Baixe Teorema do Valor Médio e Teorema de Rolle: Exercícios Resolvidos e Aplicações e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
5.10 – EXERCÍCIO – pg. 215
1. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica.
Em caso afirmativo, achar um número c em (a, b), tal que
(c) b a
f a f a f =
a) ; 2,b 3
(x) = a = = x
f
A função x
f x
( )= é contínua em [ 2 , 3 ].
A função x
f x
( )= é derivável em ( 2 , 3 ), pois o x
f x x f x
x (^) ∆
∆ →
lim 0
existe para todo x
no intervalo ( 2 , 3 ).
Temos, 2
x
f x
2
2
2
2
ab b a
b a
c
ab b a
a b
c
b a
ab
a b
c
b a
b a
c
f c
2
2
c
c
c ab
c ab
c ab
Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c,
representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)),
representada na cor verde.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x
f (x)
b) ; 1 , 3.
( )= a =− b = x
f x
Não se aplica o Teorema, pois a função não é contínua em [− 1 , 3 ].
c) (x) ; 0 , 4.
3 f = x a = b =
A função é derivável em ( 0 , 4 )e contínua em [ 0 , 4 ], pois f é do tipo polinomial.
⇒ ∃c tal que:
3 3 2
3 3 2 ∴ = = −
′ = = c c b a
b a f c c.
Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c,
representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)),
representada na cor verde.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f (x)
e) f (x)= cosx; a =0,b= π/2.
A função f é contínua em
e é derivável em. 2
Assim,
cos 0 2
cos
( )
c arc sen
senc
f c senc
Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c,
representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)),
representada na cor verde.
π/
1
x
f (x)
f) f ( x )= tgx ; a = π / 4 , b = 3 π/ 4.
A função f ( x )= tgx não é contínua em
π π
. Portanto, não se aplica o
teorema.
g) f (x)= tgx; a =0,b= π/ 4.
A função f ( x )= tgx é contínua em
π e é derivável em (^)
π
. Assim,
sec
sec
sec
sec
( ) sec
2 2
2
π
π
π π
π
π
c arc
c
c c
tg tg
f c c
Interpretação geométrica: A figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c,
representada pela cor azul, é paralela à reta secante que passa nos pontos (a, f(a)) e (b,f(b)),
representada na cor verde.
-1 1
1
x
f (x)
i) (x) x; -1,b 1.
3 f = a = =
A função é contínua em [− 1 , 1 ]mas não é derivável em (− 1 , 1 ). Assim, não se aplica
o teorema.
j) f (x) =| x|; a =-1,b= 1
A função é contínua em [− 1 , 1 ], mas não é derivável em (− 1 , 1 ), porque não é
derivável em x = 0.
lim 0
lim
lim 0
lim
0 0
0 0 f
x
x
x
f x f
x
x
x
f x f
x x
x x ⇒∃/ ′
− −
→ →
→ →
Assim, não se aplica o Teorema.
- A função (x) x - 1
2/ f = é tal que f ( x ) = f (-1) = f (1)= 0. Por que ela não verifica o
Teorema de Rolle no intervalo[-1,1]?
1 / (^33)
2 / 3 3 2
f x x x
f x x x
−
A função f não é derivável no intervalo [-1,1], pois não é derivável em 0.
→ +^ →+ → 0 +^3
3 2
0
3 2 3 2
0
lim lim 0
lim x x
x
x
x
x x x
- Seja ( ) 8 9
4 2 f x = − x + x +. Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de
Rolle no intervalo [-3,3] e determinar os valores de c ∈(− 3 , 3 )que satisfaçam f ′( c )= 0.
A função f é função polinomial, portanto é contínua e derivável em qualquer
intervalo.
Em particular é contínua em [-3,3] e derivável em (− 3 , 3 ).
f f c f c
f f f
f
0 ou 4 16 0
2
3
3
c c
c c
f x x x
⇒ c = 0 , − 2 ,+ 2.
A figura que segue ilustra a situação apresentada.
, ∈ R
Analogamente, mostra-se para θ > α. Se θ = α é trivial.
b) sen θ≤ θ, θ≥0.
