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DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2024 - 2
Profa. Maria Lúcia Campos
Prof. Nelson Borges
AP1 – GABARITO
Código da disciplina EAD01002 – Cursos: Física, Química, Matemática ANTIGO
Código da disciplina EAD01082 – Curso: Matemática NOVO
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Questão 1 [2,0 pontos]
Considere o polinômio 𝒑
4
3
2
▪ As raízes de 𝑝(𝑥) são inteiras. Encontre essas raízes. Mostre como encontrou as raízes,
apresentando as contas que foram feitas para isso.
▪ F atore esse polinômio em ℝ , isto é, escreva 𝑝
como um produto de fatores lineares
(tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥
2
raízes reais). Justifique sua fatoração, apresente as contas que o levou à fatoração
apresentada. Sem isso, a questão não será considerada.
RESOLUÇÃO:
As possíveis raízes inteiras de 𝑝
4
3
2
− 𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ ℝ são 𝑥 = − 1 e 𝑥 = 1 ,
que são os divisores do termo independente 1.
▪ Testando se 𝑥 = − 1 é raiz de 𝑝(𝑥).
4
3
2
Portanto, 𝑥 = − 1 é uma raiz de 𝑝(𝑥).
▪ Testando se 𝑥 = 1 é raiz de 𝑝(𝑥).
4
3
2
Portanto, 𝑥 = 1 é uma raiz de 𝑝(𝑥).
Logo 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 + 1 ) e por (𝑥 − 1 ). Vamos usar Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) primeiro
por (𝑥 + 1 ) e em seguida por (𝑥 − 1 ).
Logo, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1 )(− 2 𝑥
3
2
− 2 𝑥 + 1 ). Chamemos 𝑞(𝑥) = − 2 𝑥
3
2
Como 𝑝
= (𝑥 + 1 )𝑞(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1 então 𝑞
3
2
− 2 𝑥 + 1 é também
divisível por 𝑥 − 1.
Vamos dividir 𝑞
3
2
− 2 𝑥 + 1 por 𝑥 − 1.
Logo,
4
3
2
3
2
2
Verificando se − 2 𝑥
2
- 𝑥 − 1 possui raízes reais.
Temos que Δ = 𝑏
2
2
− 4 ∙ (− 2 ) ∙ (− 1 ) = 1 − 8 = − 7 < 0 , logo 𝑦 = − 2 𝑥
2
não possui raízes reais e assim, o trinômio do segundo grau − 2 𝑥
2
- 𝑥 − 1 é irredutível em ℝ.
Portanto, a fatoração de 𝑝(𝑥) é
4
3
2
2
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Questão 2 [2,5 pontos]
Considere 𝑥 ∈ ℝ e a função 𝑓
√ 2 −|𝑥+ 1 |
( 2 𝑥
2
▪ Encontre o domínio da função y = 𝑓(𝑥). Justifique deixando escritas as contas para
chegar na resposta! Responda o domínio na forma de intervalo ou união de intervalos
disjuntos (intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum).
▪ Resolva a equação 𝑓(𝑥) = 0. Justifique deixando escritas as contas para chegar na
resposta!
RESOLUÇÃO:
Domínio da função 𝑓(𝑥) =
√ 2 −|𝑥+ 1 |
( 2 𝑥
2
Para encontrarmos o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , precisamos impor que:
(I) O radicando 2 − |𝑥 + 1 | seja positivo ou nulo.
(II) O denominador ( 2 𝑥
2
- 1 )( 2 𝑥 + 1 ) seja não nulo.
Resolvendo as exigências:
2
Resolvendo
2
Temos que
2
2
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 2 } = [ 2 , +∞).
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
Determinando a interseção do gráfico da função r com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0 ,
= √ 0 − 2 = √− 2 Portanto, o gráfico da função 𝒓 não toca e nem corta o eixo 𝒚, já que
− 2 não é um número real.
Determinando a interseção do gráfico da função r com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0 ,
Portanto, o gráfico da função 𝑟 corta o eixo 𝒙 no ponto
Questão 4 [2,0 pontos]
▪ Determine o domínio da função 𝒎.
▪ Esboce o gráfico dessa função usando duas transformações a partir do gráfico de 𝑦 = |𝑥|. Para
justificar a construção do gráfico, esboce o gráfico de 𝑦 = |𝑥| e descreva as duas
transformações para obter o gráfico da função 𝑚.
▪ Encontre e indique no gráfico de 𝑦 = 𝑚(𝑥), se existirem, as coordenadas das interseções do
gráfico dessa função com o eixo 𝑥 e com o eixo 𝑦.
RESOLUÇÃO:
Domínio da função 𝑚
Como não há restrições para se calcular |𝑥|, domínio da função 𝑚 são todos os reais.
Logo, Dom(m) = ℝ
𝑦 = |𝑥|
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑘= 2
→ 𝑦 = 2 |𝑥|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑦 = 𝑚(𝑥) = 2 |𝑥| − 4
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑘= 2
→
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→
Determinando a interseção do gráfico de m com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0 ,
− 4 = − 4 Portanto, o gráfico da função 𝑚 toca o eixo 𝑦 no ponto
Determinando a interseção do gráfico de m com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0.
Resolvendo,
𝑚(𝑥) = 2 |𝑥| − 4 = 0 ⟺ 2 |𝑥| = 4 ⟺ |𝑥| = 2 ⟺ 𝑥 = − 2 ou 𝑥 = 2.
Portanto, o gráfico da função 𝑚 corta o eixo 𝑥 nos pontos
e ( 2 , 0 ).
Questão 5 [1,5 ponto]
Considere a função 𝑔(𝑥) = {
▪ Esboce o gráfico da função 𝑔. Justifique a construção do gráfico, sinalizando os pontos abertos
e possíveis “saltos”, se houverem.
▪ Encontre o domínio e a imagem da função 𝑔.
▪ A função 𝒈 é par, é ímpar ou nem uma coisa e nem outra? Justifique! A justificativa pode ser
a partir do gráfico dessa função.
▪ Encontre os intervalos do domínio nos quais a função 𝑔 é simultaneamente positiva e
crescente e onde a função 𝑔 é simultaneamente negativa e decrescente.
