Probabilidades Condicionais e Independência - UFJF, Esquemas de Probabilidade

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EST029 – Cálculo de Probabilidade I

Cap. 3: Probabilidade Condicional e

Independência

Prof. Clécio da Silva Ferreira

Depto Estatística - UFJF

Perguntas

1. Um novo aparelho para detectar um certo tipo de doença chegou ao mercado prometendo: a) 99% de chance de indicar POSITIVO em uma pessoa doente. b) 0,01% de chance de indicar positivo em uma pessoa sadia. Estima-se que no país 20% das pessoas tenham esta doença. Se o aparelho indicou POSITIVO em um determinado paciente, qual é a probabilidade deste indivíduo estar realmente doente?
2. Problema de Monty Hall: Em um programa de televisão, é fornecido ao participante escolher uma dentre 3 portas, sendo que atrás de uma delas existe um prêmio. Ao escolher uma porta, o apresentador abre uma outra porta (que não tem o prêmio) e pergunta ao participante se ele gostaria de permanecer na mesma porta ou deseja mudar de porta. E você, o que faria? A chance é a mesma ou não?

Exemplo – Probabilidade Frequentista

Em um escritório, existem 100 máquinas, algumas novas ou usadas, algumas elétricas ou manuais Uma pessoa entra no escritório e escolhe aleatoriamente uma máquina, descobrindo que a mesma é NOVA. Qual seria a probabilidade da mesma ser elétrica? Calcule: a)P(máquina selecionada ser Nova e Elétrica) b)Probabilidade(máquina selecionada ser Nova). c)Faça uma relação.

Elétrica Manual Total

Novas 40 30 70

Usadas 20 10 30

Total 60 40 100

Exemplo 2

Em um lote de 100 peças, existem: 80 peças não-defeituosas 20 peças defeituosas. Vamos extrair ao acaso DUAS peças do lote: a) Com reposição b) Sem reposição Eventos: A = {a primeira peça é defeituosa} B = {a segunda peça é defeituosa} Calcule P(B) com reposição. E sem reposição?

Propriedades

P(.|A) é uma probabilidade, pois: i. 0 ≤ P(B|A) ≤ 1 ii.P(B 1

U B

2

|A) = P(B

1

|A)+P(B

2 |A), se B 1

∩ B

2

= Ø

P(B

1

UB

2

U...|A) = P(B

1

|A)+P(B

2 |A)+..., se B i

∩ B

j = Ø, para todo i ≠ j. iii. Se B = S, P(S|A) = P(S∩A)/P(A) = P(A)/P(A)=1. Outros resultados: Se A = S, P(B|S) = P(B∩S)/P(S) = P(B).

Teorema da Multiplicação de Probabilidades

P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B|A)P(C|A∩B)

Generalizando P(A 1

∩A

2

∩... ∩A

n

P(A

1

)P(A

2

|A

1

)P(A

3

|A

2

∩A

1

)...P(A

n

|A

n-

∩A

n-

∩... ∩A

1

Prova: desenvolva o lado direito da equação. Exemplo 2f do Ross: Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 4 brancas. Retiramos 2 bolas da urna sem reposição. a)Qual a probabilidade de sortearmos 2 bolas vermelhas? b)Idem a a), porém cada bola vermelha tem peso r e as brancas têm peso w.

Partição do espaço amostral

Definição: Dizemos que os eventos B 1

, B

2

, ..., B

k representam uma partição do espaço amostral S quando i.B i

∩ B

j = Ø, para todo i ≠ j=1,...,k. ii. iii.P(B i )>0.para todo i. Em outras palavras: ao realizar o experimento E, somente um dos eventos ocorre! Teorema da Probabilidade Total: Para qualquer partição {B 1

, B

2

, ..., B

k } de S, temos que

Partição do espaço amostral - Exemplos

Exemplo 1: Lote 100 peças, 20 Defeituosas, 80 não-defeituosas. Extraia duas peças, ao acaso, sem reposição. A = {a 1ª peça é defeituosa} B = {a 2ª peça é defeituosa} Calcule P(B) Exemplo 2: Um peça é fabricada por 3 fábricas: F1, F2 e F3. F1 produz o dobro de peças que F2, F2 produz o mesmo nº de peças que F3. Sabemos que 2% das peças produzidas por F1 e F2 são defeituosas e 4% das peças produzidas por F3 são defeituosas. Ao escolher uma peça ao acaso, qual é a probabilidade da mesma ser defeituosa?

