Relatório Final
F 809 Instrumentação para Ensino
Projeto de ondas estacionárias circulares
Aluno: Luis Fernando Katsuda Ito Cypriano (RA: 016684)
Orientador: Prof.: Fernando Jorge da Paixão Filho
Coordenador: Prof.: José Joaquin Lunazzi
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Comparação entre ondas clássicas e ondas de partículas: Princípio de superposição, Resumos de Energia
Neste capítulo, abordamos o tipo especial de movimento de ondas, diferente do movimento de objetos sólidos. Apresentamos as diferenças fundamentais entre eles, incluindo a ausência de forças normais entre ondas e o princípio de superposição. Utilizamos exemplos práticos, como ondas em água e ondas em um pênisco, para ilustrar as ideias.
Tipologia: Resumos
2022
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Relatório Final
F 809 Instrumentação para Ensino
Projeto de ondas estacionárias circulares
Aluno: Luis Fernando Katsuda Ito Cypriano (RA: 016684)
Orientador: Prof.: Fernando Jorge da Paixão Filho
Coordenador: Prof.: José Joaquin Lunazzi
Unicamp, IFGW
Resumo:
O projeto consiste em apresentar uma onda estacionária gerada em uma tira circular. Esta onda é produzida pelas vibrações de um auto-falante nas freqüências características de cada harmônico da tira. São anotadas as freqüências que geram ondas estacionárias e quantidade de nós observáveis em tiras de raios diferentes. Com isso confrontamos os dados com a teoria de ondas em meios contínuos.
Introdução:
È muito importante que um aluno de ensino médio tenha conhecimento e familiaridade com o comportamento ondulatório. Este pode descrever inúmeros fenômenos. Entretanto a compreensão fenomenológica e matemática de uma onda são muito complexas. Em particular as ondas estacionárias representam um papel fundamental no conhecimento por serem mais simples de se entenderem pois são ondas que não evoluem no tempo (justam,ente estacionárias) facilitando a compreensão. As ondas estacionarias também são de grande importância prática, pois resultam de condições limitantes; por exemplo: ao limitar as extremidades da corda de um violão a forçamos vibrar em uma determinada freqüência. Sendo assim, o estudo das ondas estacionárias consiste em uma bela introdução ao conhecimento de ondas de uma forma mais geral. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma nova configuração de uma onda estacionária. Sendo esta a onda circular, cuja limitação que impomos é que a onda se repita após uma volta completa, senão ela não seria uma onda estacionária .Quando fixamos as extremidades de uma corda e causamos uma perturbação, puxando ela para cima, por exemplo, ela irá vibrar. Esta vibração é uma onda mecânica e tem necessariamente nós em suas extremidades. Como os nós estão fixos na ponta ela só pode vibrar de maneiras específicas, assim como é visto na figura1. Ou seja é como se dividíssimos a corda em um número inteiro de divisões – cada qual corresponde a um nó. Ou em outras palavras, para cada duas divisões associamos um comprimento de onda. Essas ondas são ditas estacionárias porque seus nós não evoluem com o tempo, permanecem estacionários. Então, para uma corda de comprimento L, teremos: Fig.1- Ao limitarmos o comprimento de uma corda vibrante obtemos ondas estacionárias
Fig. 2 – Ilustração das configurações permitidas para o caso de ondas estacionárias em uma corda vibrante e em um aro.
Montagem Experimental:
A montagem experimental apresentada inicialmente[1]^ foi modificada para uma montagem mais simples, mas de mesmos efeitos, com as seguintes vantagens:
- Por excesso de peso a membrana de um dos auto-falantes rompeu-se, então adotamos uma montagem mais leve.
- A montagem se tornou mais barata e mais simples para que um estudante de ensino médio possa construí-la. A montagem, por fim, consiste de um auto-falante de 6,5 Omhs (a impedância do auto-falante não altera nenhum resultado experimental, escolhemos este auto-falante por sugestão do vendedor quanto a qualidade da membrana). Fig.3 – Material utilizado Fig.4 – Rolo de papel higiênico colado no centro do auto-falante
Não precisamos utilizar a tampa de refrigerante, pois este auto-falante possui um “escudo” no centro da membrana que serve como base. Substituímos o cilindro de madeira por um rolo de papel higiênico e cortamo-lo ao meio. No topo cortamos duas fendas para que apóie um palito de sorvete em seu diâmetro. Colamos, então, o palito ao rolo e este no “escudo da membrana”. Ao invés de utilizarmos tiras metálicas, optamos por tiras de plásticos de embalagens circulares como embalagens de paçoca, balas, etc... Utilizamos o osciloscópio e o gerador de freqüências do laboratório de ensino LF-25 que nos permitem uma análise e seleção muito precisa quanto as freqüências utilizadas. Fig.6 – Aparato experimental, o auto-falante está ligado a um gerador de freqüências e a um osciloscópio. Fig.5 – Aro de plástico encaixado no suporte.
