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Prof. Ana Luísa
AULA DEMONSTRATIVA
Olá concurseiros, sou a professora Ana Luísa Duboc! Sou formada em Ciências da Computação pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), tenho mestrado em Inteligência Artificial e atualmente estou terminando o meu doutorado na mesma área, ambos pela COPPE/UFRJ. Para quem não sabe, e falando de uma forma leiga, Inteligência Artificial é uma área de pesquisa da ciência da computação que estuda como fazer os computadores realizarem coisas que, atualmente, os humanos fazem melhor, e como tal, exige muito estudo da Lógica!
Já fui monitora várias vezes da disciplina de Lógica ao longo do meu mestrado, e também já dei aulas particulares de raciocínio lógico para concursos.
Atualmente sou professora substituta da Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ), e professora contratada da Unigranrio, ambas na área de computação. Também sou professora de Raciocínio Lógico no curso preparatório SOFEP, e professora particular de matemática para todas as séries.
Raciocínio Lógico sempre foi uma paixão pra mim, e acreditem, estou tendo um prazer enorme em preparar estas aulas para vocês!
Mas afinal, por que os concursos cobram raciocínio lógico? Essa é fácil de responder! Estudar raciocínio lógico ajuda a desenvolver a capacidade de resolver problemas, ensina a como pensar de uma forma lógica e rápida, e isso é importante para qualquer trabalho que se venha a fazer! No início pode até parecer um pouco complicado, mas depois que pega o jeito fica muito divertido!
Estas aulas são voltadas para concursos organizados pela CESPE. Todas as questões comentadas e propostas neste curso foram, portanto, retiradas de provas anteriores da CESPE. Eu coletei mais de 350 questões, e pude perceber que a maioria delas é a respeito de lógica de argumentação e princípios de contagem e probabilidade. Veremos estes dois tópicos exaustivamente, focando, principalmente, em resolver muitas questões! Da parte de Lógica de Argumentação temos mais de 70 questões, e da parte de contagem e probabilidade, mais de 120 questões!
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Além disso, veremos também a parte de associação lógica, que incluem aquelas questões do tipo: quem é casado com quem, quem tem o carro tal, quem tem tal profissão,... E veremos aquelas questões de identificar quem fala a verdade e quem mente, quem é o culpado e quem é o inocente. Esses dois assuntos não são tão cobrados quanto os anteriores, mas está no edital, e podem cair! Por fim consideraremos a parte de operação de conjuntos e problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Nesta primeira aula nos focaremos na parte básica do raciocínio lógico, que envolve as definições de proposição e sentença, apresentação dos conectivos e suas respectivas tabelas-verdade, negação de proposições compostas (que é muito cobrado!), representação simbólica das proposições, ou seja, transformar em símbolos uma determinada frase, e equivalência de proposições. Todos esses assuntos são muito importantes, e precisam sem muito bem entendidos, porque a partir disto o resto fica fácil! Ao longo do curso irei mostrar a vocês os vários tipos de questões que podem ser cobradas, e como resolver cada uma delas, de forma que vocês não terão surpresas na hora da prova! Segue abaixo o cronograma das nossas aulas, para que vocês possam se preparar.
Aula DEMO Compreensão de Estruturas Lógicas
Aula 1 Lógica de 1ª Ordem, Lógica de Argumentação (Diagramas Lógicos)
Aula 2 Continuação Lógica de Argumentação, Associação Lógica, Verdade/Mentira, Inocente/Culpado
Aula 3 Princípio da Contagem e Probabilidade
Aula 4 Operação com Conjuntos
Aula 5 Problemas Aritméticos, Geométricos e Matriciais
Aula 6 Resolução de Provas da CESPE, começando pelas da Polícia Federal. Questões propostas da CESPE
Então vamos começar?
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- A Terra é redonda. (verdadeira)
- 2 + 2 = 7 (falsa)
- O Brasil é um país da Europa. (falsa)
- O número 6 é par. (verdadeira)
Há dois princípios importantes que devem ser considerados quando pensamos em proposições:
Princípio da não-contradição : “ nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo ”.
