Resolução de equações de terceiro grau ..., Notas de aula de Construção

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Rosana Nogueira de Lima

Resolução de equações de terceiro grau através de cônicas

Mestrado em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PUC – SP

Rosana Nogueira de Lima

Resolução de equações de

terceiro grau através de cônicas

Dissertação apresentada como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob orientação do Professor Doutor Saddo Ag Almouloud.

PUC – SP

Dedicatória

Dedico este trabalho a todos os professores e pesquisadores em Educação Matemática que tentam procurar caminhos melhores para ensinar seus alunos.

Agradecimentos

Ao Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, pelo trabalho de orientação, desenvolvido com dedicação e amizade.

À Professora Doutora Sônia B. C. Igliori e à Professora Doutora Circe M. S. S Dynnikov, pelas contribuições para a elaboração e o enriquecimento deste trabalho.

À Professora Doutora Sandra M. P. Magina, por participar da Banca Examinadora como suplente.

Aos professores do Programa de Pós Graduação em Educação Matemática da PUC-SP, pelo incentivo durante o curso.

À Professora Doutora Maria Cristina S. A. Maranhão, por intervir para que este trabalho pudesse ser estudado pelos alunos do Colégio Vera Cruz.

À Direção da PUC-SP e do Colégio Vera Cruz, por autorizar a aplicação da seqüência didática, e ao Professor Roberto Perides Moisés do Colégio Vera Cruz, por ceder suas aulas.

Aos monitores do laboratório de informática do Colégio Vera Cruz, que possibilitaram a realização da seqüência didática naquele local.

Aos alunos da PUC-SP e do Colégio Vera Cruz que participaram das aplicações da seqüência.

Aos alunos do Mestrado, pelo companheirismo e amizade.

À CAPES, pela bolsa de estudos que permitiu total dedicação ao curso de Pós Graduação.

Aos meus pais, pelo apoio, pela compreensão e pelas contribuições para uma melhor apresentação deste trabalho.

ÍNDICE

Índice de Anexos

Anexo I – Questionário aplicado aos alunos Anexo II – Atividades da seqüência didática: Primeira aplicação Anexo III – Atividades da seqüência didática: Segunda aplicação Anexo IV – Gráficos implicativos (CHIC) Anexo V – Gráficos de similaridades (CHIC) Anexo VI – Hierarquia de Implicações (CHIC) Anexo VII – Planos de Chadoc

Introdução

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Procurando diminuir as dificuldades apresentadas acima, desenvolvemos uma seqüência didática, cujo objetivo é apresentar métodos algébricos e geométricos de resolução de equações de terceiro grau, para serem analisados por alunos que finalizaram a terceira série do Ensino Médio ou estão em seu final. Isto porque o estudo de equações de grau n é abordado ao fim dessa série.

A análise dos métodos de resolução de equações cúbicas visa, procurando suas vantagens e desvantagens, escolher um dentre eles que possa ser usado para qualquer equação desse tipo.

Baseamos a construção de nossa seqüência didática, em aspectos teóricos como: dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros de Régine Douady, a transposição didática de Yves Chevallard, os registros de representação de Raymund Duval e o conceito de contrato didático de Guy Brousseau.

Este trabalho compõem-se de seis capítulos. O primeiro trata de nossa fundamentação teórica, sua importância em nosso trabalho e em que aspectos ela pode influenciar nossas decisões ou escolhas.

O Capítulo II – Estudo Histórico, faz um levantamento de métodos de resolução de equações de terceiro grau, desenvolvidos através dos tempos, enfatizando as necessidades que geraram sua descoberta.

No Capítulo III – Transposição Didática, vemos um estudo de livros didáticos, o questionário aplicado aos alunos e sua análise estatística por meio de softwares , que nos ajudam a tratar os dados a fim de observar o comportamento dos alunos frente a equações de terceiro grau.

A Problemática é nosso Capítulo IV, em que escolhemos alguns métodos de resolução a serem usados em nossa seqüência didática para o estudo pelos alunos. Levantamos também as questões a serem respondidas com o estudo deste trabalho.

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O Capítulo V – A Seqüência Didática traz a construção das atividades a serem resolvidas pelos alunos, o relato do experimento, que tem duas fases. A primeira, com 11 atividades, desenvolvendo o método de Omar Khayyam e a fórmula de Cardano, e utilizando também o dispositivo de Briot-Ruffini para resolução de equações cúbicas. Esta primeira fase é estudada com quatro alunos de primeiro ano do curso de Ciência da Computação da PUC-SP.

Após nosso Exame de Qualificação, a seqüência sofre algumas mudanças e é novamente aplicada a alunos de terceira série do Ensino Médio do Colégio Vera Cruz. Desta vez, começamos com 16 duplas, mas apenas 3 duplas terminaram o estudo.

No Capítulo VI – Conclusões, analisamos os dados colhidos, e tentamos responder às nossas questões de pesquisa presentes na Problemática. Por fim, apresentamos a bibliografia estudada para a realização deste trabalho e os anexos.

I. Fundamentação Teórica e Metodologia

1. Fundamentação Teórica

1.1. Introdução...............................................................................................

Descrevemos neste capítulo alguns conceitos da Didática da Matemática Francesa nos quais baseamos nosso trabalho.

Iniciamos com a Transposição Didática de Yves Chevallard, estudando as diversas transformações que um conceito sofre até chegar ao aluno.

Em seguida, vemos a dialética ferramenta-objeto e o jogo de quadros presentes na teoria de Régine Douady, e os registros de representação de Raymond Duval.

