Proposta a Projecto de Pesquisa sobre Computação Quântica e Teoria de Computação, Manuais, Projetos, Pesquisas de Computação Quântica

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UNIVERSIDADE LICUNGO

FACULDADE DE CIENCIAS E TECNOLOGIA

CURSO DE INFORMÁTICA

YURAN BULHA

Proposta a Projecto de Pesquisa sobre Computação Quântica e

Teoria de Computação

Beira

YURAN BULHA

Computação Quântica e Teoria de Computação

Orientador: dr. Leonel Silima

Beira

Epigrafe

O que sabemos é uma gota; o que ignoramos é um oceano.

Isaac Newton

Introdução

Este trabalho apresenta uma proposta para um projecto de pesquisa na área da ciência

da computação mais especificamente refere-se a computação quântica e visa criar um plano

de estudo e cronograma de actividades de pesquisa.

Os sub-temas em ciência da computação são abrangentes e não foram exaustivamente

abordados durante o desenvolvimento do trabalho embora apresenta tópicos bem específicos

com descrições em termos de álgebra linear de alguns processos físicos e computacionais.

Essa proposta de projecto tem intuito de estabelecer um cronograma de actividades,

um plano de estudo e um plano de trabalho semelhantemente ao projecto de pesquisa feito

por Alex Bredariol Grilo sob orientação do Prof. Dr. Arnaldo Vieira Moura no Instituto de

Computação — Universidade Estadual de Campinas.

A semelhança destes pesquisadores, o autor desse trabalho também detém curiosidade

em pesquisar sobre computação quântica e teoria da computação. Tendo já tido conhecimento

prévio em tópicos de mecânica quântica e teoria da computação esse tema esta adequado

como objecto de estudo e pesquisa para o presente trabalho.

Pressuponho que o leitor tenha conhecimento prévio e básico em tópicos de

matemática, física e teoria da computação para melhor compreensão.

Os computadores estão na base da revolução do que a era da informação impõe na

sociedade nas últimas décadas. Hoje a informação tornou-se de livre acesso e gratuita em

diversas plataformas ou em sites online, o conhecimento é quase ilimitado, com artigos de

conteúdos ricos que se multiplicam exponencialmente ano após ano.

Computação Quântica é um tema recente, que aplica-se das descobertas da física

quântica para o desenvolvimento de aplicações computacionais. Proposto teoricamente na

década de 80, somente recentemente conseguiu-se desenvolver computadores que utilize de

forma satisfatória a estrutura quântica da matéria nos processos de computação. A D-wave,

uma empresa canadense foi a primeira a construir um computador quântico comercial em

2011 quando anunciou a D-wave One com 128 qubits. Ainda hoje, constitui-se numa

importante linha de pesquisas a ideia de criar sistemas computacionais quânticos com

tamanho reduzido ou mesmo portáteis.

 Implementar o simulador quântico para Python (Qsystem)

 Entender a ameaça de ataques quânticos a geradores de números pseudo-aleatórios

Metodologia e abordagem da pesquisa

A metodologia empregue foi a pesquisa bibliográfica. O tipo de pesquisa quanto a

natureza e fundamental. Este trabalho foi possível após extensa pesquisa em periódicos

científicos, pesquisas em plataformas da Google como Google Académico e até mesmo da

Google Research. A Google Research disponibiliza milhares de artigos científicos ligados a

ciência da computação. A Google Académico permite ao pesquisador usufruir duma

ferramenta que ajuda a encontrar artigos com selo académico. Artigos com conteúdos

actualizados e alta credibilidade uma vez que a ferramenta aplica filtros para seleccionarem

artigos com aprovação no meio académico.

Estrutura do trabalho

Podemos, conceitualmente, dividir este trabalho em dois capítulos. Primeiramente

serão estudados os conceitos básicos da Computação Quântica.

Este estudo servirá para entender o contexto em que a Computação Quântica está

inserida e possibilitará o aprofundamento dos estudos seguintes. Após essa etapa inicial,

serão estudados a fundo alguns tópicos da Computação Quântica especialmente relevantes

para a Teoria da Computação.