Princípio do terceiro-excluído : “ uma proposição ou será verdadeira ou será falsa: não há outra possibilidade ”.
A partir destes princípios podemos definir o conceito de valor lógico , expressão muita usada nas questões de concurso público, que nada mais é do que a classificação da proposição em verdadeira(V) ou falsa(F).
A questão abaixo exemplifica um tipo de questão acerca de definição de proposição que é muito cobrada em provas de concurso público, inclusive pela CESPE.
(BB – 2007) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
I. O BB foi criado em 1980 II. Faça seu trabalho corretamente. III. Manuela tem mais de 40 anos de idade.
Observe a primeira sentença: “ O BB foi criado em 1980 ”. Vocês poderiam se perguntar: “Eu não faço a menor idéia se o Banco do Brasil foi criado em 1980! Como que eu vou saber se isso é verdadeiro ou falso? Como que vou saber se se isso é uma proposição?!”
Aí que está o ponto! Vocês não precisam saber se é verdadeiro ou falso para afirmar que é uma proposição ou não, basta saber que a sentença pode ter um valor lógico (de acordo com os princípios
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declarados acima), e isso a gente sabe, pois o Banco do Brasil foi criado em algum ano, com certeza! Se foi em 1980, então a sentença é verdadeira, caso contrário, ela é falsa. Mas de qualquer jeito ela pode ser classificada, e, portanto, é uma proposição!
Este é o mesmo caso da terceira sentença: “ Manuela tem mais de 40 anos de idade ”. Apesar de vocês não saberem quem é Manuela, essa sentença pode ser verdadeira ou falsa, e, portanto, também é uma proposição.
O único caso que foge à regra é a segunda sentença: “ Faça seu trabalho corretamente ” que é uma sentença imperativa, e, portanto, não é considerada uma proposição.
Logo, apenas a primeira e a terceira sentença são consideradas proposições, confirmando o enunciado a questão, que afirma que há duas proposições no conjunto de sentenças.
Gabarito: Certa
Atenção! Existe um tipo de sentença que muitas vezes os concurseiros confundem com proposições lógicas e acabam errando as questões. São as sentenças abertas!
Sentenças abertas são aquelas que vêm com uma variável, um elemento desconhecido, e que, portanto, não podemos garantir que sejam verdadeiras ou falsas.
- X é um famoso jogador de futebol.
Como não sabemos quem é X, não podemos dizer se a sentença acima é verdadeira ou falsa. Dependendo do valor que X assumir, a sentença pode ter valor lógico V ou F.
- Pelé é um famoso jogador de futebol. (V)
- Pedro Bial é um famoso jogador de futebol. (F)
Sabemos que Pelé é realmente um famoso jogador de futebol, o que torna a sentença verdadeira, mas claramente Pedro Bial não é, tornando a sentença falsa.
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A sentença “ para cada x, (x+2) > 7 ”, por si só, não pode ser classificada como verdadeira ou falsa, pois não sabemos quais os valores de x estão sendo considerados. A partir do momento em que a questão define o conjunto ao qual x pertence, aí sim podemos considerar a sentença como uma proposição e avaliar o seu valor lógico.
Neste caso, x pertence ao conjunto {6, 7, 8, 9}, e substituindo na sentença temos:
- (6+2) > 7.
- (7+2) > 7.
- (8+2) > 7.
- (9+2) > 7.
Todas as sentenças acima são verdadeiras, portanto a proposição “ Para cada x, (x+2) > 7 ” torna-se verdadeira para este conjunto.
Gabarito: Certa
Uma proposição pode ser dividida em duas categorias:
Proposição Simples (ou atômica): não contém nenhuma proposição como parte integrante de si mesma. Geralmente são simbolizadas por letras do alfabeto (p, q, r, ...).
p: Marte é um planeta. q: 7 é um número par.
Observe que para as proposições p e q acima, o valor lógico de p é V e o de q é F.
