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O algoritmo de busca de armijo e a definição de pontos de cauchy em contexto de otimização de funções quadráticas. O texto explica as condições de convergência e a importância desses pontos na solução do problema. Além disso, são apresentados conceitos relacionados à matriz jacobiana e a aproximação linear de funções.
Tipologia: Notas de estudo
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Dissertação submetida ao Curso de Pós- Graduação em Matemática e Computação Científica, do centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática, com Área de concentração em Otimização.
Eu gostaria de agradecer a Deus e a seu filho Jesus Cristo que proporcionam tantas oportunidades para que eu me torne uma pessoa melhor.
Agradeço a minha noiva Nina, que com seu carinho, abraços e beijos, me incentiva a estudar e me motiva a viver uma vida digna e com bastante amor.
Sou muito grato aos meus pais, Hans e Marilise Behling, pelo sempre auxílio financeiro e pela educação de ponta que me ofereceram.
Ao meu irmão e melhor amigo Ronan Behling por sempre ser boa companhia e fonte de auto-estima.
Agradeço ao meu professor orientador Clovis Caesar Gonzaga pela maneira humana e científica de ensinar e pelo modo apaixonante como encara a Matemática, a história da Matemática e em particular sua pesquisa em Otimização.
Obrigado à banda New Rose por servir de ponte entre arte e ciência na minha vida.
Obrigado a todos os meus amigos, professores e familiares que estão passando, e que já passaram pela minha vida deixando um pouco de si.
Neste trabalho nós estudamos alguns métodos de Programação não Linear restrita e
irrestrita dando ênfase ao problema que dá título a esta dissertação. No primeiro capítulo
são estudados e enunciados métodos como os de Cauchy, Newton, Armijo, Região de
Confiança e Dog Leg. No segundo, estudamos Programação Quadrática Seqüencial (PQS)
pelo método de Restauração Inexata, que executa em cada iteração um passo de viabilidade
e um de otimalidade. Nosso objetivo específico foi tratar do passo de otimalidade,
conhecido como passo tangente do PQS, que na nossa proposta consiste em minimizar uma
quadrática convexa numa caixa sobre uma variedade afim. Neste sentido, o terceiro
capítulo surge para tratar do problema de barreira com o objetivo de definir centro analítico
de um poliedro e trajetória central primal. Conceitos de muita importância para resolver, no
último capítulo, o problema de minimização de uma quadrática convexa numa caixa sobre
uma variedade afim. No tratamanto deste, utilizamos um método de pontos interiores
primal-dual de trajetória central, em que nossa escolha de um ponto inicial primal-dual
viável é original, representando um novo resultado em Matemática.
Wathen e Armand [5], exceto pelo fato de estarmos sujeitando a minimização em questão a uma variedade afim.
Essa motivação nos propiciou o objetivo de trabalhar com um algoritmo de pontos interiores para minimizar uma quadrática convexa numa caixa sobre uma variedade afim. O artigo [5] apresentou um algoritmo tal qual, mas toda ênfase foi movida à Álgebra Linear da problemática, ao contrário da nossa análise que foi motivada em direção ao algoritmo de pontos interiores primal-dual que desenvolvemos. Deste modo acabamos nos focando bastante na obtenção de um par primal-dual inicial viável com certas propriedades, que culminou num resultado novo.
O primeiro dos quatro capítulos desta dissertação se destina a enunciar os algoritmos de Programação não Linear Irrestrita de Cauchy e de Newton, explanar a busca unidirecional feita por Armijo, introduzir o método de Região de Confiança e enunciar a Trajetória Dog Leg. Neste capítulo veremos o conceito de trajetória ótima de Região de Confiança que será muito importante quando propusermos um par primal-dual inicial viável para nosso problema alvo. Provas de convergência envolvendo os assuntos do primeiro capítulo se encontram em livros gerais de Programação não Linear como [3] e [21].
O segundo capítulo se destina a um estudo do método PQS ([20] e [22]) em meio a problemas de otimização restrita com restrições de igualdade. Apresentamos então o método, chamado de Restauração Inexata ([15] e [16]), que executa passos de viabilidade e de otimalidade. O de viabilidade, chamado de Passo Normal foi objeto de estudo de Francisco [7]. Já o de otimalidade, chamado de Passo Tangente foi alvo de estudo da nossa dissertação. Toda a análise deste segundo capítulo está sedimentada sobre as condições de Karush-Kunn-Tucker (KKT) ([3] e [21]).
O objetivo do terceiro capítulo, além de ser um estudo do método de Barreiras em termos de conceituação e convergência, é de definir centro analítico de um poliedro e
trajetória central primal. Definições que serão de extrema importância para o desenvolvimento do quarto capítulo.
