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HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2008.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 3 – VETORES
16. Na soma A + B = C , o vetor A tem um módulo de 12,0 m e um ângulo de 40,0o^ no sentido anti- horário em relação ao semi-eixo x positivo, e o vetor C tem um módulo de 15,0 m e um ângulo de 20,0o^ no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo x negativo. Determine (a) o módulo de B e (b) o ângulo de B em relação ao semi-eixo x positivo. ( Pág. 59 )
Solução.
Considere o esquema abaixo, que mostra os vetores A e C :
(a) O módulo de B é calculado por meio da seguinte relação:
2 2 B B x By (1)
Portanto, precisamos agora calcular Bx e By para, em seguida, substituí-los em (1). Esse cálculo pode ser feito por meio das duas equações escalares contidas na equação vetorial A + B = C. A primeira delas é:
Ax Bx Cx A cos (^) A Bx C cos C Bx A cos (^) A C cos C
Bx 12,0 m cos 40,0 15,0 m cos 20,0 23, 2879 m
A segunda equação escalar é:
Ay By Cy
A sen (^) A By C sen C
By A sen (^) A C sen C
By 12,0 m sen 40,0 15,0 m sen 20,0 12,8437 m
Substituindo-se os valores de Bx e By em (1), teremos:
2 2 B 23, 2879 m 12,8437 m 26,5949 m
B 26,6 m
(b) O ângulo que B faz em relação ao semi-eixo x positivo é dado por:
x
y A
C
A C
Cx
Cy
Ax
Ay
2
tan 1 tan 1 12,8437^ m 28, 23, 2879 m
y B x
B
B
Embora a calculadora forneça como resultado para (^) B o valor 28,9o, podemos ver na figura abaixo que devemos acrescentar 180o^ a esse resultado para obter a resposta correta.
Logo:
B^180 28,8776^ 208,
B^209
25. Se B é somado a C = 3,0 i + 4,0 j , o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de C. Qual é o módulo de B? ( Pág. 59 )
Solução.
Em primeiro lugar vamos determinar o módulo de C :
(^2 2) 3, 0 (^2) 4, 0 (^2 25) 5, 0 C C (^) x Cy
Vamos chamar de D o vetor soma de B e C. Como D aponta no sentido + y e possui módulo 5,0, teremos:
D 5,0 j
Agora precisamos efetuar a operação mencionada no enunciado para obter B :
B A D B D C B 5, 0 j 3, 0 i 4, 0 j B 3,0 i 1,0 j
Portanto, o módulo de B vale:
2 2 2 2 B Bx By 3,0 1,0 10 3,
B 3, 2
Os vetores B , C e D podem ser vistos no esquema abaixo:
x
y
A
C
B
B
28,9o
4
(c) ' (^) cos ' (^) sen ' 9,5062 m cos 18 14,0936 m sen 18 13,3961 m ax ax ay ' (^) 13m ax
(d) ' (^) cos ' (^) sen ' 14,0936 m cos 18 9,5062 m sen 18 10, 4662 m a (^) y ay ax ' (^) 10 m ax
43. Os três vetores na Fig. 3-35 têm módulos a = 3,00 m, b = 4,00 m e c = 10,0 m; = 30,0o. Determine (a) a componente x e (b) a componente y de a ; (c) a componente x e (d) a componente y de b ; (e) a componente x e (f) a componente y de c. Se c = p a + q b , quais são os valores de (g) p e (h) q?
Fig. 3-35 Problema 43 ( Pág. 60 )
Solução.
(a) Como A está sobre o eixo x , teremos:
ax 3,00 m
(b) ay 0, 00 m
Vetor B :
(c) bx b cos 4,00 m cos 30,0 3, 4641 m
bx 3,46 m
(d) by b sen 4,00 m sen 30,
by 2,00 m
(e) cx^ c cos^90 10,0 m cos 120,
cx 5,00 m
(f) c (^) y c sen 90 10,0 m sen 120,0 8,6602 m
cy 8,66 m
(g) e (h) Para calcular p e q devemos resolver o sistema de duas equações escalares embutidas na equação vetorial c = p a + q b , que são cx = p ax + q bx e cy = p ay + q by. Da primeira equação, teremos:
cx pax qbx
5
x x x
c pa q b
Da segunda, teremos:
y y y
c pa q b
Igualando-se (1) e (2):
x x y^ y x y
c pa^ c^ pa b b
Resolvendo a equação acima para p , teremos:
8, 6602 m 3, 4641 m 5, 00 m 2, 00 m 6, 6666 0, 00 m 3, 4641 m 3, 00 m 2, 00 m
y x x y y x x y
c b c b p a b a b
p 6,
Agora podemos obter q a partir de (1):
5, 00 m 6, 6666 3, 00 m 4, 3, 4641 m
x x x
c pa q b q 4,
51. Um barco a vela parte do lado americano do lago Erie para um ponto no lado canadense, 90, km ao norte. O navegante, contudo, termina 50,0 km a leste do ponto de partida. (a) Que distância e (b) em que sentido deve navegar para chegar ao ponto desejado? ( Pág. 61 )
Solução.
Considere o seguinte esquema vetorial da situação, em que r 0 é a posição almejada pelo velejador, r 1 é a posição alcançada pelo barco e r é o deslocamento que o barco deve sofrer para alcançar seu objetivo inicial.
