Projeção de Bonne: Método e Características, Esquemas de Geodésia e Cartografia

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GABRIELLY DA SILVA HENRIQUE

JOÃO PAULO DE SOUZA

PEDRO AUGUSTO JACINTO

CARTOGRAFIA II

PROJEÇÃO DE BONNE

Inconfidentes - MG

Sumário

• 1. INTRODUÇÃO
• 2. REFERENCIAL TEÓRICO
• 3. OBJETIVOS
  • 3.1. OBJETIVO GERAL
  • 3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• 4. METODOLOGIA
  • 4.1. QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS PARA O CONE:
  • 4.2. DETERMINAÇÃO DE 𝜌
  • 4.3. EQUAÇÕES DE PROJEÇÃO PARA O ELIPSOIDE
    • 4.3.1. Transformação da coordenada cartesiana para geodésica (elipsoide)
    • 4.4.1. Transformação da coordenada cartesiana para geográfica (esfera)
• 5. RESULTADOS
• 6. CONCLUSÃO
• 7. REFERÊNCIAS
• 8. ANEXOS
  • 8.1. QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS
  • 8.2. QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS PARA A ESFERA
• 9. APÊNDICE

3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Detalhar matematicamente os procedimentos necessários para a

representação da projeção de Bonne, discorrendo sobre suas aplicações e

características.

4. METODOLOGIA

Figura 1 - Ilustração dos elementos de uma projeção cônica

Parte-se para a dedução do sistema de projeção da projeção de Bonne, que no

caso seria um cone que pode ser representado em coordenadas polares:

Figura 2 - Sistema Coordenadas Polares

As equações do sistema de coordenadas polares são:

𝑋 = 𝜌 sin(𝜃) (1)

0

− 𝜌 cos(𝜃) (2)

As curvas paramétricas do sistema de projeção são:

4.1. Quantidades fundamentais de Gauss para o cone:

Para a superfície de projeção (cilindro, cone ou plano) dada em função de suas

próprias curvas, usam-se E’, F’ e G’ para as quantidades fundamentais de Gauss.

(TEORIA, 20 0 4, p.11)

′

2

2

′

′

2

2

Escrevendo as equações para as quantidades fundamentais de Gauss em

função das curvas paramétricas do cone:

′

2

2

′

′

2

2

Deduzindo a quantidade fundamental de Gauss para 𝐸

′

𝜌 sin

= sin

0

− 𝜌 cos(𝜃))

= − cos(𝜃)

Substituindo os valores de

𝜕𝑋

𝜕𝜌

e

𝜕𝑌

𝜕𝜌

em 𝐸

′

′

= (sin(𝜃))

2

• (− cos(𝜃))

2

′

= sin

2

(𝜃) + cos

2

′

4.2. Determinação de 𝜌 0

Figura 3 – Geometria na determinação de 𝜌

0

Pelo triângulo ∆𝐴𝐵𝐶:

Figura 4 – Triângulo ABC

Pela somatória dos ângulos internos temos que:

0

Substituindo 𝛽 na equação ( 4 ):

0

0

0

Assim temos que:

Figura 5 – Triângulo ABC com os ângulos definidos

Aplicando a relação trigonométrica da tangente tem-se que:

tan(𝜑

0

0

0

0

0

tan(𝜑

0

0

0

cot

0

Onde:

0

2

sin

2

0

1 / 2

4.3. Equações de projeção para o elipsoide

Para a projeção de Bonne é imposta a condição que a coordenada polar do

círculo do paralelo em uma latitude φ será: (PEARSON, 1990, 118)

0

𝜑

𝜑

0

A integral acima se trata do arco do meridiano.

será:

1

2

Como a projeção de Bonne se trata de uma projeção equivalente, de acordo

com GALO (2011, p.5) a condição de equivalência será satisfeita por:

𝑆𝑅

𝑆𝑃

2

2

2

2

Utilizando a matriz de transformação que tem como equações:

2

= [

] [

]

2

De acordo com GALO (2011, p.5) [

𝜕𝑈

𝜕𝑢

𝜕𝑈

𝜕𝑣

𝜕𝑉

𝜕𝑢

𝜕𝑉

𝜕𝑣

] é o determinante Jacobiano de (U,

V) em relação a (u, v).