Proposição Composta: formada pela combinação de uma ou mais proposições, ligadas por conectivos.
- Carlos é inteligente e Mário é torcedor do Flamengo.
- Maria vai ao teatro ou Paulo vai ao cinema.
- Se chover amanhã, então não irei à praia.
- Comprarei uma casa se e somente se eu ganhar na loteria.
As palavras marcadas em negrito são o que chamamos de conectivos, pois elas conectam duas proposições simples, cada uma
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podendo assumir um valor lógico diferente. Mas como podemos saber se a proposição composta é verdadeira ou falsa a partir do valor lógico atribuído a cada uma de suas proposições simples constituintes?! Através das Tabelas-Verdade!!! Vamos entender o que cada conectivo significa e como criamos cada tabela-verdade?
III) Conectivos e suas Tabelas-Verdade
Cada conectivo é representado por um símbolo diferente e possui uma tabela-verdade correspondente, que nada mais é do que uma tabela que mostra que valores a proposição composta por assumir dependendo da combinação dos valores lógicos que as proposições simples possuem. Muitos professores recomendariam que vocês decorassem as tabelas-verdade, mas de fato, se vocês entenderem o conceito por trás de cada conectivo, não será preciso decorar.
1. Conjunção (˄)
Denominamos conjunção à proposição composta formada por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo “ e ” ou equivalente, representado pelo símbolo ˄. Suponha as proposições p e q:
p: Paulo é dentista. q: Laura gosta de chocolate. A conjunção destas duas proposições é dada por “ Paulo é dentista e Laura gosta de chocolate ”, e é representada por p˄q.
Além do “e”, as seguintes expressões podem ser usadas para denotar a conjunção:
“ Tanto Paulo é dentista como Laura gosta de chocolate ”.
“ Paulo é dentista mas Laura gosta de chocolate ”. (apesar do “mas” sugerir sentido contrário, logicamente falando, o “mas” é equivalente ao “e”).
O que precisaria para que a proposição composta “ Paulo é dentista e Laura gosta de chocolate ” fosse verdadeira? Digamos que Paulo seja
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Ao contrário da conjunção, para que a disjunção seja verdadeira basta que uma das proposições que a compõe seja verdadeira.
Voltando ao exemplo da promessa. Se o pai promete: “ Eu te darei a viagem ou te darei a festa ”, a filha sabe que a promessa é por apenas um dos presentes: viagem ou festa! Ganhando um dos dois, a promessa já foi cumprida! Se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? A promessa foi mais do que cumprida! O único caso em que a promessa não é cumprida é se o pai não der nem a viagem e nem a festa.
A tabela-verdade da disjunção é dada por:
p q p ˅ q V V V V F V F V V F F F
Perceba na tabela acima que a disjunção p ˅ q só é falsa quando p e q são falsas. Em todas as outras linhas, quando pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira, a disjunção se torna verdadeira.
3. Disjunção exclusiva ( ∨)
Agora compare as duas proposições a seguir:
“Te darei a viagem ou te darei a festa” “ Ou te darei a viagem ou te darei a festa”
Qual a diferença entre as duas?
Na primeira sentença, se a primeira parte for verdade, isto não impede que a segunda também o seja, conforme vimos no item anterior. Já na segunda sentença, se a filha ganhar a viagem ela não ganhará a festa, e vice-versa, porque é um ou outro, nunca os dois ao mesmo tempo.
Na disjunção exclusiva, também conhecida como ou-exclusivo, as proposições são ligadas pelo conectivo ou...ou, tal que as proposições
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são mutualmente excludentes, ou seja, não podem ser verdadeiras e nem falsas ao mesmo tempo, pois em ambos os casos a promessa é falsa.
A disjunção exclusiva é representada pelo símbolo ∨ e sua tabela- verdade é mostrada a seguir:
P q p ∨ q V V F V F V F V V F F F
Perceba na tabela acima que a disjunção exclusiva p ∨ q é falsa quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos. Em todas as outras linhas, quando pelo menos uma das proposições p ou q é verdadeira, a disjunção exclusiva se torna verdadeira.