Apêndices
Ap.1 – Solução para ondas estacionárias em uma dimensão – Corda com
extremidades fixas:
Fig. 7 – configurações possíveis para a corda de comprimento a Como podemos ver através da fig.7 a onda pode ser descrita como uma senóide, e podemos representa-la pela seguinte função: (6) Onde A é a amplitude da onda, K é dado por:
V
k
E ω é a frequencia angular. Esta equação já mostra naturalmente que na posição x = 0 existe um nó, ou seja ψ = 0 também. Vamos, agora, impor a condição de que na posição x = L também tenhamos a função da onda nula, isso implica que:
sen ( KL − ω. t )= 0 (8)
Como a onda é estacionária, não depende do tempo, logo:
sen ( KL )= 0
KL = n π n = 0, 1, 2, 3...
L n
V
L n
V
f
L
nV
f
= n = 1, 2, 3...
Repare que não consideramos o valor de n=0, pois isso significa que não há oscilação, este estado representaria a corda não perturbada. Este é o resultado discutido na introdução deste relatório. Apresentamos, então, em uma linguagem mais formal e através de dedução matemática a validade da eq. (3).
Ap.2 – Solução para ondas estacionárias circulares
Para a dedução das freqüências permitidas para uma onda estacionária circular partiremos do seguinte princípio: Uma onda plana é uma onda de freqüência constante cuja frente de onda (superfícies com fase constante) são infinitos planos paralelos, de amplitudes constantes, normais ao vetor velocidade de fase. Com esta noção, podemos considerar a onda estacionária circular em questão como uma componente de uma onda plana, cuja frente são planos radiais e sempre perpendiculares ao vetor velocidade que é tangencial. Sabemos que a equação de uma onda plana em uma dimensão é dada por:
Ψ ( x , t )= exp[ i ( Kx − ω t )] (9)
Da mesma forma que no apêndice anterior, nossa onda é estacionária e independente do tempo:
Ψ ( x ) = exp( iKx ) (10)
Entretanto em coordenadas polares x=Rθ:
Ψ ( θ )= exp( iKR θ ) (11)
Aplicando, agora, a condição de que a onda se repita após uma volta completa, ψ(θ)= ψ(θ+2π):
− ∇ Ψ + V x Ψ = E Ψ
m
2 2
Onde V(x) é o potencial sobre o qual a partícula sofre ação, m é a massa da partícula e é a constante de plank dividido por 2π. A solução destas equações em coordenadas radiais com a condição de contorno necessárias nos permite deduzir que em ambos os casos as ondas estacionárias só poderão ter comprimentos de ondas inteiros e são restritos ao vínculo (4): É importante perceber que no caso das ondas com extremos fixos, a solução de ondas estacionárias permite comprimentos de onda cujos múltiplos inteiros ou semi-inteiros caibam dentro de L. No caso de uma onda circular teremos somente múltiplos inteiros. Esse resultado é muito importante, pois refletirá nas energias permitidas para um elétron ligado – é fácil observar pela equação de Schroedinger que a solução para a função de onda permitida está intimamente ligada a energia da partícula. Este resultado é uma prova direta que o aprisionamento de um elétron – que consiste em atar sua função de onda em uma simetria esférica – resulta em discretização de sua energia.
Referências:
[1] (^) Feira de Ciências: www.feiradeciencias.com.br Este site contém vários experimentos lúdicos detalhadamente e comentando seus princípios. [2] (^) http://www.lightandmatter.com/html_books/3vw/ch03/ch03.html Este site , em inglês, possui muita informação e exemplos de ondas. Apresenta seções separadas para perturbações em cordas, som e luz e efeito dopler, além de exercícios no final. [3] (^) Fundamentos de Física 2; Halliday, D.; Resnick,R.; Walker,J. [4] (^) http://kestrel.nmt.edu/~raymond/classes/ph13xbook/node1.html Compêndio didático sobre física moderna, possui seções de ondas, dinâmica de múltiplas partículas e relatividade especial a termodinâmica e física nuclear. Cada capítulo possui uma lista de exercícios como última seção. [5]Fisica Quantica; Eisberg, Robert; Resnick, Robert [6]Classical dynamics of particles and systems ; Marion, Jerry B.; Thornton, Stephen T [7] (^) www.unb.br/iq/kleber/CursosVirtuais/QQ/aula- 7 /aula- 7 .htm
. Aulas do professor Profs. Kleber Mundim da Universidade de Brasília
Anexos:
A-
Anexo referente a [1].
