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Rendas Aleatórias, Notas de estudo de Matemática

Apostila sobre Matemática Atuarial

Tipologia: Notas de estudo

2010

Compartilhado em 31/03/2010

fernanda-mendes-15
fernanda-mendes-15 🇧🇷

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UNIDADE II
I. RENDAS ALEATÓRIAS
E CÁLCULO DE PRÊMIOS COM PAGAMENTO À VISTA
Renda é o valor monetário, cujo pagamento é continuado por um prazo certo
ou vitalício, e a periodicidade pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Esse valor
é pago ao segurado pela Seguradora.
Prêmio é o valor pago periodicamente pelo segurado à Seguradora, para
fazer jus ao valor da renda.
De acordo com as situações previstas anteriormente, as renda de que
trataremos serão relacionadas somente com pessoas ativas.
Quais são os principais tipos de rendas?
Renda Aleatória Imediata Antecipada Vitalícia
Renda Aleatória Imediata Postecipada Vitalícia
Renda Aleatória Imediata Antecipada Temporária
Renda Aleatória Imediata Postecipada Temporária
Renda Aleatória Diferida Antecipada Vitalícia
Renda Aleatória Diferida Postecipada Vitalícia
Renda Aleatória Diferida Antecipada Temporária
Renda Aleatória Diferida Postecipada Temporária
Renda aleatória é aquela cujos os valores somente serão pagos em caso
de sobrevivência do segurado, e a ocorrência do falecimento do mesmo é um
evento não programado.
Renda aleatória imediata é aquela renda em que o segurado paga um
prêmio único, ou seja efetua o pagamento à vista do prêmio e começa a
receber o valor da renda.
Renda aleatória diferida é aquela renda em que o segurado paga o
prêmio e somente começa a receber, o valor da mesma, a partir de um
determinado período. Esse período entre a contratação da renda e o início do
recebimento é conhecido como diferimento.
Como elas podem ser compradas?
Elas poderão ser compradas à vista, com pagamento do PRÊMIO
ÚNICO; ou
A prazo, com pagamentos de PRÊMIOS PARCELADOS.
Estaremos estudando as rendas considerando que todas elas
inicialmente serão pagas à vista, ou seja, a PRÊMIO ÚNICO Puros, porque
não trataremos de carregamento (taxa de administração, corretagem, etc.); ou
quanto o segurado deverá pagar, de uma só vez ou por determinado período,
para fazer jus a uma renda imediata ou diferida.
Ressaltamos que essa modalidade não é a mais usada no mercado brasileiro,
e só a utilizaremos para tornar a abordagem mais didática.
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UNIDADE II

I. RENDAS ALEATÓRIAS

E CÁLCULO DE PRÊMIOS COM PAGAMENTO À VISTA

Renda é o valor monetário, cujo pagamento é continuado por um prazo certo

ou vitalício, e a periodicidade pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Esse valor

é pago ao segurado pela Seguradora.

Prêmio é o valor pago periodicamente pelo segurado à Seguradora, para

fazer jus ao valor da renda.

De acordo com as situações previstas anteriormente, as renda de que

trataremos serão relacionadas somente com pessoas ativas.

Quais são os principais tipos de rendas?

• Renda Aleatória Imediata Antecipada Vitalícia

• Renda Aleatória Imediata Postecipada Vitalícia

• Renda Aleatória Imediata Antecipada Temporária

• Renda Aleatória Imediata Postecipada Temporária

• Renda Aleatória Diferida Antecipada Vitalícia

• Renda Aleatória Diferida Postecipada Vitalícia

• Renda Aleatória Diferida Antecipada Temporária

• Renda Aleatória Diferida Postecipada Temporária

Renda aleatória é aquela cujos os valores somente serão pagos em caso

de sobrevivência do segurado, e a ocorrência do falecimento do mesmo é um

evento não programado.

Renda aleatória imediata é aquela renda em que o segurado paga um

prêmio único, ou seja efetua o pagamento à vista do prêmio e já começa a

receber o valor da renda.

Renda aleatória diferida é aquela renda em que o segurado paga o

prêmio e somente começa a receber, o valor da mesma, a partir de um

determinado período. Esse período entre a contratação da renda e o início do

recebimento é conhecido como diferimento.

Como elas podem ser compradas?

• Elas poderão ser compradas à vista, com pagamento do PRÊMIO

ÚNICO; ou

• A prazo, com pagamentos de PRÊMIOS PARCELADOS.

Estaremos estudando as rendas considerando que todas elas

inicialmente serão pagas à vista, ou seja, a PRÊMIO ÚNICO Puros , porque

não trataremos de carregamento (taxa de administração, corretagem, etc.); ou

quanto o segurado deverá pagar, de uma só vez ou por determinado período,

para fazer jus a uma renda imediata ou diferida.