4. Condicional ou Implicação (→)
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes. Dadas as proposições:
p: Paulo é médico. q: Laura gosta de chocolate.
A condicional “ Se Paulo é médico então Laura gosta de chocolate ” pode ser representada por p→q. A proposição p é chamada de condição ou antecedente , e a proposição q é chamada de conclusão ou consequente.
A condicional é o conectivo que mais confunde os estudantes, por não ser nada intuitivo. Observe a proposição dada: “ Se Paulo é médico então Laura gosta de chocolate ”. Primeiro vocês podem se perguntar: O
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p q p → q V V V V F F F V V F F V
Agora observe a seguinte condicional:
“ Se eu nasci na Bahia então sou brasileiro ”
Qual a única forma desta proposição estar errada? Se a primeira parte for verdadeira e a segunda for falsa. Ora, se é verdade que nasci na Bahia, então necessariamente é verdade que sou brasileiro! Afinal de contas a Bahia fica no Brasil!
O fato de eu ter nascido na Bahia é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja brasileiro. Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Se alguém disser que: “ Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica ”, então nós podemos reescrever essa sentença usando a condicional:
“ Se Pedro for rico, então Maria é médica ”
O oposto também vale. “ Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico ” pode ser traduzido para:
“ Se Pedro for rico, então Maria é médica ”
A tradução das palavras suficiente e necessário para a forma condicional já foi bastante exigida em concursos. Veja a questão abaixo:
(BB – 2008) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.
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Pelo que acabamos de aprender, a proposição “ as reservas internacionais em moeda forte aumentarem ” é condição suficiente para “ o país ficar protegido de ataques especulativos ”. Assim como, “ o país ficar protegido de ataques especulativos ” é condição necessária para “ as reservas internacionais em moeda forte aumentarem ”, conforme enunciado pela questão.
Gabarito : Certa
Outras expressões podem ser usadas para representar a condicional, além das duas acima, e são equivalentes a “ Se p então q”, onde p e q são proposições. Algumas delas estão enumeradas a seguir.
Se p, q. q, Se p. Quando p, q. p implica q. p somente se q. Todo p é q.
Exemplos:
Se chove, o chão fica molhado. O chão fica molhado, se chove. Quando chove, o chão fica molhado. Chover implica o chão ficar molhado. Chove somente se o chão fica molhado. Toda vez que chove o chão fica molhado.
5. Bicondicional ou dupla implicação (↔)
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se e somente se”.
A bicondicional “ Paulo é médico se e somente se Laura gosta de chocolate ” pode ser representada por p↔q.
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p: Paulo é médico.
As seguintes proposições compostas serão consideradas negação de p :
Paulo não é médico. Não é verdade que Paulo é médico. É falso que Paulo é médico.
Simbolicamente falando, todas as proposições acima serão representadas da mesma forma, ou seja, por ¬p.
Negar uma proposição nada mais é do que inverter o seu valor lógico, ou seja, se a proposição simples for verdadeira, a proposição correspondente à negação dela será falsa, e vice-versa. Sua tabela verdade é dada por:
p ¬p V F F V
Cuidado com o seguinte tipo de questão:
(SEBRAE – 2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.
Apesar de “ 2 + 5 = 7 ” ser verdadeiro e “ 2 + 5 = 9 ” ser falso, a proposição “ 2 + 5 = 7 ” não é a negação de “ 2 + 5 = 9 ”! Pense na proposição acima sem ser escrita na forma matemática: “ 2 mais 5 é igual a 9 ”. Para a negarmos precisamos usar algum conectivo de negação, tal como o “ não ”, resultando na proposição “ 2 mais 5 não é igual a 9 ”, que na forma matemática poderia sem simbolizada por “ 2 + 5 ≠9 ”
Gabarito : Errada
Muitas questões da CESPE se referem a negar uma proposição composta, que é quando o conectivo de negação começa a complicar.