Ondas estacionárias circulares
(Ondas de De Broglie) Prof. Luiz Ferraz Netto leobarretos@uol.com.br Apresentação Em 1924, Louis de Broglie propôs uma teoria segundo a qual os elétrons possuem uma onda associada, que influenciaria nas características de seu movimento. A tese de De Broglie foi aperfeiçoada por Erwin Schrödinger, que usou-a para chegar, em 1926, ao que é hoje a mais usada formulação matemática da Mecânica Quântica (a equação de Schrödinger). A teoria ondulatória conseguiu explicar como os elétrons dos átomos não podem possuir qualquer energia, e, conseqüentemente, não podem ocupar qualquer órbita ao redor do núcleo, mas apenas algumas pré-determinadas - um caso particular do fenômeno da quantização da energia. A existência de apenas algumas freqüências permitidas em vibrações de estruturas circulares (no caso dos elétrons, as freqüências de suas "ondas de De Broglie" correspondem às suas energias) é um efeito natural que ocorre com qualquer tipo de onda. Isso pode ser compreendido qualitativamente através do experimento abaixo, que mostra como ondas distribuídas em tiras metálicas circulares só ocorrem em certas freqüências determinadas. O experimento pode ser feito com material acessível a qualquer pessoa. O experimento Objetivo Visualizar ondas estacionárias que se estabelecem sobre um aro metálico flexível; visualizar a formação de sistemas estacionários harmônicos; ilustrar qualitativamente o modelo teórico do elétron-onda e as ondas de De Broglie. Material Base de madeira de (15 x 20 x 1) cm; alto-falante de 5" e 8 ohms; 2 tiras metálicas flexíveis de (450 x 10 x 0,6) mm e (33 x 10 x 0,6) mm; uma tampa plástica para refrigerantes;
Procedimento Liga-se o gerador de áudio e ajusta-se a freqüência de modo que se possa observar duas ondas estacionárias transversais completas no aro de maior diâmetro. Ajusta-se a intensidade do sinal do gerador para que a onda não apresente amplitude exagerada. Se o aro interno ficou devidamente ajustado (se isso não acontecer, basta soltar seu parafuso de fixação e ajustar novamente o diâmetro do círculo) começará a ressoar no segundo harmônico. A freqüência do sinal pode ser ajustado para várias 'soluções' da equação da onda que se estabelece estacionariamente. Temos ai uma 'bela' visualização de ondas estacionários circulares e o fenômeno da ressonância. Todavia, a ilustração não faz jus ao que realmente se observa; convém ver na prática.
Nota final : Esse experimento faz parte de uma excelente reportagem apresentada pela Comciencia e pode ser visto em www.comciencia.br/reportagens/fisica/fisica07.htm.
A-
Este anexo está relacionado ao relatório parcial e está incluído aqui a pedido do coordenador e foi base da discussão sobre ondas nos relatórios, ref [2]:
Chapter 3. Free Waves
Your vocal cords or a saxophone reed can vibrate, but being able to vibrate wouldn't be of much use unless the vibrations could be transmitted to the listener's ear by sound waves. What are waves and why do they exist? Put your fingertip in the middle of a cup of water and then remove it suddenly. You will have noticed two results that are surprising to most people. First, the flat surface of the water does not simply sink uniformly to fill in the volume vacated by your finger. Instead, ripples spread out, and the process of flattening out occurs over a long period of time, during which the water at the center vibrates above and below the normal water level. This type of wave motion is the topic of the present chapter. Second, you have found that the ripples bounce off of the walls of the cup, in much the same way that a ball would bounce off of a wall. In the next chapter we discuss what happens to waves that have a boundary around them. Until then, we confine ourselves to wave phenomena that can be analyzed as if the medium (e.g., the water) was infinite and the same everywhere. It isn't hard to understand why removing your fingertip a / Dipping a finger in some water, 1, causes a disturbance that spreads outward, 2. b / The two circular patterns of ripples pass through each other. Unlike material objects, wave patterns can overlap in space, and when this happens they combine by addition.
Experiments to date have not shown any deviation from the principle of superposition in the case of light waves. For other types of waves, it is typically a very good approximation for low-energy waves. Discussion Question ◊ In figure c, the fifth frame shows the spring just about perfectly flat. If the two pulses have essentially canceled each other out perfectly, then why does the motion pick up again? Why doesn't the spring just stay flat?