Para se chegar ao estado da arte nas pesquisas sobre o tema proposto será necessário

estudar alguns conceitos mais avançados em algumas áreas tais como álgebra linear,

computabilidade e complexidade computacional. Logo, esta primeira etapa é importante, pois

dará ao candidato familiaridade suficiente com temas tais como circuitos quânticos e

algoritmos quânticos, fundamentais para prosseguir nos estudos.

Ainda durante a fase inicial, serão estudados de maneira introdutórias temas mais

avançados da Computação Quântica.

Para efeitos de uma lista inicial, pretende-se estudar

(i) aplicações algorítmicas dos passeios quânticos,

(ii) as classes de complexidade computacional quânticas e autômatos finitos

quânticos, junto com as linguagens regulares quânticas reconhecidas por estes.

As técnicas e algoritmos englobados levam a alguns dos resultados mais recentes sobre

algoritmos quânticos que apresentam ganho exponencial em complexidade de tempo em

relação a algoritmos clássicos.

Já no item (ii), serão estudados pontos referentes aos limites do poder computacional dos

modelos quânticos.

Durante os estudos compreendidos na primeira fase serão levantados alguns tópicos

sobre os quais será desenvolvido um estudo mais aprofundado numa outra fase. Pretende-se,

em um primeiro momento, aprofundar os tópicos listados sob o item (ii). Não se espera,

entretanto, a resolução de conjecturas que resistem há décadas. Porém, pretende-se um

entendimento completo dos temas básicos de suporte, de forma a alcançar o estado da arte em

tópicos específicos.

Na outra fase pretende-se, também, melhor sintetizar alguns tópicos avançados ou mesmo

obter novos resultados parciais.

O projecto como um todo possui um cunho eminentemente teórico, e terá como um de

seus resultados a escrita de uma monografia, em língua portuguesa, abordando em detalhes os

tópicos estudados. As seções referentes à primeira parte do trabalho contribuirão para uma

introdução à Computação Quântica sob as lentes da Teoria da Computação. O texto referente

à segunda parte do trabalho irá aprofundar alguns temas pouco explorados na literatura da

área em língua portuguesa.

Materiais e Métodos

Para atingir os objectivos mencionados foi elaborado um plano de estudo inicial

utilizando-se a bibliografia tradicional na área de Computação Quântica. Esse plano de

estudo é referente à primeira fase do projecto. Regularmente, poderá ser feita reuniões com o

orientador para discutir o andamento do trabalho e os resultados obtidos. Durante essas

reuniões, serão levantados também tópicos que poderão ser estudados na segunda fase do

trabalho. Aliadas ao estudo continuado, teremos a escrita da dissertação e de artigos

científicos, bem como apresentações de tópicos seleccionados em seminários para a

comunidade local da Universidade UniLicungo.

4. Autômatos quânticos e suas linguagens. Autômatos finitos quânticos, linguagens

regulares quânticas, autômatos de pilha quânticos Duração: 2 meses.

5. Dissertação e relatórios. Escrita das seções referentes à parte estudada na primeira fase

e de relatórios anuais para a Fapesp. Duração: 3 meses.

6. Artigos e seminários. Escrita de artigos científicos e preparação de seminários sobre os

tópicos estudados. Duração: 1 mês.

1. Capitulo I - Conceitos básicos da Computação Quântica

Neste capitulo consta um breve histórico da Computação Quântica e revisão da literatura

em aspectos importantes de física quântica.

1.1. Breve Histórico

Na década de 80, Richard Feynman sugeriu que os computadores clássicos só

conseguiriam simular o funcionamento de sistemas quânticos com um custo exponencial em

termos de tempo computacional. Foi então proposto um computador que extrairia da estrutura

quântica da matéria seu poder computacional.

Paralelamente à evolução do estudo sobre como implementar na prática um computador

quântico, físicos, matemáticos e cientistas da computação passaram a pesquisar o ganho que

computadores quânticos poderiam trazer se fossem implementados na prática.

1.2. Maquinas de Turing quânticas e Circuitos quânticos

No final da década de 80, Deutsch descreveu as Máquinas de Turing Quânticas e

circuitos quânticos, duas importantes ferramentas que permitiram o desenvolvimento de

algoritmos quânticos compatíveis com qualquer concretização futura para computadores

quânticos. Posteriormente, Yao demonstrou que esses dois modelos são equivalentes.