O quarto, e último capítulo, destina-se à resolução do problema de minimizar uma quadrática convexa numa caixa sobre uma variedade afim. De princípio tratamos de reescrever este problema de modo a deixá-lo numa forma, a qual chamamos de padrão, que nos possibilitou uma melhor abordagem sob o aspecto das condições de KKT. Após reescrevê-lo propomos uma maneira de encontrar um ponto primal-dual viável, tendo como hipótese a saída de um ponto primal que é centro analítico do conjunto primal viável. Dividimos este estudo em duas partes. Uma quando o centro analítico mencionado for o vetor unitário, e a outra quando não for. Se não for, apresentamos uma mudança de escala. A partir de então nos prendemos ao desenvolvimento de um algoritmo de pontos interiores baseados em [10], [11] e [24] para enfim propor um passo de otimalidade do método PQS, ou seja, o Passo Tangente.
Considere o problema de minimização de uma função de classe a
partir de um ponto numa direção. O método de busca de Armijo não tenta resolver o problema proposto, visa entretanto, uma boa redução de ao longo de.
Dados e um número real
f (^) 0 : Rn^ → R C^2 x k^ ∈ R^ n d ∈ Rn f (^) 0 d x k^ , d ∈ R^ n ρ > 0 buscamos λ ∈ [ 0 , ρ] tal que f (^) 0 ( xk^ +λ d ) < f 0 ( xk ). Para isto usamos um modelo linear de^ f 0 , definido por m ( λ) = f 0 ( xk ) +λ∇ f 0 ( xk ) T d
ared = f 0 ( xk ) − f 0 ( xk + λ d ), redução efetiva de f 0. pred = m ( ) 0 − m (λ ) =λ∇ f 0 ( xk ) T d , redução prevista pelo modelo.
Algoritmo 1.1 Busca de Armijo
λ = ρ Calcule ared = f 0 ( xk^ ) − f 0 ( xk + ρ. d ) pred =ρ.∇ f 0 ( xk ) T d Enquanto ared < α. pred λ = 0 , 6 λ pred =λ.∇ f 0 ( xk ) Td ared = f 0 ( xk^ ) − f 0 ( xk + λ. d ) Fim
Seja como na seção 1.1. O método de Cauchy serve para abordar essencialmente
problemas de minimização irrestrita. Ele utiliza a direção de máximo declive a partir de um ponto , ou seja, a direção dada pelo gradiente da função objetivo em , no sentido oposto. Em seguida faz uma busca ao longo dessa direção. Não daremos muita ênfase à precisão na minimização unidirecional, pois nosso objetivo apenas se restringe a uma boa redução da função objetivo. Deste modo utilizaremos o método de Armijo para achar um
ponto tal que se tenha uma certa redução da função objetivo sobre a direção em questão. A seguir temos o algoritmo de Cauchy com busca de Armijo.
f 0
x k^ ∈ R^ n xk
x k^ +^1 ∈ R^ n
Algoritmo 1.2 Método de Cauchy com Busca de Armijo
k = 0 ;
Enquanto ∇ f 0 ( x k ) ≠ 0
Faça d = −∇ f 0 ( xk ); Calcule λ , passo advindo do método de Armijo na busca unidirecional, se existir; Se não existir solução, PARE com fracasso; x k +^1 = xk + λ d ; Faça k = k + 1.
O Algoritmo de Cauchy é globalmente convergente. Contudo, possui apenas convergência linear (veja [20]).
Considere o modelo linear de f 0 a partir de um ponto x fixo
primeiro ponto que satisfaz ared = α. pred é chamado Ponto de Armijo.
O parágrafo anterior se refere ao Armijo com modelo linear exposto na seção 1.1. Entretanto, se conhecemos a hessiana de em , ou uma aproximação da mesma, podemos utilizar um modelo quadrático de. Então, para ,
f (^) 0 x
Observe que para dado, esta função é ou constante, ou ilimitada inferiormente (se ), ou possui um único minimizador. No ultimo caso, o minimizador é dado pelo valor de
d ∈ R^ n
Desta maneira achamos o minimizador do modelo quadrático a partir de x na direção d , dado por
m
f x d T 0 T min λ =−^ ∇
Figura 1
propor então um algoritmo bem parecido com o Armijo com modelo linear, tendo como única distinção o fato de agora usarmos o modelo quadrático de. Para o algoritmo a seguir não é necessária a hipótese de convexidade.
f 0
Algoritmo 1.4 Armijo com modelo quadrático
Senão λ = ρ Calcule ared = f 0 ( xk ) − f 0 ( xk + λ d ) pred = m ( xk ) − m ( xk + λ d ) Enquanto ared < α. pred λ = 0 , 6 λ pred = m ( xk ) − m ( x k + λ d ) ared = f 0 ( x k ) − f 0 ( x k + λ d ) Fim