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O caso mais simples é a negação de uma negação, ou seja, quando a proposição composta a ser negada é uma negação. Por exemplo, se temos a proposição composta ¬p dada por “ João não é médico ”, então a negação desta proposição, representada por ¬(¬p), será a proposição p original “ João é médico ”, ou seja, negar uma negativa significa tirar a palavra “ não ”.
Como negar uma conjunção, uma disjunção, uma disjunção exclusiva, uma condicional e uma bicondicional? Começaremos pela negação da conjunção e da disjunção. As formas de representação da negação destes dois conectivos fazem parte das chamadas Leis de De Morgan. Vamos ver cada caso separadamente.
6.1) Negação de uma conjunção
Representamos a negação de uma conjunção p ˄ q, onde p e q são proposições quaisquer, por ¬( p ˄ q). Para fazer a negação devemos seguir os seguintes passos:
1º) Negar a primeira proposição: ¬p 2º) Negar a segunda proposição: ¬q 3º) trocar o e por ou (˄ por ˅)
Portanto ¬( p ˄ q) também pode ser representada por ¬p ˅ ¬q (uma das leis de De Morgan).
(Técnico Judiciário – 2010) A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”.
Primeiramente vamos identificar as proposições simples que constituem essa proposição composta e representá-las por letras.
p: O presidente é o membro mais antigo do tribunal. q: O corregedor é o vice-presidente.
A proposição composta, antes de ser negada, pode então ser representada por p ˄ q.
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Seguindo os passos descritos anteriormente para negar a proposição composta:
1º) Negar a primeira proposição: O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo. 2º) Negar a segunda proposição: Guarapari não tem lindas praias. 3º) trocar o ou por e (˅ por ˄): O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo e Guarapari não tem lindas praias. (que é exatamente a resposta dada pelo enunciado) Gabarito : Certa
6.3) Negação de uma disjunção exclusiva e de uma bicondicional
Estes dois casos geralmente não são cobrados, mas mesmo assim vamos colocar aqui para que fique claro. Eles são bem simples. A negação de uma disjunção exclusiva é a bicondicional e vice-versa, ou seja:
¬(p ˅ q) é o mesmo que p ↔ q
¬(p ↔ q) é o mesmo que p ˅ q
Portanto, se tivermos a proposição “ Ou te darei a viagem ou te darei a festa ”, a negação desta proposição será “ te darei a viagem se e somente se te der a festa ”, e vice-versa.
Se olharmos as tabelas-verdade de ambos os conectivos, a disjunção exclusiva e a bicondicional, veremos que elas são exatamente opostas, ou seja, quando a disjunção exclusiva é verdadeira, a bicondicional é falsa, e quando a disjunção exclusiva é falsa, a bicondicional é verdadeira.
6.4) Negação de uma condicional
Representamos a negação de uma condicional p → q, onde p e q são proposições quaisquer, por ¬( p → q). Para fazer a negação devemos seguir os seguintes passos:
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1º) Manter a primeira proposição: p 2º) Trocar o Se..então (ou equivalente) por e 3º) Negar a segunda proposição: ¬q
Portanto ¬( p → q) também pode ser representada por p ˄ ¬q.
(Agente Administrativo – 2008) Considere as seguintes proposições.
A: Está frio.
B: Eu levo agasalho.
Nesse caso, a negação da proposição composta “Se está frio, então eu levo agasalho” — A→B — pode ser corretamente dada pela proposição “Está frio e eu não levo agasalho” — A˄(¬B).
Seguindo os passos:
1º) Manter a primeira: Está frio. 2º) Trocar o Se..então por e 3º) Negar a segunda: Eu não levo agasalho.
Proposição resultante: Está frio e eu não levo agasalho. (conforme descrito no enunciado).
Gabarito : Certa
IV) Proposições compostas por mais de um conectivo e suas representações simbólicas
Além das proposições compostas que vimos nos itens anteriores, podemos formar proposições compostas que possuem mais de um conectivo. Por exemplo:
1. Se Paulo é médico ou Maria é professora, então Carlos é engenheiro.