(a) De acordo com o esquema acima, temos a seguinte relação vetorial:
r 0 (^) r 1 r
r r 0 (^) r 1 (^) 90, 0 km j 50, 0 km i 50, 0 km i 90, 0 km j
O módulo de r é:
r
r 1
r 0
x
y
Lago Erie
90 km
50 km
’
7
(b) O ângulo entre r e o eixo z pode ser obtido por meio do produto escalar entre r e o vetor unitário k :
r k r k cos (^) rz r 1 cos rz
cos (^) rz r
r k (1)
Agora precisamos calcular r. k e r. Cálculo de r. k :
r k 9, 0 i 6, 0 j 7, 0 k k 0 0 7, 0 r k 7,
Cálculo de r :
2 2 2 2 2 2 r rx ry rz 9,0 6,0 7,
r 12,
Substituindo-se esses valores em (1), teremos:
7, 0 cos 0, 12, rz
cos 1 0,5433 122, rz
rz^123
(c) A componente de d 1 em relação a d 2 , que chamaremos d 12 , é d 1 cos 12. Esse termo aparece no produto escalar dos dois vetores:
d 1 (^) d 2 d d 1 2 cos 12
1 2 1 12 2
d cos d
d d
Ou seja:
1 2 12 2
d d
d d (2)
Agora precisamos calcular d 1 d 2 e o módulo de d 2. O produto escalar vale: 2 d 1 (^) d 2 (^) 4, 0 i 5, 0 j 6, 0 k 1, 0 i 2, 0 j 3, 0 k 4, 0 10 18 12 m
O módulo de d 2 vale:
2 2 2 2 2 2 d (^) 2 d 2 (^) x d (^) 2 y d 2 z 1,0 2,0 3,0 3,7416 m
Substituindo-se os valores de d 1 d 2 e d 2 em (2), teremos: 2 12
12 m 3, 2071 m 3, 7416 m
d
d 12 3, 2 m
(d) A componente de d 1 que é perpendicular a d 2 e está no plano de d 1 e d 2 , que chamaremos d 12 , é d 1 sen 12. Esse termo aparece no módulo do produto vetorial dos dois vetores:
d 1 (^) d 2 d d 1 (^) 2 sen 12 d 12 (^) d 2
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1 2 12 2
d d
d d (3)
Agora só precisamos calcular | d 1 × d 2 |. O produto vetorial vale:
d 1 (^) d (^) 2 4, 0 i 5, 0 j 6, 0 k 1, 0 i 2, 0 j 3, 0 k 27 i 6, 0 j 13 k
O módulo de d 1 × d 2 é:
(^2 2 2 ) d 1 (^) d 2 27 6,0 13 30,5614 m
Substituindo-se os valores de | d 1 × d 2 | e d 2 em (3), teremos:
2 1 2 12 2
30,5614 m 8,1678 m 3,7416 m
d d
d d
d 12 8, 2 m
58. Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco. A primeira tacada lança a bola a 3,66 m para o norte, a segunda 1,83 m para o sudeste e a terceira 0,91 m para o sudoeste. Determine (a) o módulo e (b) a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada. ( Pág. 61 )
Solução.
As direções associadas aos termos nordeste (NE), sudeste (SE), sudoeste (SW) e noroeste (NW), podem ser conferidas na figura abaixo, que costuma ser chamada de “rosa dos ventos”:
Considere o seguinte gráfico que mostra os três deslocamentos sucessivos sofridos pela bola:
De acordo com o enunciado, os vetores a , b e c são definidos por:
x
y
a c
(^315) b o 225 o
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(a) O deslocamento total d é dado por:
d a b c d 40 m i 20 m j 25 m k
O vetor d pode ser visto na figura abaixo.
(b) Quando a placa cai no chão, sofre um deslocamento igual a c. Logo, seu novo deslocamento total e vale:
e a b c c a b e 40 m i 20 m j
O módulo de e vale:
2 2 e 40 m 20 m 44,7213 m
e 45 m
O esquema vetorial para essa situação será:
71. Se B é somado a A , o resultado é 6,0 i + 1,0 j. Se B é subtraído de A , o resultado é 4,0 i + 7, j. Qual é o módulo de A? ( Pág. 62 )
Solução.
Vamos somar as duas equações mencionadas no enunciado para eliminar B e obter A.
y
x
z
a
b
c
d
y
x
z
a
b
c
d
y
x
z
a
b
c
e
c
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B A 6,0 i 1,0 j A B 4,0 i 7,0 j
O resultado da soma é:
2 A 2,0 i 8,0 j
Ou:
A 1,0 i 4,0 j
O módulo de A vale:
(^2 2) 1, 0 (^2) 4, 0 (^2 17) 4, A Ax Ay
A 4,
Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a^ Ed. - LTC - 1996. Cap. 3 – Vetores
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do míssil durante o período de contacto com o radar.
( Pág. 46 )
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
A posição inicial do míssil é dada por:
r 0 (^) r 0 (^) x i r 0 y j
r 0 (^) r 0 (^) cos i r 0 sen j
A posição final do míssil é dada por:
r rx i ry j
r r cos i r sen j
O vetor deslocamento do míssil é dado por:
r x i y j
r r cos r 0 (^) cos i r sen r 0 sen j
r 10.216,9370 m i 33,5360 m j
r 10 km i 33 m j
O módulo do deslocamento é:
(^2 2) 10.216,9921 m r rx ry
r 10 km
r 0 r
r
x
y