Substituindo a equação ( 9 ) em ( 10 ):

2

= [

] [

]

2

Sabe-se que o valor de 𝑒, 𝑔, 𝑓 são as quantidades fundamentais da Gauss para

a elipse que tem como valores de acordo com o Anexo 7.1:

2

2

cos

2

De acordo com as quantidades fundamentais de Gauss o termo 𝑓 será igual a

zero na equação ( 11 ).

É definido que as curvas paramétricas são:

Reescreve-se então a equação ( 11 ) da seguinte forma:

𝑒𝑔 = [

]

[

𝜕𝜆]

2

Substituindo o valor das quantidades fundamentais de Gauss para o elipsoide

(equação 1 2 ) e para o cone (equação 3) na equação ( 14 ):

2

2

cos

2

= [

2

]

[

𝜕𝜆]

2

Tomando as derivadas do Jacobiano da equação ( 6 ):

𝜕𝜌

𝜕𝜑

𝜕𝜌

𝜕𝜆

Substituindo a equação ( 16 ) na equação ( 15 ):

2

2

cos

2

= [

2

] [

]

2

Desenvolvendo a equação ( 17 ):

2

2

cos

2

2

2

2

𝑁 cos(𝜑) = 𝜌 (

Convertendo a eq. ( 18 ) em uma equação diferencial ordinária e integrando

considerando 𝜑 e 𝜌 como constantes tem-se:

𝑁 cos

𝑑𝜆 ∙ 𝑁 cos(𝜑) = 𝜌 𝑑𝜃

𝑁 cos

𝑁 cos(𝜑)

𝑁 cos

Impondo a condição que quando 𝜃 = 0 , o valor de 𝜆 = 𝜆

0

temos após substituir

na eq. ( 19 ):

4

4

6

8

10

6

6

8

10

8

8

10

10

10

4.3.1. Transformação da coordenada cartesiana para geodésica (elipsoide)

A transformação inversa é realizada conhecendo os parâmetros do elipsoide,

o valor da coordenada X e Y, 𝜑

0

0

1

e 𝜌

0

calculados a partir de 𝜑

0

Rearranjando a equação ( 22 ):

= sin (

𝑁 cos(𝜑)

0

= cos (

𝑁 cos

sin

2

𝑁 cos

∆𝜆) + cos

2

𝑁 cos

2

0

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

0

2

A equação (23) terá o sinal negativo ou positivo dependendo do sinal de 𝜑

0

Substituindo 𝜌

0

em (23):

2

0

cot(𝜑

0

2

(24)

Encontrando o complemento do arco de paralelo para a latitude de interesse

da coordenada X, Y indicada:

0

1

2

2

0

cot

0

1

De acordo com SNYDER (1987, p. 1 40 ) o processo para encontrar a latitude

sem realizar iterações é realizado da seguinte forma:

2

[𝑎 ( 1 −

2

4

6

− ⋯ )]

1

2

2

1

1

3

• ⋯ ) sin 2 𝜇 + (

1

2

1

4

• ⋯ ) sin 4 𝜇

1

3

− ⋯ ) sin 6 𝜇 + (

1

4

− ⋯ ) sin 8 𝜇 + ⋯

Parte-se agora para a dedução da longitude rearranjando a equação de X da

eq. (22):

= sin (

𝑁 cos(𝜑)

acos (

𝑁 cos(𝜑)

acos (

𝑁 cos

0

acos (

𝑁 cos(𝜑)

acos (

𝑁 cos

0

4.4. Equações de projeção para a esfera

Para a projeção de Bonne é imposta a condição que a coordenada polar do

círculo do paralelo em uma latitude φ será: (PEARSON, 1990, 118)

0

𝜑

𝜑

0

Como a projeção de Bonne se trata de uma projeção equivalente, de acordo

com GALO (2011, p.5) a condição de equivalência será satisfeita pela equação (9).

