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UNIP 2021 Matemática Financeira
Prof. Alexandre Wander
UNIP
PRIMEIRO SEMESTRE 2021
MATEMÁTICA FINANCEIRA
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Prof. Alexandre Wander
Matemática Financeira
O estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.
Objetivo básico é o de efetuar análise e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro do caixa, em diferentes momentos.
Importância da disciplina: Estuda o comportamento do dinheiro em suas aplicações e origens, visando reduzir custos e potencializar resultados.
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Capitalização Simples (linear) Capitalização Composta (exponencial)
Os modelos de Capitalização
Retomando o conceito: Capitalização: Mecanismo da acumulação dos juros em relação ao capital inicialmente empregado.
SIMPLES x COMPOSTO
50,
100,
150,
200,
250,
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
PERÍODO
FV (MONTANTE)
Juros incidem unicamente sobre o capital inicialmente aplicado ou alocado
Vamos lá ao nosso primeiro modelo de estudo: Capitalização Simples (linear)
Encontra ampla aplicação prática em operações financeiras de curto prazo
O regime de capitalização simples comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo. Nesse critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação (aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados.
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Facilitando a nossa vida: Conhecendo as fórmulas dos juros simples
Onde: J = valor dos juros C = Capital inicial (principal) i = taxa de juros n = prazo
Juros simples: O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão: J = C x i x n
Qual o juro de um capital no valor de R$ 100,00 a uma taxa mensal de 10% ao período de 4 meses? J = 100,00 x 0,10 x 4 = J = 40,
Vamos elaborar “nossas” fórmulas derivadas: Se: J = C x i x n
Então:
i xn
C J
C xn
i J
C xi
n J
C = J / (i x n) C = 40,00 / (0,10 x 4) C = 100,
n = J / (C x i) n = 40,00 / (100,00 x 0,10) n = 4
J = 100 x 0,10 x 4 = 40,
i = j / (C x n) i = 40,00 / (100,00 x 4) i = 0, i = 10%
Isolando C Isolando i Isolando n
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Uma nova fórmula: a do Montante
Se Montante = Capital + juros Fórmula do Montante (M): M = C + J M = C + (C x i x n)
M = C x (1+ i x n) Fator de capitalização
C = M / (1+ i x n) Fator de atualização (regressão)
Isto nada mais é do que uma equivalência Financeira. Onde o valor presente de um capital corresponde a um valor futuro de capital (Montante)
Exemplos de EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA aplicadas a juros simples O problema básico da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira. Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum. Exemplo 1: Certificar se R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam, R$ 120,00 dentro de um ano, ou os R$ 120,00, do final do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje. Ou seja,, ambos os capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano, resultados idênticos. FAC 1,
1,200FRC
M = 100,00 * (1 + 0,20 x 1)^ M = C * (1 + i x n)
C = 120,00 / (1 + 0,20 x 1) C = M / (1 + i x n)
Produtoda R$100,00 R$120, empresa
Financiamento Bancário
Neste pensamento o produto que irá ter uma margem operacional de 20%, suficiente para cobrir as despesas financeiras (juros)
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Antes vamos falar sobre: As fórmulas das taxas em relação ao tempo Antes de iniciarmos nossos exercícios é importante verificar se que o tempo (n) e a taxa (i) estão na mesma unidade de medida: taxa mensal com tempo mensal, tempo anual com taxa anual, taxa diária com tempo diário. Como a capitalização é linear basta dividir o tempo existente ao tempo requerido. Por exemplo: Na capitalização simples para converter uma taxa semestral para a taxa mensal dividir por 6 e para converter uma taxa mensal a uma taxa trimestral multiplicar por 3. Exemplo de conversão das taxas: 10,3826% a.s; (/) 6 = 1,730433% a.m ; (x) 3 = 5,19113% a.t (são taxas equivalentes) e linear, por este motivo “juros simples” J = C x i x n
- J = 100,00 x 0,103826 x 1 = R$ 10,38: portanto M = R$ 110,
- J = R$ 100,00 x 0,017304 x 6 = R$ 10,38: portanto, M = R$ 110,
- J = R$ 100,00 x 0,0519113 x 3 = R$ 10,38: portanto, M = R$ 110, Em outras palavras, o resultado significa que é indiferente a um investidor aplicar o mesmo capital a taxa de 10,3826% a.s; 1,730433% a.m ou 5.19113 a.t Outro exemplo:12% ao ano = 1% ao mês = 4% ao trimestre = 3% ao quadrimestre
Fórmula do Montante (M): M = C x [1+ i x n]
Case 01: Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros e o montante acumulados neste período.
Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n
Dados: C = R$ 80.000, im = 2,5% ou 0,025 mensal n = 1TRI = 3 meses
J = 80.000,00 x 0,025 x 3 J = 6.000,
M = 80.000,00 + 6.000, M = 86.000,
M = 80.000,00 x [1+ 0,025 x 3]
M = 80.000,00 x [1+ 0,025 x 3] M = 80.000,00 x [1,075]
M = 86.000,
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Case 2: Determinar o montante (M) e os juros (J) de uma aplicação de $ 150.000,00 efetuada pelo prazo de oito meses à taxa de juros simples de 26,4% a.a.
Dados C = $ 150.000, n = 8 meses ia = 26,4% / 12 meses = 2,2% a.m.
Fórmula do Montante
M = C [1 + i x n] M = $ 150.000,00 [1+ 0,022 x 8] M = $ 176.400,
Juros: J = M – C
J = $ 176.400,00 - $ 150.000,
J = $ 26.400,
Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n
J = 150.000,00 x 0,022 x 8 J = 26.400,
Case 3: Qual a taxa de juros cujo capital de $590,00, aplicados durante 14 meses, produz juros de $371,70?
Dados C = $ 590, n = 14 meses Juros = R$ 371, i = ???????
Fórmula original: C. i. n
Fórmula derivada
Juros
C. n
i =
i = 4,50%
i =
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Case 6: Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos.
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Educacional Matemática financeira
BIBLIOGRAFIA
Parte I – Fundamentos de Administração Financeira ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 7. Ed. São Paulo: Atlas, 2002. ASSAF NETO. Mercado financeiro. 4. Ed. São Paulo: Atlas, 2002. BODIE, Zvi; MERTON, Robert C. Finanças. Porto Alegre: Bookman, 1999. CHEW, Donald H. The new corporate finance. 2. Ed. New York: McGraw-Hill,
CNBV – COMISSÃO NACIONAL DE BOLSA DE VALORES. Mercado de capitais. Rio de Janeiro: Campus: CNBV, 2001. PORTERFIELD, James T. S. Decisões de investimento e custo de capital. São Paulo: Atlas, 1976. (Série Fundamentos de Finanças.) SOLOMON, Ezra. Teoria da administração financeira. 3. Ed. São Paulo: Zahar,
