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Aula 15
Frederico Guilherme de Carvalho Cunha
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES META Apresentar o conceito de empuxo e o princípio de Arquimedes. Descrever brevemente a dinâmica dos Fluidos e apresentar a Equação de Bernoulli. OBJETIVOS Ao final desta aula, o aluno deverá: utilizar o Princípio de Arquimedes para determinar a força de empuxo percebida por corpos em contato com superfícies líquidas; listar as principais características qualitativas na dinâmica dos fluidos; e utilizar a equação de Bernoulli para resolver problemas simples de dinâmica dos fluidos. PRÉ-REQUISITOS Álgebra, trigonometria e vetores.
Física Básica
INTRODUÇÃO
Nesta nossa aula de dinâmica dos fluidos estudaremos alguns conceitos que, apesar de simples, ainda são de extrema importância em várias áreas dos afazeres humanos. O princípio de Arquimedes, por exemplo, é ampla- mente utilizado por ourives para a determinação da fração dos metais em ligas. A Equação de Bernoulli tem grande utilidade no estudo do sistema circulatório, sendo foco de pesquisas do mais alto nível no mundo todo. Apesar de toda esta importância, seu estudo nos cursos básicos ainda é negligenciado devido à simplicidade de seu formalismo matemático. Espero que tenham uma boa aula e possam identificar as aplicações. (Fonte: http://upload.wikimedia.org).
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
Bom dia caros colegas. Espero que continuem com a mesma vontade e energia para desenvolver novos conhecimentos. Hoje discutiremos um princípio extremamente antigo conhecido como princípio de Arquimedes, um daqueles cientistas heterodoxos do passado.
Física Básica Para verificar o efeito disto, considere o cilindro de altura h cuja área reta é dada por A. considere também que todo o cilindro se encontra submerso em um fluido cuja densidade é dada por r F. o fluido exerce uma pressão P 1 =rfgh 1 no topo da superfície do cilindro. A força devida à esta pressão no topo do cilindro é F 1 =P 1 A=rFgh 1 A , e é direcionada para baixo. De uma maneira absolutamente análoga, o fluido exerce uma força para cima devida na base do bloco e é dada por F 2 =P 2 A=rFgh 2 A devida à pressão do fluido e que é chamada de força de empuxo , E, que age para cima e tem a seguinte magnitude. Onde naturalmente V=Ah é o volume do cilindro. Como rF é a den- sidade do fluido, o produto rF gV=mFg é o peso do fluido que ocupa um volume igual ao volume do cilindro. Portanto a força de empuxo no cil- indro é igual ao peso do fluido deslocado pelo cilindro. Eis aqui a prova do princípio de Arquimedes descrito acima.
ATIVIDADES
- Um objeto de 70 kg foi encontrado no fundo do oceano. Seu volume é dado por 3.0X10^4 cm3. Quanta força será necessária para levantar este objeto?
- Que volume de Hélio é necessário para fazer um balão flutuar, se o balão vazio e seu equipamento tem uma massa de 390kg?
Princípio de Arquimedes (^) Aula 15
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
- Podemos calcular facilmente a força de empuxo do objeto conhecendo apenas o volume do objeto e a densidade da água do mar, algo em torno de 1,025X10^3 kg/m^3. Como o peso da estátua é igual a 690 N, a força necessária é de apenas 390 N. Seria o mesmo que dizer que o objeto pesa apenas 400N.