Utiliza-se a matriz de transformação da equação (11); sabe-se que o valor de

Impondo a condição que quando 𝜃 = 0 , o valor de 𝜆 = 𝜆

0

temos após substituir

na eq. (36):

𝑅 cos

0

𝑅 cos(𝜑)

0

Substituindo 𝐶 na eq. (36):

𝑅 cos

𝑅 cos

0

𝑅 cos

0

𝑅 cos(𝜑)

Onde ∆𝜆 = (𝜆 − 𝜆

0

Resumindo, as equações finais serão após substituir a eq. ( 38 ) em (1) e (2):

𝑋 = 𝜌 sin (

𝑅 cos(𝜑)

0

− 𝜌 cos (

𝑅 cos

Onde:

0

0

Integrando a equação (30) obtém-se:

0

0

4.4.1. Transformação da coordenada cartesiana para geográfica (esfera)

A transformação inversa é realizada conhecendo os parâmetros do elipsoide,

o valor da coordenada X e Y, 𝜑

0

0

, 𝑅 e 𝜌

0

calculado a partir de 𝜑

0

Rearranjando a equação ( 39 ):

= sin (

𝑅 cos

0

= cos (

𝑅 cos(𝜑)

sin

2

𝑅 cos

∆𝜆) + cos

2

𝑅 cos

2

0

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

0

2

A equação ( 41 ) terá o sinal negativo ou positivo dependendo do sinal de 𝜑

0

Substituindo 𝜌

0

em ( 41 ):

2

𝑅 cot

0

2

( 42 )

O valor da latitude utiliza-se a equação (40) e isolando o valor de 𝜑:

𝜑 = cot( 𝜑

0

0

Parte-se agora para a dedução da longitude rearranjando a equação de X da

eq. (39):

= sin (

𝑅 cos(𝜑)

acos (

𝑅 cos(𝜑)

acos (

𝑅 cos

0

acos (

𝑅 cos(𝜑)

acos (

𝑅 cos(𝜑)

0

5. RESULTADOS

Para o elipsoide: Método direto

𝑋 = 𝜌 sin (

𝑁 cos

0

− 𝜌 cos (

𝑁 cos(𝜑)

7. REFERÊNCIAS

BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas. DH21-1, 1965. 242p.

CARVALHO, Edilson Alves de. Leituras cartográficas e interpretações

estatísticas I: geografia / Edilson Alves de Carvalho, Paulo César de Araújo. –

Natal, RN EDUFRN, c2008. 248 p.

GALO, Mauricio. NOTAS DE AULA - CARTOGRAFIA II. UNESP - Departamento de

Cartografia, 2011. 104 p.

CARTOGRAFIA. Sebenta de apoio às aulas teóricas da disciplina de Cartografia

2019/2020. Licenciatura em Engenharia Geoespacial, 92 p.

TEORIA das Distorções Conceito de Distorções de Escala e Propriedades das

Projeções Cartográficas, Subsídio para aulas das Projeções Cartográficas,

baseado no capítulo 3 do livro Map Projections for Geodesists, Cartographers and

Geographers de Richardus, P. e Adler, R., Curitiba, 2004, 17 p.

PEARSON, Frederick. Map Projections : Map Projections: Theory and Applications.

2. ed. Florida: CRC Press, 1990. 388 p.

DEAKIN, R. E. THE LOXODROME ON AN ELLIPSOID. School of Mathematical &

Geospatial Sciences , Australia, 2010. 20 p.

SNYDER, J. P. Map Projections – A Working Manual. Washington: United States

Government Printing Office, 1987. U. S. Geological Survey Professional Paper 1395.

8. ANEXOS

8.1. QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS

As equações do elipsoide são:

𝑥 = 𝑁 cos

cos

𝑦 = 𝑁 cos

sin

2

sin

Onde:

2

sin

2

1 / 2

2

2

2

2

2

2

sin

2

3 / 2

Considerando as equações das quantidades fundamentais de Gauss para a

superfície de referência:

2

2

2

2

2

2

Sabe-se que as curvas paramétricas do elipsoide são:

Então, pode-se reescrever as equações das quantidades fundamentais de

Gauss:

2

2

2

2

2

2

Para a quantidade 𝑒, pode-se deduzi-la derivando

𝜕𝑥

𝜕𝜑

𝜕𝑦

𝜕𝜑

𝜕𝑧

𝜕𝜑

[𝑁 cos(𝜑) cos(𝜆)]