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Resolução das Questões Objetivas
Questão 11:
Seja f : R → R dada por
2
f ( ) x = μ x + 10 x + 5 , onde μ ≠ 0.Temos que f ( ) x > 0 para
todo x ∈ R , se e somente se,
i) μ > 0 ;
ii) A equação
2
μ x + 10 x + 5 = 0 não possui solução real.
Para que ii) ocorra, devemos ter:
2
∆ = (10) − 4. μ.5 < 0 , ou seja, 100 < 20 μ, implicando μ > 5.
Portanto f ( ) x > 0 se, e somente, μ ∈]5, +∞ [.
RESPOSTA: B
Questão 12:
Sabemos pela relação fundamental trigonométrica que 2 2
sen ( α) + cos ( α) = 1.
Como
sen( ) 3
α = , segue que
2 (^1 ) cos ( ) 1 3
α
, ou seja,
cos ( ) 1 9 9
α = − =. Logo,
cos( ) 9 3
Do triângulo ABC retângulo em C , temos cos( )
AC
AB
α =. Como AC = 1 , segue que
3 AB
=. Portanto,
AB = =.
RESPOSTA: D
Questão 13:
Denotaremos Gr o grau do polinômio correspondente.
Se Gr A x ( ( )) > Gr B x ( ( )), então Gr S x ( ( )) = Gr A x ( ( ))e Gr D x ( ( )) = Gr A x ( ( )). Logo,
Gr S x ( ( )) = Gr A x ( ( )) = Gr D x ( ( )),
contrariando as condições do enunciado.
Se Gr B x ( ( )) > Gr A x ( ( )), então Gr S x ( ( )) = Gr B x ( ( ))e Gr D x ( ( )) = Gr B x ( ( )). Logo,
Gr S x ( ( )) = Gr B x ( ( )) = Gr D x ( ( )),
contrariando novamente as condições do enunciado.
C
B
A
α
Portanto, conclui-se que Gr A x ( ( )) = Gr B x ( ( )) ≥ Gr S x ( ( )) = 8 (é possível mostrar que
Gr A x ( ( )) = Gr B x ( ( )) = 8 ).
a) Incorreta, pois Gr W x ( ( )) = Gr D x ( ( )) = 5.
b) Correta.
c) Incorreta, pois Gr C x ( ( )) ≥ 16.
d) Incorreta, pois Gr A x ( ( )) ≥ 8.
e) Incorreta, pois Gr B x ( ( )) ≥ 8.
RESPOSTA: B
Questão 14:
Para cada n ∈ IN , considere o intervalo
I (^) n bn
, onde
2 1
b n = + + + ⋯ + n −. Note que bn é a soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica com primeiro termo a 1 (^) = 1 e razão
r =. Sabemos que a soma
dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, com primeiro termo a 1 e razão
r , é dada por (^1)
n r a r
. Logo,
1
n
n bn (^) n n −
^
Queremos encontrar o valor de n para o qual l I ( (^) n ) = 2 , ou seja,
1
l I (^) n bn (^) n −
Assim 1
n −
1 5 2 32 2
n − = = ⇒ n − 1 = 5.
Portanto, n = 6.
RESPOSTA: C
Questão 15:
No retângulo ABCD , M e N são os pontos médios dos
segmentos AD e BC. Logo os segmentos AB , MN e DC
são paralelos. Pelo teorema de Tales:
A
H M N
D C
F^ G
E
B
a) Incorreta. Contra-exemplo: log 10 1 = 0 , enquanto que
0 1 ≠ 10.
b) Incorreta. Contra-exemplo: log 10 (1 + 9) = 1 , enquanto que (log 10 1) (log⋅ 10 9) = 0.
c) Incorreta. Contra-exemplo: 10
log 0 10
, enquanto que
10
10
log 10 1 log 10
d) Correta, pois (pelas propriedades de logaritmo)
log (^) c log ( ) c a ( 1) log (^) c a log ca a
=^ = −^ = −
e) Incorreta. Contra-exemplo: log (8 2 − 4) = 2 , enquanto que
log 2 8 − log 24 = 3 − 2 = 1.
RESPOSTA: D
Questão 18:
Chamemos de p o valor do ingresso vendido para a pista antes do dia do show e de c o
valor do ingresso vendido para o camarote antes do dia do show. Como, antes do dia do
show, foram vendidos 300 ingressos para pista e 200 para camarote, arrecadando-se um
total de R$22.000,00, podemos escrever:
(I) 300 p + 200 c = 22.000, 00.
Como os preços dos ingressos vendidos antes do dia do show tiveram 50% de
desconto, os ingressos vendidos para a pista e camarote, respectivamente, no dia do
show, foram 2 p e 2 c. Como no dia do show foram vendidos 100 ingressos para pista e
200 para camarote, arrecadando-se um total de R$28000,00, podemos escrever:
(II) 100(2 p ) + 200(2 ) c = 28.000, 00.
De (I) e (II) temos o sistema de equações lineares:
p c
p c
que é equivalente ao sistema
p c
p c
Portanto 220 − 3 p = 2 c = 140 − p , de onde obtemos que p = 40.
RESPOSTA: A
Questão 19:
No conjunto
^ −
, os únicos números irracionais gravados
nas bolas são 2 e 3 , enquanto que os demais são números racionais (note que
4 = 2 ). A probabilidade P racional ( ) de se retirar desta urna, ao acaso, uma bola em
que está gravado um número racional é:
quantidade de elementos racionais P quantidade total de elementos
RESPOSTA: E
Questão 20:
Considere as motocicletas 1, 2 e 3, em que m 1 (^) , m 2 e m 3 são, respectivamente, os
lugares ocupados pelos pilotos das motocicletas 1, 2 e 3. Considere também c 1 (^) , c 2 e c 3
os lugares ocupados pelos caronas das motocicletas 1, 2 e 3, respectivamente.
Motocicleta 1
Motocicleta 2
Motocicleta 3
De acordo com as condições do problema, temos que existem 4 possibilidades de
escolha para m 1 , 3 possibilidades de escolha para m 2 e 2 possibilidades de escolha para
m 3. Para cada escolha dos pilotos (para as três motocicletas), existem 3 possibilidades
de escolha para c 1 , 2 possibilidades de escolha para c 2 e 1 possibilidade de escolha para
c 3. Pelo princípio multiplicativo, temos que o número de maneiras distintas que esses
amigos podem se dispor nas motocicletas para realizar a viagem é:
4 x 3 x 2 x 3 x 2 x 1 = 144.
RESPOSTA: D
m 1 c 1
2
m 2
c
3
m 3
c