Teorema de Bayes - Generalização

Seja {B 1

, B

2

, ..., B

k } uma partição do espaço amostral S. Seja A um evento associado a S. Então: Exemplo do aparelho para detectar um certo tipo de doença. Sejam os eventos: P

= {o aparelho aponta resultado positivo} D = {o indivíduo possui a doença} Sabemos que: a)99% de chance de indicar POSITIVO em uma pessoa doente. b)0,01% de chance de indicar positivo em uma pessoa sadia. c)Estima-se que no país 20% das pessoas tenham esta doença. Calcule P(D|P

) (utilize o teorema de Bayes)

Teorema de Bayes – Outro exemplo

Exemplo dos chips. Sejam os eventos: H = {chip é exposto a altos níveis de contaminação} M = {chip é exposto a médios níveis de contaminação} L = {chip é exposto a baixos níveis de contaminação} F = {chip falha} Sabemos que: a)10% é a probabilidade de o chip falhar quando é exposto a altos níveis de contaminação; b)1% é a probabilidade de o chip falhar quando é exposto a médios níveis de contaminação; c)0,1% é a probabilidade de o chip falhar quando é exposto a baixos níveis de contaminação. d)20% dos chips estão sujeitos a altos níveis de contaminação; e)30% dos chips estão sujeitos a médios níveis de contaminação; f)50% dos chips estão sujeitos a baixos níveis de contaminação. Calcule: P(chip falhar) (utilize o teorema da probabilidade total) P(H|F) (utilize teorema de Bayes)

Independência de Eventos - Definição

Definição: Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Neste caso, temos:  P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = P(B)  P(A|B) = P(B ∩ A)/P(B) = P(A) Em outras palavras, A é independente de B se a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B e vice-versa. Observação 1: Se A e B são não independentes, eles são chamados de dependentes. Observação 2: Se A e B são independentes, então A e B C também são independentes. Provar

Independência de Eventos - Exemplos

1.Um mecanismo é constituído por dois componentes montados em SÉRIE: Cada componente tem um probabilidade p de NÃO funcionar! Qual é a probabilidade de o mecanismo funcionar? P(funcionar) = P(C1 funcione E C2 funcione). 2.Uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho de 52 cartas. Sejam os eventos: E = {a carta selecionada é um ÀS} F = {a carta selecionada é de espadas} E e F são independentes? 3.Lançamento de dois dados e verificar as faces voltada para cima. Sejam os eventos: E = {soma dos dados é igual a 6} F = {o primeiro dado é igual a 4} E e F são independentes?

Independência de Eventos – Mais de dois eventos (2)

Exemplo 1 (Ex. 3.11 Meyer): A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito abaixo é dada por p. Se todos os relés funcionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R? Exemplo 2 (Ex. 4f Ross): Deve-se realizar uma sequência infinita de tentativas /experimentos independentes. Cada tentativa tem probabilidade p de sucesso (e 1-p de fracasso). Qual é a probabilidade de: a) Pelo menos 1 sucesso ocorra nas primeiras n tentativas? b) Exatamente k sucessos ocorram nas n primeiras tentativas?

Problema de Monty Hall

Descrição: Em um programa de televisão, é fornecido ao participante escolher uma dentre 3 portas, sendo que atrás de uma delas existe um prêmio. Ao escolher uma porta, o apresentador abre uma outra porta (que não tem o prêmio) e pergunta ao participante se ele gostaria de permanecer na mesma porta ou deseja mudar de porta. Experimento 1: onde o carro é colocado; Experimento 2: porta escolhida pelo participante; Experimento 3: porta aberta pelo apresentador; Experimento 4: porta escolhida pelo participante (depende da estratégia) Estratégia 1: não mudar de porta (para casa) Estratégia 2: mudar de porta (em sala de aula) More Applets: http://www.math.uah.edu/stat/applets/ http://www.ufjf.br/clecio_ferreira/ensino/aplicativos/ http://www.math.uah.edu/stat/applets/MontyHallExperiment.html