Baixe Introdução à Resolução de Equações Involvendo Números Complexos e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Professor
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Real ou
imaginário?
Dinâmica 1
3º Série | 3º Bimestre
DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO
Matemática (^) Ensino Médio3ª^ Série^ do Algébrico Simbólico Números Complexos
DINÂMICA Real ou Imaginário?
HABILIDADE BáSICA H48 – Resolver situações-problema envolvendo equação do 2º grau.
HABILIDADE PRINCIPAL H36 – Efetuar cálculo envolvendo operações com números comple xos na forma algébrica. -
CURRÍCULO MÍNIMO Identificar, conceituar a unidade imaginária e calcular suas potências de expoente inteiro.
Professor
Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos:
ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO
1 Compartilhar Ideias^ A calçada da piscina 20 a 25 min. Em grupos de 3 Individual
2 Um novo olhar...^ Superando obstáculos 20 a 30 min.
Nos mesmos grupos, com discussão coletiva.
Individual
3 Fique por dentro!^ Complexos, mas ... não tanto. 15 a 20 min.^ Nos mesmos grupos. Individual
4 Quiz Quiz 10 min Individual. Individual
5 Análise das res postas ao Quiz-^ Análise das res postas ao Quis- 15 min Coletiva. Individual
FLEx
Para Saber +
Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula. Agora, é com você!
Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o pro- fessor se tiver dúvidas.
ApresentAção
Esta dinâmica foi elaborada com o intuito de apresentar ao estudante a unida- de imaginária, i, como a raiz quadrada de – 1. O foco principal restringiu-se à introdução desta unidade imaginária, ao cálculo de algumas de suas potências com expoente na- tural e ao cálculo de algumas raízes quadradas de números negativos. Números com- plexos, na forma a + bi, só aparecem no final, como raízes de uma equação do 2º grau, com discriminante negativo. Como tema de revisão, foi escolhida a resolução da equação do 2º grau, pois está intimamente ligada à extensão dos números reais aos complexos, possibilitada pela definição da unidade imaginária. Seguindo a metodologia adotada, você, professor, tem liberdade de administrar os tempos gastos em cada etapa, seguindo as necessidades específicas de sua turma.
Professor
Resposta
FIGURA áREA Retângulo maior R1 25x
Retângulo maior R2 25x
Retângulo menor R3 15x
Retângulo menor R4 15x
Quadrado Q1 x^2 Quadrado Q2 x^2 Quadrado Q3 x^2
Quadrado Q
x^2
Total 4x^2 + 80x
Matemática
2º passo: E, agora, igualando essa área ao total da área das lajotas disponíveis, você chega a uma equação. Escreva a equação e determine os coeficientes que vão ser usados na fórmula de resolução (conhecida em alguns textos didáticos como fórmula de Bhaskara).
Resposta
Igualando a área da calçada à área das lajotas disponíveis 4x
(^2) + 80x = 500
Equação do 2º grau com 2º membro igual a zero 4x^2 + 80x – 500 = 0
Você pode simplificar esta equação, dividindo todos os coeficientes por 4 x
(^2) + 20x – 125 = 0
a 1
b 20
c – 125
3º passo: A solução desta equação pode ser calculada de várias formas mas, nesta dinâmica, interessa-nos usar a fórmula para o tema das etapas seguintes. Tente, então, escrever a fórmula aqui e compare com a “dica” que está no final do seu Encarte:
Resposta
x= -b ±^ b^ - 4ac
2a
Matemática
Na etapa seguinte, você verá o que foi feito para superar este obstáculo! Recursos necessários Encarte do aluno.
Procedimentos Operacionais
A proposta é para que os alunos trabalhem esse problema em grupo.
Se não for possível acompanhar o trabalho de todos os grupos duran- te sua realização, poderá ser feita uma correção coletiva.
Intervenção Pedagógica
Professor:
Espera-se que os alunos resolvam a equação do 2º grau pela aplicação da fórmula de Bhaskara, supostamente uma velha conhecida e cuja jus- tificativa poderá ser encontrada num link sugerido na Etapa Flex.
Pode ser, porém, que algum aluno prefira procurar as soluções usan-
do as relações da soma S e do produto P das raízes com os coeficien- tes da equação: S = –
b a = – 20 e P =^
c a = – 125. Como, neste caso, as soluções são inteiras, não será difícil encontrar os números 5 e – 25, pois 5 + (– 25) = – 20 e 5 × (– 25) = – 125.
O uso da fórmula, porém, aplica-se em geral. Além disso, nesta di- nâmica, a raiz quadrada do discriminante vai ser a motivação que utilizaremos para a introdução dos números imaginários. Daí, nossa preferência por usar a fórmula pronta nesta etapa.