Seja f ( x )= senx − x. f é continua em [ 0 , θ ], θ> 0.
f é derivável em ( 0 ,^ θ),^ θ> 0
(cos 1 )
sen c
f f f c
f f f c
c
(cos 1 ) 0
cos 0 cos 1 0
c
c c
⇒ sen θ − θ< 0 ⇒ sen θ<θ
(cos 1 ) 0
0 cos 1 cos 1 0
c
c c
⇒ sen θ − θ< 0 ⇒ sen θ<θ
(cos 1 ) 0
1 cos 0 cos 1 0
c
c c
⇒ sen θ − θ< 0 ⇒ sen θ<θ
Para θ = 0 temos sen θ= 0. Portanto a desigualdade é satisfeita.
- Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
a) y =3x+ 4
y
y
Portanto, não admite ponto crítico.
b) y x -3x 8
2 = +
x x x
y x
c)
2 y = 2 +2x- x
x x x
y x
d) y =(x-2)(x+4)
x x x
y x
e)
3 y = 3 - x
2 2
2
x x x
y x
f) y x 2x 5x 3
3 2 = + + +
2
2
x
x x
y x x
⇒ ∃/ no ponto crítico.
g)
4 3 y =x +4x
ln 0
ln 0
ln ln 1
x
x e
e
e
e
e
y e
x
x
x
x
x
x
l)
2 2/
y = (x - 9)
3 x - 9
3 x - 9
(x -9). 2 3
1 3 2
3 2
2 - 1/
x x
x
x y
y x
Além disso, nos pontos x 2 (^) = 3 e x 3 − 3 não existe a derivada.
Pontos críticos: x 1 = 0 , x 2 = 3 e x 3 − 3
m) 4
x 2 −
x
y
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
x
x
x x
x
x
x
x
x x y
x
x x x y
Não existem pontos críticos.
n) y =|2x- 3 |
x se x
x se x
y
se x
se x
y
Para 2
x = a derivada não existe 2
⇒ x = é um ponto crítico.
o)
x, 0
x,x 0 (x) 2 x
f
x x
x f x
f ′(^ x )não está definida para x = 0 ⇒ x = 0 é ponto crítico.
- Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são
crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.
a) f ( x ) = 2x - 1
f ′(x) = 2 > 0 para todo x. A função é crescente ( −∞,+∞)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
x
f (x)
2
1
2
2
x
x
x x
f x x x
A função é crescente em
[ , 2 ].
A função é decrescente em
2 , é decrescente.
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
f (x)
e) f (x) =(x-1)(x-2)(x+3)
(x) 3 x - 7
(x) x -7x 6
2
2
3
x
x
f
f
A função é crescente em
A função é decrescente em (^)
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
f (x)
f) sen x 2
x f (x) = +
cosx -
cosx 0 2
cosx 2
(x)
f ′ = +
π
π π
π π π π π n 2 n 3
L L , neste intervalo 2
cos x <−
==> decrescente
π
π π
π π π π π n 2 n 3
L L , neste intervalo 2
cos x >− ==>
crescente
-2 -1 1 2 3 4
1
2
x
f (x)
i)
x f x xe
− ( ) =
x
x x
x x
x x
e
x
e e
x
xe e
f x x e e
− −
− −
x
x
x
e
x x
A função é crescente em (−∞, 1 ]e em [ 1 ,+∞) é decrescente.
-2 -1 1 2 3 4
1
2
x
f (x)
j) x- 1
x (x)
2
f =
2
2
2
2 2
2
2
x
x x
x
x x x
x
x x x f x
2
2
x x
x x x
x x
A função é crescente em (−∞, 0 ]e [ 2 ,+∞) e é decrescente em [ 0 , 1 ]∪ [ 1 , 2 ].
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f (x)
k) x
f
(x) =x+
2 2
2
2
2
2
x x x x
x
x
x
x
f x
A função é decrescente em [ − 1 , 0 ]∪[ 0 , 1 ]e é crescente em ( −∞, − 1 ]∪[ 1 ,+∞).