2. The medium is not transported with the wave.
g / Example 3 : a breaking wave. h / Example 4. The boat has run up against a limit on its speed because it can't climb over its own wave. Dolphins get around the problem by leaping out of the water. i / Circular and linear wave patterns. c / These pictures show the motion of wave pulses along a spring. To make a pulse, one end of the spring was shaken by hand. Movies were filmed, and a series of frame chosen to show the motion. 1. A pulse travels to the left. 2. Superposition of two colliding positive pulses. 3. Superposition of two colliding pulses, one positive and one negative. d / As the wave pattern passes the rubber duck, the duck stays put. The water isn't moving forward with the wave.
Figure d shows a series of water waves before it has reached a rubber duck (left), having just passed the duck (middle) and having progressed about a meter beyond the duck (right). The duck bobs around its initial position, but is not carried along with the wave. This shows that the water itself does not flow outward with the wave. If it did, we could empty one end of a swimming pool simply by kicking up waves! We must distinguish between the motion of the medium (water in this case) and the motion of the wave pattern through the medium. The medium vibrates; the wave progresses through space. self-check: In figure e, you can detect the side-to-side motion of the spring because the spring appears blurry. At a certain instant, represented by a single photo, how would you describe the motion of the different parts of the spring? Other than the flat parts, do any parts of the spring have zero velocity? (answer in the back of the PDF version of the book) Example 1: A worm The worm in the figure is moving to the right. The wave pattern, a pulse consisting of a compressed area of its body, moves to the left. In other words, the motion of the wave pattern is in the opposite direction compared to the motion of the medium. Example 2: Surfing The incorrect belief that the medium moves with the wave is often reinforced by garbled secondhand knowledge of surfing. Anyone who has actually surfed knows that the front of the board pushes the water to the sides, creating a wake --- the surfer can even drag his hand through the water, as in in figure f. If the water was moving along with the wave and the surfer, this wouldn't happen. The surfer is carried forward because forward is downhill, not because of any forward flow of the water. If the water was flowing forward, then a person floating in the water up to her neck would be carried along just as quickly as someone on a surfboard. In fact, it is even possible to surf down the back side of a wave, although the ride wouldn't last very long because the surfer and the wave would quickly part company. j / Plane and spherical wave patterns.
A-
Este anexo refere-se à referência [7]: Aula-
- A Mecânica Ondulatória e o Significado de Ψ
- Princípio da Incerteza de Heisenberg
2- A Mecânica Ondulatória e o Significado de Ψ
Vimos que com as observações experimentais sobre o efeito de interferência no caso da matéria, assim como da luz, tornou-se claro que ambas, matéria e radiação, têm comportamento ondulatório. Por outro lado, o efeito fotoelétrico indica que a luz se comporta como uma coleção de partículas viajando como velocidade c = 300.000 km/s. Estas partículas foram chamadas de fótons. Sabemos também, que os elétrons comportam- se como se fossem partículas, mesmo sabendo que eles podem produzir também efeitos de interferência. Como podemos reconciliar este aparente conflito? Isto é, tanto a matéria quanto a luz têm comportamentos duais onda-corpúsculo? Em 1926, Max Born sugeriu uma unificação pictórica para estes conceitos introduzindo o significado de amplitude de onda de matéria. Max Born Primeiro, vamos lembrar que a densidade de energia de uma onda eletromagnética, ou energia por unidade de volume, é proporcional ao quadrado de sua amplitude (A^2 ). Isto pode ser demonstrado usando as equações de Maxwell para o eletromagnetismo (veja apêndices 1 a 3 ). Isto significa que;
Levando em conta o comportamento corpuscular da luz (fóton), sua energia é igual a E = n(hν), onde ν é a freqüência da luz e n é o número de fótons. Dai tiramos que; Das duas últimas equações vemos que o número de fótons por unidade de volume é proporcional ao quadrado da amplitude da radiação eletromagnética. Isto é, Isto levou Born assumir que a onda de matéria, representada pela função Ψ(x,t), tem uma amplitude tal que o seu quadrado é igual ao número de partículas por unidade de volume, Esta conexão, tanto para as radiações eletromagnéticas quando para as ondas de matéria, produzia um casamento perfeito entre os conceitos onda e partícula. Para entender um pouco dessas perturbações vamos estudar um problema simples, unidimensional, dado pelos movimentos possíveis de uma partícula de massa m situada entre paredes rígidas, separadas entre si por uma distância d , como se vê na Fig.1. A função de onda pode ser obtida por analogia com um problema conhecido de Mecânica, os dos modos naturais de vibração de uma corda de comprimento d , fixa em uma de suas extremidades, como mostra a Fig.1.