A questão 2 é uma preparação do terreno para a apresentação da unidade imaginária.
Professor
segundA etApA um novo olhAr...
AtividAde · superAndo obstáCulos.
Objetivo Apresentar a unidade imaginária. Descrição da atividade Por intermédio de questionamentos gerais acerca dos números e suas proprie- dades, o aluno será levado a recordar a necessidade da extensão dos números naturais aos reais e, daí, aos imaginários, para suplantar obstáculos à realização de operações.
Questões:
1. Quais foram os primeiros números que você conheceu?
Resposta
Resposta pessoal, mas é de se esperar que os alunos citem: 1, 2, 3, etc.
2. Os romanos não consideravam o zero como número, eles não precisavam desse símbolo. Por exemplo, eles escreviam cento e cinco como CV, cento e cinquenta como CD e quinze como XV. No sistema posicional, porém, era preciso distinguir cento e cinco de quinze e de cento e cinquenta. Surgiu, então, a necessidade da criação de um símbolo para o zero. Em 105, 15 e 150, o zero indica qual o valor de 1 e de 5 em cada um desses números. A maioria dos livros chama os números 0, 1, 2, etc. de números naturais e seu conjunto de . Observe que você pode somar quaisquer dois números naturais e obtém ainda um número natural. Dê alguns exemplos.
Resposta
Resposta pessoal, mas serve qualquer soma do tipo 2 + 3 = 5 ou 0 + 4 = 4.
Professor
7. Qual a operação inversa da multiplicação?
Resposta
A divisão.
8. 2º obstáculo : Você pode dividir quaisquer 2 números in- teiros? Por exemplo, qual o número inteiro resultado de 8 ÷ 4? E de 8 ÷ 5?
Resposta
Com resultado inteiro, só é possível dividir um nú- mero por seus divisores, 8 ÷ 4 = 2 porque 4 é divisor de 8, mas 8 ÷ 5 não é um número inteiro porque 5 não é divisor de 8. Ou seja, não há número inteiro que, multiplicado por 5, dê 8. Espera-se também que o estudante se lembre de que não é possível dividir por 0, mas esse é um obstáculo que permanece, pois o produto de qualquer número por 0 dá 0. Sendo assim, não é possível encontrar um número que multiplicado por 0 dê qualquer número diferente de 0, nem é possível encontrar uma única resposta para o núme- ro que multiplicado por 0 dê 0.
9. O conjunto dos números inteiros foi aumentado para superar este obstá- culo (sem considerar aqui o obstáculo da divisão por zero). Você sabe quais foram os números que resolveram este problema?
Resposta
Foram os números fracionários que, junto dos inteiros, formam o conjunto dos números racionais, onde 8 ÷ 5 = 8 5
= 1,6.
Observe que, nos números racionais, a divisão é possível, desde que o divisor seja diferente de 0. A divisão por 0 continua não sendo possível com as quatro ope- rações básicas definidas nos conjuntos numéricos que conhecemos até agora..., nem mesmo nos complexos.
Fonte: http://www.cbat.org.br/ competicoes/fundo_pista/ galeria.asp
Matemática
10. A representação decimal de um número racional é uma representação fi- nita (com um número finito de algarismos, com vírgula, ou não) ou uma dízima periódica (um número sem fim de algarismos depois da vírgula que, a partir de certo ponto, passam a se repetir, na mesma ordem, indefinida- mente). Que tipo de representação decimal pode existir ainda e como se chamam os números assim representados?
Resposta
São as representações sem fim e sem período. Os algarismos se repetem, mas desordenadamente. Os números assim representados chamam-se irracionais.
11. Qual é o conjunto obtido pelo conjunto dos números racionais, completa- do pelos números irracionais?
Resposta
O conjunto dos racionais, completado com os irracionais, dá o conjunto dos números reais.
12.3º obstáculo : Uma operação que se pode fazer entre os números reais é elevar ao quadrado. Qual é a opera- ção inversa desta? Quando se pode calcular esta inversa e quando não se pode?
Resposta
A inversa de elevar ao quadrado é a raiz quadra- da. Todos os números reais podem ser elevados ao qua- drado, mas nem todos têm raiz quadrada. Os números negativos não têm raiz quadrada.
Vamos ver como a Matemática fez para saltar esse obstáculo? Ela considerou um outro tipo de número: os números imaginários. Para isso, definiu um novo número chamado de unidade imaginária e indicado pela letra i tal que:
Fonte: http://www.cbat.org.br/ competicoes/fundo_pista/ galeria.asp
Matemática
A Etapa Flex traz alguns dados históricos sobre a introdução dos nú- meros complexos.
terCeirA etApA
FiQue por dentro!
