Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Prova de Matemática, do Enade 2008, comentada pelo professor Alzir Fourny Marinhos.
Tipologia: Provas
1 / 48
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-
Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Estamos apresentando a prova do ENADE aplicada em 2008 para os cursos de Licenciatura em Matemática.
Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2011.
Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela nota 3,0 do ENADE 2008. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo.
O primeiro passo é entender os componentes da prova, pois esta prova avalia os cursos de Licenciatura e Bacharelado.
A prova contém oito questões de múltipla escolha e duas discursivas avaliando a formação geral, comuns para os Cursos de Licenciatura e Bacharelado.
A prova contém dezessete questões de múltipla escolha e duas questões discursivas avaliando componentes específicos de Matemática comuns para Licenciatura e Bacharelado.
A prova contém dez questões de múltipla escolha e uma questão discursiva avaliando componentes específicos de Matemática para a Licenciatura.
O segundo passo é resolver a prova iniciando pela parte de conteúdos matemáticos. Exige mais e no início da prova estamos menos desgastados. Devemos, também, em outro momento, resolver as questões de formação geral.
Podemos começar pelas questões de múltipla escolha comuns à Licenciatura e Bacharelado ou pelas questões específicas de Licenciatura. Neste momento é você que escolhe! Mas, não se prenda em questões em que não esteja seguro ou que, ao iniciar a resolução, se envolva em dificuldades.
As questões discursivas devem ser resolvidas, mesmo de forma incompleta. Nestas resoluções existem pontuações variadas conforme seu empenho nos desenvolvimentos.
Existem nove questões sobre a percepção da prova sem nenhum peso para a nota.
Resolvemos e digitamos somente as questões de conteúdos específicos de Matemática.
Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis erros que por ventura tenhamos cometido.
Dedico este trabalho aos alunos concluintes 2011 do Curso de Licenciatura em Matemática das Faculdades Integradas Campo-Grandenses.
Alzir Fourny Marinhos
E-mail: fourny@uol.com.br
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Para determinarmos a altura da bola (y) ao atingir o gol devemos substituir na função
Então temos y =
Resposta :
Questão 12
Veja que a equação da circunferência é x^2 + y^2 + y = 0 e da parábola é x^2 – y – 1 = 0.
Para a circunferência temos x^2 + y^2 – 2xcx – 2ycy + xc^2 + yc^2 – r^2 = 0.
Daí -2xc = 0 e xc = 0; - 2yc= 1 e yc = -
Para determinar o raio:
A parábola tem a cara y = x^2 – 1.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Veja as representações da parábola e circunferência:
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6. −1.
Item a - Veja que a reta de equação y = -1 é paralela ao eixo x, tangente ao vértice da parábola, perpendicular ao eixo y e por consequência tangente à circunferência (que tem centro de abscissa zero). Podemos ver também substituindo y = -1 nas equações da circunferência e parábola e encontrando x = 0. A solução comum x = 0 e y = -1 ou o ponto (0, -1) determina a solução do sistema formado pelas três equações: reta, circunferência e parábola. Determina o ponto de intersecção entre esses gráficos. Determina que a reta de equação y = -1 é tangente à circunferência e à parábola.
Item b- Para saber os pontos de intersecção entre as curvas devemos fazer a resolução do sistema:
x^2 = y + 1 e x^2 + y^2 + y = 0.
Logo temos y + 1 + y^2 + y = 0 ; y^2 + 2y + 1 = 0, que tem duas raízes iguais y = -1.
Logo para y = -1 temos x = 0 (veja em x^2 = y + 1).
Então o ponto em comum entre as curvas é somente o ponto (0 , -1).
Item c- Veja que toda reta que passa pelo centro da circunferência intercepta a parábola.
Item e - A parábola tem concavidade para cima.
Resposta: A reta de equação y = -1 é tangente à circunferência e à parábola.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Questão 14:
Veja que a reta que passa por (0,0) e (2,1) tem como equação y =
Veja que a reta que passa por (0,0) e (1,2) tem como equação y = 2x.
Veja a equação da reta que passa por (1,2) e (2,1):
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
e y = - x + 3.
A representação do plano definido entre as retas é dada pelo sistema de inequações:
Em y = 2x temos y < 2x.
Em y =
temos y >
Em y = -x + 3 temos y < -x + 3.
Logo:
y – 2x < 0.
y -
0 ou 2y – x > 0.
y < -x +3 ou y + x < 3.