Por último, estudamos o conceito de contrato didático e sua importância em sala de aula.

1.2. A Transposição Didática de Yves Chevallard.........................................

O saber pesquisado pelo matemático sofre inúmeras transformações até chegar ao aluno. Ao conjunto destas transformações Chevallard dá o nome de Transposição Didática, que é dividida em diversas etapas, descritas abaixo:

• saber sábio: o conhecimento apresentado à sociedade científica pelo pesquisador, porém, sem expor o processo de desenvolvimento do conceito em questão nem o problema que gerou sua pesquisa;
• objetos a ensinar: os conhecimentos escolhidos (pelo Governo ou órgão responsável) como necessários à formação do jovem;
• saber a ensinar: aquele que o professor escolhe para ensinar aos alunos. Aqui, o conhecimento é adaptado para o nível em que o aluno se encontra e organizado em disciplinas;

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• saber escolar: conjunto de conhecimentos adquiridos pelos alunos após determinado curso;
• saber ensinado: o professor gerencia a aquisição do saber pelo aluno, adaptando os objetos a ensinar, a forma de apresentação do conceito e o tempo de estudo;
• saber disponível: o conhecimento que o aluno já adquiriu e pode ser usado como ferramenta para novas aprendizagens.

O estudo da transposição didática nos permite escolher a abordagem que daremos ao nosso trabalho. Para isso, fazemos um estudo histórico, procurando os métodos desenvolvidos para resolução de equações de terceiro grau; observamos livros didáticos atuais para comparar suas abordagens com a por nós escolhida, e desenvolvemos uma seqüência didática a fim de resolver equações cúbicas geometricamente, o que nos leva à necessidade de ter como base o jogo de quadros de Régine Douady, apresentado a seguir.

1.3. A Teoria de Régine Douady....................................................................

Os componentes teóricos de Régine Douady, a dialética ferramenta- objeto e o jogo de quadros , são importantes para o nosso trabalho.

Um conceito pode ter o estatuto de ferramenta ou de objeto. No primeiro caso, ele é usado para resolver um determinado problema; no segundo, ele é o conhecimento matematicamente reconhecido, definido independente de seu uso.

Uma ferramenta pode ser implícita quando o conceito em uso ainda não está completo; ou explícita, quando um objeto é tomado explicitamente para resolver o problema.

A dialética ferramenta-objeto é um processo de várias fases, pelas quais o aluno precisa passar, para resolver um determinado problema e adquirir um conhecimento. Estas fases são:

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Em nosso trabalho, utilizamos as cônicas primeiro como objetos de estudo, para mais tarde dar a elas o estatuto de ferramentas explícitas que serão usadas na resolução de equações de terceiro grau.

Nossa seqüência tenta seguir as primeiras etapas da dialética ferramenta-objeto, criando situações em que os conhecimentos antigos dos alunos não sejam suficientes para que eles solucionem o problema proposto, o que os leva à mudança de quadro algébrico para geométrico, dando uma nova visão da situação em estudo.

1.4. Os Registros de Representação de Raymond Duval..............................

Raymond Duval introduziu a noção de registro de representação para analisar a influência que a forma com que um objeto se apresenta pode exercer em seu processo de ensino/aprendizagem. Um objeto matemático é representado através de um registro de representação , e sua escolha comanda o tipo de desenvolvimento que se pode dar à resolução de uma tarefa requerida.

O objeto, porém, não deve ser confundido suas diferentes representações, e sim ser reconhecido independentemente delas. A distinção entre registro e objeto pode auxiliar a compreensão da matemática.

Para que um registro seja de representação em um sistema semiótico, ele deve permitir três atividades fundamentais: formação , tratamento e conversão.

A formação é a escolha de um registro a ser usado, de acordo com as regras e dados do problema a ser solucionado. O tratamento é a transformação dessa representação no próprio registro que ela formou. A conversão é a mudança de um registro em outro, conservando totalmente ou apenas uma parte do conteúdo inicial.

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Esta noção de R. Duval é importante em nosso trabalho, ao observarmos não só qual o registro de representação predominante entre os alunos, mas também se este se confunde com o objeto matemático em estudo. Além disso, a conversão de registros é fundamental em nossa seqüência, na medida em que a mudança do quadro algébrico para o geométrico implica mudança do registro equação para o registro gráfico.

1.5. O contrato didático de Guy Brousseau...................................................

Contrato didático (Guy Brousseau – 1982) é um conjunto de regras que determinam o comportamento e as expectativas de alunos e professor em sala de aula. Tais regras são freqüentemente implícitas, mas podem também ocorrer explicitamente.

As resoluções tomadas pelo professor durante a aula, seu comportamento frente às respostas dos alunos quando questionados ou sua maneira de avaliar fazem parte deste conjunto, entre outras coisas.

Por outro lado, as atitudes dos alunos perante o comportamento do professor em relação ao saber ensinado, também se incluem neste contrato.

O contrato didático é importante em nosso trabalho no momento da aplicação da seqüência, onde a presença ou não do professor, a relação dos alunos com ele e com o pesquisador, o tipo de atividade proposta e o ambiente de trabalho são alguns entre diversos fatores que podem influir em seu andamento.

2. Metodologia .....................................................................................................

A meta de nosso trabalho é construir e aplicar uma seqüência didática visando o estudo de algumas formas de resolução de equações de terceiro grau, destacando a idéia do método geométrico sistematizado pelo matemático