AtividAde · Complexos, mAs ... não tAnto.
Objetivo Calcular potências da unidade imaginária com expoentes naturais e resolver uma equação com raízes complexas.
Descrição da atividade Esta é uma atividade em que o aluno vai usar propriedades já conhecidas para potências de bases reais positivas e expoentes naturais estendendo-as para o caso da unidade imaginária. Ao aplicar estas propriedades, o aluno vai poder calcular qualquer potência de base i e expoente natural, além de perceber a existência das raízes quadra- das de qualquer número real negativo, que são os números imaginários ou imaginários puros, como são conhecidos.
Eis as questões como serão propostas ao aluno: A definição da unidade imaginária, i, propicia a construção de um conjunto bem maior de números que estende o conjunto dos números reais. Entre esses núme- ros, as operações são definidas de modo que se mantenham grande parte das proprie- dades que elas possuíam nos números reais. Por exemplo:
Dadas as definições:
i^0 = 1
i^1 = i
in+1^ = in^ × i, se n ≥ 1, n natural.
Têm-se: Se r e s são números inteiros, para a base i valem as propriedades que
valiam para bases reais positivas: ir^ × is^ = ir + s^ e (ir)s^ = ir × s.
Vale ainda a propriedade que permite o cálculo da raiz quadrada de qualquer número real, mesmo que ele seja negativo:
a × b = a × b^.
Professor
Usando estas propriedades, você vai conhecer alguns outros números imagi- nários nas próximas questões:
Questão 1:
Complete a tabela a seguir:
Resposta
− 1 =^ i^ i
(^2) = – 1
− 4 =^4 × −( 1 ) = 4 × − 1 = 2 i i
(^3) = i (^2) × i = (– 1) × i = – i
4 =^^2 i^4 =^ i^2 × i^2 = (– 1) × (– 1) = + 1
−0 25, =^ 0 25, × −( 1 ) = 0 25, × − 1 = 0 5, i i
(^5) = i (^4) × i = 1 × i = i
− 100 =^ 10 i^ i
(^6) = i (^5) × i = i × i = i (^2) = – 1
i^20 = (i^4 )^5 = 1^5 = 1 (^) i^21 = i^20 × i^1 = 1 × i = i
i^30 =
i^28 × i^2 = (i^4 )^7 × ( – 1) = 1^7 × ( – 1) = = 1 x (– 1) = – 1
i^31 = i^30 × i^1 = (– 1) × i = – i
i^100 = (i^4 )^25 = 1^25 = 1 (^) i^102 = i^100 × i^2 = 1 × (– 1) = – 1
Professor
Os cálculos que aparecem nesta dinâmica apresentam apenas núme- ros reais ou imaginários. Números complexos da forma a + bi surgi- ram somente ao final, quando foi utilizada a fórmula de resolução da equação do 2º grau com discriminante negativo. Essa introdução gradual tem o objetivo de dar mais tempo ao estudante para amadu- recimento dos conceitos.
QuArtA etApA Quiz
Questão: (sAerjinho 3º bimestre – 2011 – AdAptAdA)
O conjunto solução da equação x² – 2x + 2 = 0, com x complexo, é a. o conjunto vazio. b. {1 + i , 1 – i} c. { – 1 + i , – 1 – i }
d. { 1 + 12 , 1 – 12 }
e. { – 1 + 12 , – 1 – 12 }
QuintA etApA Análise dAs respostAs Ao Quiz
Resposta
Na equação dada, a = 1, b = – 2 e c = 2, então o discriminante será: ∆ = b^2 – 4ac = (– 2)^2 – 4 × 1 × 2 = 4 – 8 = – 4, cuja raiz quadrada é 2 i. As raízes serão, portanto, complexas, o que já descarta as opções (a), (d) e (e). Aplicando a fórmula:
x = −^ b^ ±^ b^ − ac a
(^2 ) 2
=
− − ± − ×
( 2 ) 4 2 1 =^
2 2 2
± i = 1 ± i
E a opção correta é (b).
Matemática
Erros possíveis: O aluno que escolheu a opção (a) provavelmente não levou em conta que o enunciado solicitava a solução no conjunto dos números comple- xos e, considerando que não existem soluções reais para a equação, optou pela letra (a). Já o aluno que assinalou a opção (c), provavelmente se equivocou ao considerar o coeficiente b positivo. A escolha do aluno será a opção (d) caso tenha se equivocado no cálculo de ∆, calculando 4 + 8 ao invés de 4 – 8. Finalmente, um aluno que tenha errado o sinal de b e o cálculo do ∆, teria chegado à resposta da opção (e).
etApA Flex
pArA sAber +
1. Em: http://pt.pdfsb.com/readonline/5a56464b6451682b58485a31436e706d 413d3d-
Você encontra um resumo de autoria do Professor Pitombeira (Professor emé- rito da PUC – Rio) da história da equação do segundo grau, exposto em 38 páginas que percorrem 4 milênios.
