Desigualdades em Probabilidade II, Notas de aula de Probabilidade

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Probabilidade II

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade e estatística é a desigualdade de Chebyshev.

Esta desigualdade é fundamental para o entendimento de como a variância mede a variabilidade em relação ao valor esperado de uma variável aleatória.

Dada uma variável aleatória X e conhecida a sua distribuição de probabilidade

(fdp no caso contínuo e fp no caso discreto), Podemos determinar E(X ) e

Var (X ), se existirem.

Contudo, a recíproca não é válida.

Desigualdade Básica de Chebyshev

Seja X uma variável aleatória não negativa (X ≥ 0 ). Para todo λ ≥ 0,

DEMONSTRAÇÃO:

DEMONSTRAÇÃO:

Desigualdade Básica de Chebyshev

Desigualdade Básica de Chebyshev

Apesar de podermos obter estimativas mais precisas por outros métodos, a desigualdade de Chebyshev fornece uma avaliação probabilística que combinada com outros fatores, dá subsídios à tomada de decisões.

Por exemplo, é possível verificar que a probabilidade de até 70 usuários

simultâneos é superior a 0.57.

Assim, se for aceitável um índice mínimo de 57% para a probabilidade de

conexão, a empresa deveria ampliar suas linhas telefônicas para 70.

Desigualdade Clássica de Chebyshev

iii) Escolhendo λ = k σ , onde μ = E(X ) e σ^2 = Var (X ) > 0,

DEMONSTRAÇÃO:

DEMONSTRAÇÃO:

Desigualdade Clássica de Chebyshev

Exemplo 3: Obtenha o limite da desigualdade

P(|X − μ | ≥

Admita que X é uniformemente distribuída sobre ( 1 − 1 /

p

p

3 ) e calcule

o limite obtido acima.

Desigualdade Clássica de Chebyshev

O resultado obtido da desigualdade de Chebyshev está coerente com esse resultado. Contudo este último é mais preciso.

Na prática, a desigualdade de Chebyshev é usada na obtenção de estimativas, quando não é conveniente, ou quando é impossível obter valores exatos.

Desigualdade Clássica de Chebyshev Exemplo 4: Em uma certa empresa, constatou-se que o número médio, por

semana, de faltas ao serviço é de 52.4 e um desvio padrão de 4.7. Qual a

probabilidade de se constatar uma variação de até 12 faltas em torno do valor médio registrado?

Desigualdade Clássica de Chebyshev

Exemplo 5: Seja Z ∼ N( 0 , 1 ), obtenha um limite para P(|Z | ≥ 2 ) através da

desigualdade de Chebyshev.

Desigualdade de Markov

DEMONSTRAÇÃO:

Se a partir de uma amostra pudermos obter estimativas de momentos da variável, a desigualdade acima pode ajudar a estabelecer limites em probabilidade de interesse.

Desigualdade de Markov

Exemplo 1: Seja Y uma V.A. tal que E(Y 4 ) ≤ 100. Use esta informação para

encontrar um limite superior para P(Y ≥ 5 )