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RESOLUÇÃO LISTA PG
- Sabendo-se que x – 4, 2x + 4 e 10x – 4 são termos consecutivos de uma P.G., calcule x de modo que eles sejam positivos.
Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos:
x
x
x
x
. Multiplicando
os termos, (2x + 4)^2 = (x - 4).(10x - 4). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º,
temos a equação: 4x^2 + 16x + 16 = 10x^2 - 4x – 40x + 16. Eliminando os simétricos e simplificando,
vem: - 6x^2 – 60x = 0 dividindo por (- 6) e colocando “x” em evidência, temos: x (x – 10) = 0.
Logo x = 0 ou x = 10. Se x = 0, o termo x – 4 será negativo. O problema pede termos positivos.
Logo x = 10.
- Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. crescente, determine x.
Solução. Aplicando a propriedade para encontrar a razão, temos: 2
3 1
2
x
x x
x
. Multiplicando
os termos, (x + 2)^2 = (x - 1).(3x). Resolvendo o quadrado no 1º membro e o produto no 2º, temos a
equação: x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 3x. Simplificando, vem: 2x^2 – 7x - 4 = 0. Resolvendo a equação, temos
x = 4 ou x = - 0,5.
i) Para x = - 0,5 temos a PG = -1,5 ; 1.5 ; -1,5 que não é crescente.
ii) Para x = 4 temos a PG = = 3 ; 6 ; 12 que é crescente. Logo a resposta é x = 4.
- Considere esta seqüência de figuras.
Na figura 1, há 1 triângulo. Na figura 2, o número de triângulos menores é 4. Na figura 3, o número de triângulos menores é 16 e assim por diante. Prosseguindo essa construção de figuras, teremos quantos triângulos menores na figura 7?
Solução.
Repare que as quantidades crescem na razão q = 4. A figura 7 pode ser representada pelo termo
a 7 = a 1 .qn-1^ = 1.4^6 = 4096 triângulos.
- O oitavo e o décimo termos de uma seqüência numérica são, respectivamente, 640 e 2.560. De- termine o nono termo, no caso de:
a) a seqüência ser uma progressão aritmética; b) a seqüência ser uma progressão geométrica;
Solução.
Pela informação do problema, a 8 = 640 e a 10 = 2560. As propriedades para o termo situado entre
esses citados são:
a) Progressão aritmética: a 9 = (640 + 2560)/2 = 3200/2 = 1600.
b) Progressão geométrica: (a 9 )^2 = (640 x 2560). Logo a 9 = 640 x 2560 = 8.10.16 = 1280.
- Calcule a soma dos termos da P.G.
Solução. Pelas informações do problema, a 1 = 2 e a 7 = 250. Logo n = 7. Para encontrar q, utiliza-
mos a fórmula: q = 2 5 / 2 = 5.
Aplicando na fórmula da soma: 62 5 312
7
S x
- Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça recusou o trabalho. Se ela tivesse acei- tado a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho?
Solução. Pelas informações do problema, a 1 = 1, q = 2 e n = 12. Utilizamos a fórmula:
12 12
S x x Logo, ela receberia R$4096,00.
- Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doen- ça, qual é o total de aves dessa criação?
Solução. Pelas informações do problema, a 1 = 1, q = 2 e n = 8. Utilizamos a fórmula:
8 8
S x x Logo, o total de aves é 255.
- Uma forte chuva começa a cair na UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo en- tre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade na medida em que a chuva piora. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
Solução. Repare que o primeiro pingo não possui um número que o represente. A primeira in- formação numérica virá 30s e será o segundo pingo. A seqüência dos momentos da goteira se- riam: 30, 15, 15/2, 15/4,... Isolando o termo 30 e colocando 15 em evidência formamos uma PG decrescente ilimitada: 30 + 15(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...). Usando a fórmula dentro dos parênteses, temos:
Logo, a PG infinita possui: a 1 ^100 e 10
1 q^ . Utili-
zando a fórmula da PG infinita, temos:
. 9
100 1000
1
100
1 101 109
(^1) m q
a S
....................
b , ,
b
b
1111 100 10 1 01
111 100 10 1
110 100 10
3
2
1
