Para o gráfico do ganho deve-se utilizar a escala em dB e a escala de frequência deve ser logarítmica (gráfico monolog).
- Imprima os gráficos caso tenha utilizado algum software. Os mesmos deverão ser anexados ao Relatório que será desenvolvido durante a experiência.
Modelos de Tabelas e Gráficos (Monolog)
Tabela – Valores numéricos de módulo e fase do Ganho
Frequência (Hz) |𝐺(𝑓)| 𝜑(𝑓)