2. Em: http://mathextrema.blogspot.com.br/p/numeros-complexos.html , Você pode ler que “Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Girolamo Cardano (1501 – 1576) e Rafaello Bombelli (1526 – 1572), introduziram os nú- meros complexos na Álgebra, durante o Século XVI, apesar de considerarem tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários quando nos referimos a raízes qua- dradas de números negativos.”
René Descartes chamou de imaginários os números que hoje chamamos de complexos, deixando, atualmente, o termo (1596 – 1650) imaginário ou imaginário puro, para as raízes quadradas de números reais negativos (números complexos, com parte real nula).
3. Você pode conhecer mais dados históricos a respeito dos números comple- xos, consultando o site: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos
Matemática
Para responder a este teste, resolva todas as equações acima, como exercício. A questão pode ser resolvida de outra forma, mas precisa de resultados que nem sem- pre são focalizados no ensino básico.
Resposta
A opção correta é (a), pois, se a = 1, b = – 4 e c = 13, tem-se:
x = -b ±^ b^ - 4ac 2a
=
-(-4) ± (- 4) - 4 × 1 × 13 2 × 1
= 4 ±^ 16 - 52 2
= 4 ±^ - 2
= 4 ± 6i 2
=
2 2 2 2 ± 3i
Conferindo as demais opções: b. a = 1, b = – 2 e c = 3, tem-se:
x = -b ±^ b^ - 4ac 2a
=
-(-2) ± (- 2) - 4 × 1 × 3 2 × 1
= 2 ±^ 4 - 12 2
= 2 ±^ - 2
= 2 ± 2i^2 2
= 1 ±
2 2 ii 2
c. a = 1, b = 4 e c = – 9, tem-se:
x = -b ±^ b^ - 4ac
2a
-4 ± 4 - 4 × 1 × (- 9)
2 × 1
= -4 ±^ 16 + 36
= -4 ±^52
= -4 ± 2^13
2 2
- -2 ± 13 d. a = 1, b = 4 e c = 13, tem-se:
x = 4 ± -b ±^ b^ - 4ac
2a
-4 ± 4 - 4 × 1 × 13
2 × 1
= -4 ±^ 16 - 52
= -4 ±^ -
= -4 ± 6i
2 2
- -2 ± 3i
e. a = 1, b = 2 e c = 3, tem-se:
x = -b ±^ b^ - 4ac
2a
- 2 ± 2 - 4 × 1 × 3
2 × 1
= -2 ±^ 4 - 12
= -2 ±^ -
= -2 ± 2i^2
= -1 ± i
2 2
Professor, outro modo de resolver este problema é construir a equação com coeficientes reais que tenha a solução complexa 2 + 3i, partindo dos seguintes fatos:
1º) se uma equação do 2º grau tem coeficientes reais e uma raiz complexa, então a outra raiz é também complexa e é conjugada da primeira raiz.
2º) o conjugado de um número complexo é o número que tem a mesma parte real que o número dado e a parte imaginária é o simétrico da parte imaginária do nú- mero dado.
Professor
Isto é, se z = a + bi, com a e b reais, então o conjugado de z é o número z (^) = a – bi. 3º) se um trinômio do 2º grau, ax^2 + bx + c, com a ≠ 0, tem dois zeros x 1 e x 2 , então: ax^2 + bx + c = a (x – x 1 ) (x – x 2 ), para a, b, c, x, x 1 e x 2 reais ou complexos. Os zeros do trinômio ax^2 + bx + c serão as raízes da equação ax^2 + bx + c = 0. Aplicando-se estes fatos ao nosso problema, conclui-se que as raízes da equa- ção são 2 + 3i e 2 – 3i e que, se a = 1 (o que acontece nas 5 opções do problema), o primeiro membro dessa equação deve ser: [x – (2 + 3i)] [x – (2 – 3i)] = x^2 – (2 + 3i)x – x(2 – 3i) + (2 + 3i) (2 – 3i) = = x^2 – 2x – 3ix – 2x + 3ix + 22 – (3i)2 = x^2 – 4x + 4 – 9 × (– 1) = x^2 – 4x + 4 + 9 = = x^2 – 4x + 13. Daí, equação procurada era mesmo x^2 – 4x + 13 = 0.