- O empuxo sobre o balão, devido ao ar deslocado, deve ser igual e eoposto ao pelos do balão com o equipamento, mais o Hélio. Assim, E=(390+mHe)g=rargV. Mas a massa do Hélio depende do volume do balão: mHe=rHeV. note que desprezamos o volume do balão vzio e o seu equipamento. Assim, rargV=(390+RHeV)g, o que nos leva finalmente à resposta:
DINÂMICA DOS FLUIDOS
Começaremos nossa discussão com um conceito extremamente im- portante chamado de incompressibilidade. Existe uma grande diferença entre líquidos e gases. A densidade de um gás é fácil de mudar, mas fluidos geralmente são incompressíveis. Incompressibilidade significa que a den- sidade de um fluido é independente da pressão. Isto não é perfeitamente correto, fluidos de fato se contraem e se expandem um pouco (pense nos amortecedores dos carros), mas realmente muito pouco. Esta expansão e compressão podem ser desprezadas. Nós já usamos o conceito de compress- ibilidade dos fluidos. Por exemplo, a fórmula de como a pressão depende da profundidade do fluido assumiu que a densidade se manteve constante, apesar do aumento da pressão. O Princípio de Pascal também depende disto. O princípio de Pascal afirma que se você empurra em uma extremidade do fluido, a pressão do fluido aumenta em todos os lugares. Se o fluido fosse compressível, o que aconteceria é que parte do fluido se tornaria mais denso. Isto é o que ocorre a um sólido. Um gás, por outro lado, se comprimirá uniformemente. Antes de chegarmos à famosa equação de Bernoulli, vamos discutir brevemente um segundo conceito conhecido como equação da continuidade. Até agora mantivemos a nossa discussão nos casos de fluidos estáticos. Agora iremos discutir fluidos em movimento. Se algo se move, ele deve ir a algum lugar. Este simples fato é justamente a conservação da massa. A conservação da massa resulta naquilo que é chamado de equação
Princípio de Arquimedes (^) Aula 15 O trecho mostrado na canalização tem à esquerda, seção transversal uniforme de área A1; esta parte é horizontal e está situada, em relação a certo sistema de coordenadas a certa altura y 1. O tubo se alarga e se eleva gradualmente de tal modo que o trecho à direita tem seção transversal uniforme de área A 2 e está, em relação ao mesmo sistema de coordenadas, à altura y 2.. Vejamos agora com um pouco mais de atenção quem são estes personagens das figuras. Elas parecem idênticas, mas não são. Existe uma porção central preenchida com linhas curtas e paralelas. Esta região cor- responde àquela parte do tubo onde sempre há um fluido. Agora aparecem as diferenças: no desenho mais acima temos a impressão de que uma certa quantidade de fluido está aprisionada em um pequeno duto cujo volume é dado por A 1 Δl 1. Onde A1 é a área transversal e Δl 1. Do desenho também podemos deduzir que esta quantidade de água está em movimento para a direita com uma certa velocidade v 1. Este volume de água também se encontra em média à uma altura dada por y 1 .e há uma pressão p 1 sendo exercida por extraterrestres da esquerda para a direita. Pronto, descrevemos adequadamente as variáveis do lado esquerdo da parte de cima da figura. Ainda falta muito, tenha paciência. Passemos para o lado direito da mesma figura de cima. Podemos definir sem muito suor as seguintes variáveis: A 2 , y 2 , Δl 2 e v 2. A pressão p 2 pode parecer um pouco estranha, mas sem ela a água estaria escorrendo para fora...nosso trabalho será estudar o movimento da água que se encontra no tubinho a para o tubinho b. note que e, todos os pontos da parte estreita do tubo a pressão é p 1 e a velocidade v 1 ; em todos os pontos da parte mais larga a pressão é p 2 e a velocidade v 2.
Física Básica Vamos agora lembrar que o teorema do trabalho energia estabelece que: O trabalho resultante efetuado sobre um objeto é igual à variação em sua energia cinética: W=ΔK. Na figura acima as forças que realizam trabalho sobre o sistema são as forças de pressão p 1 A 1 e p 2 A 2 , que atuam respectiva- mente nas extremidades esquerda e direita e a força da gravidade. Enquanto o fuido escoa através do tubo, o efeito resultante pode ser visualizado nas partes a e b da figura acima: é o transporte da porção de fluido representada pelas áreas diagonalizadas, que passa da mostrada na parte a da figura para a parte b da figura. A porção de fluido assinalada com marcas horizontais permanece o mesmo enquanto o fluido escoa. Pode-se determinar o trabalho W , realizado pela força resultante sobre o sistema, como se segue:
- O trabalho realizado sobre o sistema pela força de pressão p 1 A 1 é p 1 A 1 Dl 1 .;
- O trabalho realizado sobre o sistema pela força de pressão p 2 a 2 é –p 2 a 2 Δl 2 , é negativo, o que significa que o sistema realiza um trabalho positivo.
