MA111 - Cálculo I
Aula 9 - Regra da Cadeia.
Derivada de Funções Trigonométricas.
Marcos Eduardo Valle
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Regra da Cadeia. Derivada de Funções Trigonométricas., Notas de aula de Cálculo
funções f e g, ou seja, qual a derivada de ... Suponha que y = f(x) e z = g(y) e ambas derivadas f (x) e g (y) existam. ... 2 cos(x + h.
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 22
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MA111 - Cálculo I
Aula 9 - Regra da Cadeia.
Derivada de Funções Trigonométricas.
Marcos Eduardo Valle
Motivação para a Regra da Cadeia
Sabemos que
d dx
[
x^2
]
= 2 x e d dx
[ex^ ] = ex^.
Como derivar d dx
[
ex
2 ]
No caso geral, como derivar a composta φ = g ◦ f de duas funções f e g, ou seja, qual a derivada de
φ(x) = (g ◦ f )(x) = g
f (x)
- Exemplo
- Calcule a derivada da função φ(x) = ex
Exemplo 2
Calcule a derivada da função φ(x) = ex^2.
Resposta: Tomando y = f (x) = x^2 e z = g(y) = ey^ , pela regra da cadeia temos que a derivada de z = φ(x) é
φ′(x) = g′(y)f ′(x) = ey^ ( 2 x) = 2 xex^2.
Limite Fundamental
Teorema 3 (Limite Fundamental)
lim x→ 0
sen x x
Mostra-se aplicando o Teorema do Confronto na desigualdade
cos x < senx x < (^) cos^1 x , ∀x 6 = 0 , x ∈
− π 2 , π 2
Derivada da Função Seno
Sabemos que
sen(a + b) − sen(a − b) = 2 cos a sen b.
Identificando a + b = x + h e a − b = x, ou seja, a = x + h 2 e b = h 2 , obtemos da definição de derivada como um limite que
d dx
[sen x] = lim h→ 0
sen(x + h) − sen(x) h
= (^) hlim→ 0
2 cos(x + h 2 ) sen( h 2 ) h
= (^) hlim→ 0 cos
x +
h 2
sen( h 2 ) ( (^) h 2
= cos(x).
Derivada da Função Tangente
Pela regra do quociente, temos que
d dx
[tan x] = d dx
[ (^) sen x cos x
]
cos x (^) dxd [sen x] − sen x (^) dxd [cos x] cos^2 x = cos^ x^ cos^ x^ +^ sen^ x^ sen^ x cos^2 x = 1 cos^2 x
= sec^2 x.
Derivada das Funções Trigonométricas:
Resumindo, as derivadas das funções trigonométricas satisfazem:
- d dx
[sen x] = cos x,
- d dx [cos^ x] =^ −^ sen^ x,
- d dx [tan^ x] =^ sec
(^2) x,
- d dx
[sec x] = sec x tan x.
Exemplos
Exemplo 4
Calcule o limite
xlim→ 0
sen( 7 x) 4 x
Resposta:
x^ lim→ 0
sen( 7 x) 4 x =^
Exemplos
Exemplo 5
Calcule lim x→ 0
xcotgx.
Lembre-se que
cotgx =
cos x sen x.
Exemplos
Exemplo 6
Derive a função F (x) =
x^2 + 1.
Exemplos
Exemplo 6
Derive a função F (x) =
x^2 + 1.
Resposta:
F ′(x) =
x √ x^2 + 1
Exemplos
Exemplo 7
Derive as funções
y = sen(x^2 ) e z = sen^2 x.
Resposta:
y′^ = 2 x cos(x^2 ) e z′^ = 2 sen x cos x.
Exemplos
Exemplo 8
Derive a função f (x) = sen
cos(tan x)