Ressaltamos que essa modalidade não é a mais usada no mercado brasileiro,

e só a utilizaremos para tornar a abordagem mais didática.

Qualquer que seja o plano de seguro, o prêmio anual é facilmente obtido

partindo da equação de equivalência das obrigações futuras do segurado e da

empresa.

Obrigação do segurado = Obrigação da Empresa

Valor atual das obrigações do segurado = valor atual dos benefícios futuros

assegurado

1. Renda Aleatória Imediata Antecipada Vitalícia

Renda anual, paga no início do período, por toda a vida

No ramo de previdência privada a obrigação da empresa é equivalente à

obrigação do segurado, ou seja para determinarmos o quanto o segurado

deverá pagar de uma só vez (prêmio único), precisamos identificar qual é o

valor presente das obrigações futuras da empresa em pagar-lhe

periodicamente o valor da renda.

Assim, o nosso objetivo imediato é determinar o V alor A tual das rendas futuras

que serão pagas ao segurado. Para efeito de desenvolvimento didático

trabalharemos com período anual.

Além disso consideraremos que será paga uma renda de R$1,00 a cada ano,

pois, para qualquer outro valor de renda, bastará multiplicar o valor da

anuidade encontrada pelo novo valor de renda desejado e estaremos

determinando o valor do prêmio único para aquela renda específica.

É o mesmo que se dizer, como em matemática financeira, que o nosso objetivo

é determinar o “valor atual” (que passaremos a designar por A), em uma época

zero, das anuidades unitárias que serão pagas enquanto as pessoas que as

recebe estiver viva.

Isso pode ser visualizado, facilmente, no seguinte diagrama:

Renda 1 1 1 1 1 1 1

____I____I____I____I_________________I____I____I até o final da tábua

tempo 0 1 2 3 n-1 n n+

Se fosse uma renda certa com pagamento indefinidamente, o “valor atual”, na

época zero, seria expresso pela seguinte igualdade:

VA = v^0 + v 1 + v 2 + v^3 + v^4 + ... + vn-1^ + v n^ + v n+1^ + ....

Onde v x^ = (1+i) –X^ é o fator de desconto à taxa i de juros compostos.

(caso você sinta necessidade deverá rever o conceito básico de séries uniformes, de forma mais profunda em um livro de matemática financeira)

Acontece porém que, no caso de renda aleatória, o pagamento de cada

anuidade só se realiza se as pessoas que a recebe estiver viva. Isto é, a

probabilidade de cada pagamento é a probabilidade da pessoa estar viva.

Assim, o problema passa a ter um outro enunciado: valor atual das anuidades

pagáveis a pessoa que, na época zero, tem idade x.

E, levando-se em conta as probabilidades dessa pessoa sobreviver nos anos

subsequentes o valor atual procurado, que designaremos por ä x, será

expresso por:

Para simplificar, designaremos por :

w-x

Nx = ∑ D x+t ; onde w é a maior idade da tábua,

t =

  • Construa os Dx e Nx usando a tabela abaixo e taxa de juros de 4% ano.

X lx D x = lx.(1+i)^-x Nx = soma Dx

25 9.570.

35 9.380.

45 9.260.

55 9.140.

Portanto, poderemos calcular todas as rendas de forma mais rápida,

através de comutações, ou seja fórmulas simplificadas.

Se N x = Dx+0 + Dx+1 + Dx+2 + Dx+3 + ... + D x+(w-x) então

äx = ( D x+0 + Dx+1 + Dx+2 + Dx+3 + ... + D x+(w-x) ) / D x => ä x = N x / Dx

Cálculo por Comutação para Renda Aleatória imediata

antecipada vitalícia :

anual ⇒ ä x = Nx / Dx

mensal ⇒ ä x(12)^ ≅ [ äx – 11/24 ]

para qualquer período r ⇒ ä x(r)^ ≅ [ äx – (r-1)/(2r) ]

Exercício:

1) Uma pessoa com 55 anos compra uma renda anual de R$20.000,00, com

recebimento no início de cada ano, enquanto viver. Calcule o valor do

prêmio único que ele deverá pagar à seguradora para obter este produto.

Use AT-2000 e i = 4% ao ano.

2) Uma pessoa, com 60 anos de idade, acumulou ao longo da vida

R$200.000,00 e deseja utilizar essa soma para pagar à vista por uma renda

com as seguintes características: receber de forma antecipada, por toda a

sua vida. Calcule o valor anual da renda que ele receberá. Use AT-2000 e i

= 6% ao ano.

AT-2000 Masculina 4% 6% Idade do partici pante

lx = número

homens vivos

dx = nº

óbitos

q x =

probab morte

p x =

probab de vida

eºx =

expectativa de vida

Dx = lx. (1+i)^-x

N (^) x = soma Dx D (^) x = lx.(1+i)^-x

N (^) x = soma D