- O trabalho realizado pela gravidade sobre o sistema está associado à el- evação da porção de fluido representada pela porção de linhas inclinadas, desde a altura y1’, à altura y2 e vale –mg (y2-y1); m é a massa da porção de fluido contido em qualquer uma das áreas marcadas diagonalmente. Também este trabalho é negativo, porque o sistema realiza trabalho contra as forças gravitacionais. O trabalho W realizado sobre o sistema pela força resultante é obtido somando os três termos discutidos até aqui: Para trabalhar um pouco melhor esta equação, vamos verificar que os volumes contidos nas duas áreas diagonalizadas são iguais: A 1 Δl 1 = A 2 Δl 2. Isto já não era nenhum segredo, mas vamos bagunçar um pouco agora esta equação, lembrando da própria definição de densidade (que assumimos uniforme):. Essa confusão adicional pode enrolar um pouco a sua cabeça, então refaça estas contas em um pedacinho de papel ao lado só para se convencer de que não estou inventando. Não se preocupe em absoluto com a aparência da equação, logo ver- emos que ela nos ajudará bastante. Agora sim utilizaremos o teorema do trabalho e da energia cinética: O que nos levará finalmente à equação: Que pode ser reescrita sob a seguinte forma:
Física Básica
COMENTÁRIO SOBRE AS ATIVIDADES
- Vejamos como este problema se parece coma a introdução de uma pequena figura: Aplicando a equação da continuidade para um fluido incompressível, obtemos: A taxa de fluxo volumétrico, é dada simplesmente por: E, finalmente, a taxa de fluxo de massa é:
- Os pontos 1 e 2 devem ser colocados no tubo de entrada e no banheiro, respectivamente. A velocidade no banheiro v2 é obtida a partir da equação da continuidade: Por uma questão de simplicidade podemos impor que y1=0 na entrada e já sabemos que y=5,0m no banheiro. Conhecemos p1 e v1 e podemos achar p2 pela equação de Bernoulli: Substituindo os valores fornecidos pelo problema chegamos facilmente ao resultado:
Princípio de Arquimedes (^) Aula 15
CONCLUSÃO
Nesta aula estudamos um tópico que geralmente é negligenciado nos cursos mais voltados às áreas de exatas. Seus conceitos que aqui aparecem como sendo muito abstratos se mostrarão de grande utilidade por ocasião do estudo do sistema circulatório. Nesta ocasião será possível a compreen- são matemática de como a força de bombeamento do coração durante os esforços físicos possibilita a utilização de vasos capilares geralmente inertes.
RESUMO
Nesta aula tratamos dos seguintes tópicos:
- Princípio de Arquimedes
- Equação da continuidade Equação de Bernouli
PRÓXIMA AULA
Iniciar o estudo da termodinâmica através de sua lei zero. Estudar os diversos tipos de termômetros e escalas termométricas. Aprender a ma- nipular as leis que regem a variação volumétrica com a temperatura para sólidos, líquidos e gases.
REFERÊNCIAS
Giancoli, Douglas C. Physics for Scientists and Engineers , 3 ed. Editora Prentice Hall, New Jersey, 2000. Young, Hugh D.; Freedman, Roger A. Física I – Mecânica , 10 ed. Tradução de Adir Moysés Luiz. Editora Addison Wesley, São Paulo, 2003. Frederick, J. Keller; Gettys, W. Edward; Skove, Malcolm J. Física , v. 1, 1 ed. Tradução de Alfredo Alves de Farias. Editora Makron Books, São Paulo, 1997. Resnick, Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S. Física 1 , 5 ed. Tradução de Pedro M. C. L. Pacheco, Marcelo A. Savi, Leydervan S. Xavier, Fernando R. Silva. LTC Editora, Rio de Janeiro, 2003.