No final da década de 90, Bernstein e Vazirani descreveram como construir uma Máquina de

Turing Quântica Universal, uma Máquina de Turing Quântica capaz de simular qualquer

Máquina de Turing Quântica.

1.3. Algoritmos quânticos de Deutsch e Deutsh-Josza

Na início da década de 90, foram desenvolvidos os algoritmos quânticos de Deutsch e de

Deutsch-Josza, os quais permitem descobrir características de funções desconhecidas de

forma mais eficiente quando comparados com algoritmos determinísticos clássicos, no

segundo caso com ganho exponencial na complexidade em tempo.

1.4. Algoritmos de Shor

A grande notoriedade da Computação Quântica, entretanto, ocorreu em 1994, quando

Shor apresentou algoritmos quânticos eficientes para os problemas de fatoração em números

primos e para se encontrar o logaritmo discreto [34]. Esses dois problemas são muito

importantes pois alguns dos métodos criptográficos mais utilizados actualmente assumem que

não há uma forma eficiente de resolvê-los. Portanto, existindo um computador quântico, este

tipo de criptografia seria facilmente quebrado.

1.5. Algoritmos de Grover

Outro algoritmo importante para computação quântica foi o algoritmo de buscas

apresentado por Grover. Procurar um elemento em uma base de dados não ordenada de n

elementos necessita de tempo O(n) no pior caso, tanto classicamente quanto

probabilisticamente. Grover apresentou um algoritmo quântico que realiza tal busca em

tempo O(√n). Tal ganho não é exponencial, porém a aplicabilidade do resultado é muito

importante, pois pode-se conseguir uma aceleração quadrática, portanto substancial, na

solução de problemas da classe NP.

Nos anos 2000, novos algoritmos quânticos foram desenvolvidos, alguns utilizando os

algoritmos anteriores como submódulos outros utilizando novas técnicas. Foram descobertos

também novos métodos para se encontrar limitantes quânticos para vários problemas, o que

veio auxiliar no avanço dos estudos na área de teoria de complexidade computacional.

2. Capitulo II- Características de um sistema computacional quântico

O capitulo 2 visa apresentar seus conceitos básicos. De posse destes, abordamos os

principais algoritmos quânticos conhecidos e finalizamos examinando questões de

computabilidade e complexidade computacional quântica. Nas subsecções deste capitulo,

Podemos resumir essas informações em

| ψi = i∈{0,1}n ai | ii, onde ai ∈ C, i ∈ {0, 1} n , e X i∈{0,1}n |ai | 2 = 1.

Podemos observar que numa abordagem mais direta para simular um sistema quân tico

classicamente, seria necessário armazenar o valor da amplitude de cada elemento da base.

Com isso, a quantidade de memória necessária cresce exponencialmente em relação ao

número de qubits no sistema. Sem mencionar o fato de que um número complexo ai é

representado por um par de números reais, e números reais não podem ser todos

completamente especificados em um computador digital (ou em uma Máquina de Turing).

Por esse motivo, suspeita-se que sistemas quânticos não podem ser representados em

computadores clássicos sem incorrer em um custo computacional exponencial. 2

2.3. Circuitos quânticos

Uma vez que qubits e registradores quânticos armazenam informação, veremos agora como

estes podem ser utilizados para realizar computações. Na computação clássica utilizamos

portas lógicas para manipular n bits de entrada e computar uma saída de m bits. Na

Computação Quântica, as manipulações de qubits são feitas através de portas quânticas. De

acordo com as leis da mecânica quântica, os sistemas quânticos evoluem através de

operadores unitários determinísticos. Portanto, uma porta quântica tem como entrada n qubits

e sobre eles realiza uma transformação linear unitária, devolvendo como saída os n qubits

alterados. Dado que computações quânticas são sempre unitárias, uma implicação direta é

que são também reversíveis, pois toda matriz unitária é invertível. A reversibilidade das

portas quânticas pode parecer, em um primeiro momento, restritiva, dado que portas lógicas

usuais, como as portas lógicas AND e OR, não são reversíveis — veja que se a saída de uma

porta AND for 0, não é possível identificar os valores de entrada. Porém sabe-se que

operações irreversíveis podem ser simuladas em portas quânticas, utilizando uma quantidade

polinomial de qubits adicionais Veremos agora algumas portas quânticas importantes e de

uso recorrente na computação quântica.