Resposta: y – 2x < 0;
2y – x > 0;
y + x < 3.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Logo o ângulo T do triângulo PTQ é reto em T e os outros ângulos P e Q são de 45 0 , pois PT e TQ são congruentes, formando um triângulo retângulo isósceles.
Logo o triângulo PQD é obtusângulo (ângulo em Q obtuso) mas o triângulo PTQ não é eqüilátero, é isósceles.
RESPOSTA : A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
Questão 16:
Para estudarmos o intervalo que a função é crescente devemos usar o conceito de derivada.
No intervalo em que a função primeira derivada g ’^ (t) for positiva determina que a função g(t) é crescente neste intervalo; no intervalo em que a função primeira derivada g ’^ (t) for negativa determina que a função g(t) é decrescente neste intervalo.
Derivando g(t) temos g ’^ (t) = (^4)
2
2
Estudando os sinais da primeira derivada g ’^ (t) = (^4)
2
Fazendo f(t) = - 10 t^2 + 10 e h(t) = (t + 1 ) 4.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
-1 0 +1 Valores para t.
f(t) - + + - f(t) = - 10 t^2 +
h(t) + + + + h(t) = (t+1)^4
g ‘^ (t) - + + - g ‘^ (t) = (^4)
2
Temos que considerar t positivo e g ‘^ (t) positivo. Veja que não podemos considerar
para t = 0, g ’^ ( t) é positiva, e para t = 1 temos g ’^ (t) = 0 (não positiva).
Questão 17:
i = π+^ π= +
π
ei^34 π =cos^3 π+ isen^ π =− + i
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Questão 18
a) Não há divisores de zero.
b) Todo elemento não nulo é inversível.
Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero.
Veja exemplos:
Exemplos:
c) O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R.
Verdadeiro, pois o subconjunto dos inversíveis é o próprio Z 12 , que é anel, logo, subanel (por ser subconjunto).
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
d) A multiplicação não é comutativa.
Falso. Veja que Z 12 na multiplicação é comutativo.
Exemplo:
e) Há exatamente 4 elementos inversíveis.
Falso, pois todos os elementos são inversíveis, inclusive o zero.
RESPOSTA : O subconjunto dos elementos inversíveis forma um subanel de R.
Questão 19
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Questão 20
a) o número π pertence ao conjunto C 1.
1 (racional) + racional é racional, logo π (irracional) não pertence ao conjunto C 1.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
d) os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais.
Vamos ver:
3 + r 1 = 1/3 + r 2 ou r 1 = r 2 – 8/3.
e) o número zero pertence ao conjunto C π e C - π.
O número zero não pertence aos conjuntos pois não podemos ter π - π ou - π + π , já que a segunda parcela tem de ser racional.
RESPOSTA: Os conjuntos C 3 e C (^) 1/3 são iguais.
Questão 21
O polinômio P(x) = x^3 – 3x^2 + kx + m é múltiplo de Q(x) = x^2 - 4.
O polinômio é divisível por x^2 - 4. Então é divisível por (x-2) (x+2). Então é divisível por (x-2) e (x+2).
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
a) A transformação T(x,y) = (- x,y) é uma reflexão em torno do eixo y. A transformação dada faz reflexão em torno do eixo x e é dada por T(x, y) = ( x, - y).
c) T(2,0) = (2,0) e 1 (2,0 ) = (2,0). Como T(2, 0) = 1 (2,0), vetores paralelos, temos (2,0) com autovalor 1.
d) Tem autovalor de multiplicidade 2?
Veja que T(x.y) = k (x,y) = (x, -y). Autovalor 1 para autovetores (x, 0). Apenas 1 como autovalor. Não há autovalor de multiplicidade 2.
e) Uma transformação linear é inversível se for bijetora.
Veja que:
T( x, y ) = (x, - y) de R^2 em R 2 é sobrejetora pois para (x, y) no contradomínio R 2 teremos sempre (x, - y) no domínio R^2. Logo a transformação é bijetora. Logo tem inversa.
CRÍTICA À QUESTÃO:
O INEP coloca como resposta que a transformação não é inversível. Descordamos da resposta.
RESPOSTA: Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1.
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408- Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
Questão 23
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 4
3x + 3y + 4z = 5
Este sistema é impossível.
Veja por escalonamento:
Multiplicando a primeira equação por -2 temos -2x – 2y – 2z = -2.
-2x – 2y – 2z = -
2x + 2y + 2z = 4
3x + 3y + 4z = 5