2.3.1. Porta de Hadamard

A porta de Hadarmard é uma porta de um qubit e pode ser representada pela seguinte matriz

unitária

H =

√

[

]

. Para registradores quânticos com mais qubits , pode-se aplicar a porta de Hadamard a cada

um dos bits individualmente. Isto produz o mesmo efeito que a porta de WalshHadamard,

representada pela matriz Wn, onde o valor da linha i e coluna j é:

W

n

( i , j )=− 1

i. j 1

√ 2

n

onde i · j denota o produto interno das representações binárias de i e j, modulo 2: i.e.

i· j = i

0

j

0

⊕ i

1

j

1

⊕ ... i

n − 2

j

n − 2

⊕i

n − 1

j

n − 1

Portanto, com a porta de Walsh-Hadamard, é possível gerar uma sobreposição equiprovável

de todos os elementos da base computacional, ou seja, todas as amplitudes terão a mesma

norma. Com essa superposição pode-se, por exemplo, computar o valor de uma função em

todos os pontos da base computacional de forma balanceada.

2.3.2. Portas controladas

Uma porta U-controlada é uma porta quântica que tem como entrada x bits controladores e y

bits alvo. Se algum bit controlador for | 0i, os valores dos bits alvo permanecem inalterados.

Caso o valor de todos os bits controladores sejam | 1i, a porta quântica U atua sobre os bits

alvo. Vejamos um exemplo com um qubit de entrada e um qubit controlador. Seja

U =

[

a b

c d

]

a transformação desejada sobre o qubit alvo. Então a porta controlada, c(U ), seria

representada por

c ( U )=

[

0 0 a b

0 0 c d

]

Portas controladas aparecem em vários algoritmos quânticos. Veremos a seguir uma porta

controlada especial.

Shor propôs algoritmos quânticos que computam fatores primos de grandes números e que

calculam o logaritmo discreto de um número, ambos com complexidade polinomial [34]. Os

melhores algoritmos clássicos conhecidos até o momento para resolver esses problemas

apresentam complexidade exponencial em tempo. Portanto, um computador quântico faria

com que problemas hoje considerados intratáveis pudessem ser resolvidos de forma eficaz.

Estes problemas são importantes pois são o cerne dos principais métodos criptográficos em

uso hoje em dia. Algoritmo de Grover. O Algoritmo de Grover resolve o problema de buscas

em um banco de dados desordenado, apresentando um ganho quadrático em relação aos

algoritmos clássicos. O ganho não é exponencial, como no caso dos algoritmos de Shor,

porém é possível aplicar seu resultado em muitos problemas importantes, inclusive a todos os

problemas da classe NP. Passeios quânticos. Análogo quântico aos passeios aleatórios, os

passeios quânticos descrevem o movimento de um caminhante condicionado a uma moeda

quântica, e tendo sua posição definida por uma sobreposição de estados. Um grande

diferencial dos passeios quânticos é que permitem trabalhar sobre estruturas muito

conhecidas como uma linha ou, mais genericamente, sobre um grafo qualquer. Diversos

algorit9 mos quânticos foram desenvolvidos utilizando o conceito de passeios quânticos

Alguns deles apresentam um ganho exponencial em complexidade de tempo em relação aos

algoritmos clássicos.

2.5. Computabilidade

Na computação clássica, o estudo da computabilidade nos permitiu classificar os problemas

quanto ao modelo computacional necessário para resolvê-lo, caso isso seja possível. Esse

estudo foi estendido à Computação Quântica, definindo-se modelos quânticos análogos para

autômatos finitos determinísticos (AFDs), autômatos de pilha (APs) e Máquinas de Turing

determinísticas (MTs). Verificou-se, porém, que varia o modo como cada modelo

computacional quântico se relaciona com sua contrapartida determinística. É sabido que o

conjunto das linguagens aceitas por 1-QFAs (autômatos finitos quânticos que só se movem

em uma direção) é um subconjunto próprio daquelas aceitas por AFDs. Já no modelo em que

é permitido mover-se nos 2 sentidos da fita de entrada (os 2-QFAs), estes aceitam um

superconjunto próprio das linguagens aceitas por AFDs [24]. Quando partimos para o estudo

das linguagens livres de contexto (LLC), que são aceitas por APs, ainda não foi encontrada

uma relação entre estas e aquelas aceitas por autômatos de pilha quânticos (QAPs), as QLLC.

Sabe-se, por exemplo, que toda LLC não-ambígua é também uma QLLC e que há QLLCs

que não são LLC [30]. Porém ainda não se sabe se o conjunto das LLC é um subconjunto

próprio das QLLC, ou se há linguagens LLC que não são QLLC. No quesito

computabilidade, Máquinas de Turing determinísticas são equivalentes às Máquinas de

Turing Quânticas1 , dado que é possível obter uma que simule a outra, e vice-versa.

Assume-se aqui que as amplitudes de transição da Máquina de Turing Quântica podem ser

computadas exatamente e em tempo polinomial. 10

2.6. Complexidade computacional

Nesta subseção, trataremos da eficiência computacional dos algoritmos quânticos. Com o

Algoritmo de Shor, surgiu a questão da existência de algoritmos quânticos capazes de

resolver de maneira eficiente algum problema que só pode ser resolvido de maneira

ineficiente no modelo clássico. O estudo da complexidade computacional quântica se

desenvolveu, definindo classes de complexidade análogas àquelas associadas ao modelo

computacional probabilístico. Apesar desta evolução, ainda hoje restam muitas questões em

aberto sobre como essas novas classes se relacionam com a classes de complexidade

clássicas. Denomina-se BQP a classe dos problemas que são resolvíveis de maneira eficiente

no modelo computacional quântico. Consegue-se, de maneira direta, provar a seguinte

estrutura entre certas classes de complexidade: P ⊆ BPP ⊆ BQP ⊆ PSPACE, onde P e BPP

são as classes de problemas que podem ser resolvidos de forma eficiente nos modelos

computacionais determinísticos e probabilísticos, respectivamente, e PSPACE é a classe de

problemas que podem ser resolvidos utilizado-se uma quantidade de memória de tamanho

polinomial em relação ao tamanho da entrada do problema, no modelo computacional

clássico. Um importante problema em aberto em teoria da computação é a relação exata entre

as classes P e PSPACE. O estudo da complexidade quântica ganha relevância, pois BQP 6=

BPP implicaria em P 6= PSPACE. Ou seja, se for encontrado um problema que pode ser

resolvido de maneira eficiente em computadores quânticos, mas não em modelos

probabilísticos (ou determinísticos), o problema P ?= PSPACE, em aberto há décadas, estaria

resolvido. Outro problema em aberto de grande importância é a relação entre as classes BQP

e NP. Esta última pode ser entendida como a classe de problemas para os quais pode-se

verificar certificados de soluções no modelo determinístico e de maneira eficiente. A 11

importância deste problema reside no fato de que há muitos problemas importantes em NP os

quais não se sabe se podem ser resolvidos de maneira eficiente classicamente. Então,

independente de uma implementação física. É com essas ferramentas que físicos,

matemáticos e cientistas da computação trabalham no desenvolvimento da Computação

Quântica e da Teoria da Informação Quântica.

Referencias Bibliográficas

(i) Ambainis e R. Spalek. Quantum algorithms for matching and network flow.Em

Proceedings of the 23rd International Symposium on Theoretical Aspects of

Computer

(ii) Science, pág. 172–183. Springer LNCS, 2006.

(iii) Andris Ambainis. Quantum lower bounds by quantum arguments. Em

Proceedings of the ACM Symposium on Theory of Computing, pág. 636–643, 2000.

(iv)Andris Ambainis. Quantum walks and their algorithmic applications. International

Journal of Quantum Information, 1:507, 2003.

(v) Andris Ambainis e Robert Špalek. Quantum algorithms for matching and network

(vi)flows. Em Proceedings of the 23rd Annual conference on Theoretical Aspects of

Computer

(vii) Science, STACS’06, pág. 172–183, Berlin, Heidelberg, 2006. Springer-Verlag.

(viii) https://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-

11172018000400406&lng=pt&tlng=pt

(ix)https://www.ictp-saifr.org/wp-content/uploads/2021/06/Fisica-em-Casa.pdf