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1 Conjuntos Numéricos
1.1 Conjunto dos Números Naturais
O conjunto ¥ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é chamado conjunto dos números naturais e é denotado por ¥. É o conjunto que possui o 1 e todos os seus sucessores.
1.2 Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto ¢ = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} é chamado conjunto dos números inteiros e é denotado por ¢. Esse conjunto é a extensão do conjunto dos números naturais, acrescentando os elementos negativos e o zero.
1.3 Conjunto dos Números Racionais
O conjunto dos números racionais é denotado por ¤. Um número racional é qualquer número da
forma^ a , b
em que a , b ∈ ¢ e b ≠ 0, ou seja,
= ^ , ∈ , ≠ 0 .
a a b b b
Note que ¢ ⊂ ¤, pois todo número inteiro a podemos escrever da forma. 1
a
1.4 Conjunto dos Números Irracionais
O conjunto dos números irracionais é denotado por I, e é formado pelos números reais que não
podem ser expressos da forma ,
a b
em que a , b ∈ ¢ e b ≠ 0.
Exemplo: Provar que 2 ∉ .
Solução: Suponha que 2 ∈ ¤, sendo assim, 2 = ,
a b
em que a b
é irredutível. Logo,
2 2
2 2 2 2
a b a b a b
b a
Temos assim que a^2 é par, o que implica que a é par, ou seja, podemos escrever a = 2 m , m ∈ ¢. Deste modo,
2 b^2 = a^2 2 b^2 = (2 m ) 2 2 b^2 = 4 m^2 b^2 = 2 m^2
Portanto, temos que b^2 é par, logo b é par, ou seja, podemos escrever b = 2 n , n ∈ ¢. Contudo, 2 . 2
a m m b n n
Ou seja, um absurdo, pois supusemos que a
b
era irredutível. Portanto, 2 ∉ ¤, ou seja, 2 ∈
I. Outro exemplo conhecido de número irracional é π = 3,1415...
1.5 Conjunto dos Números Reais
O conjunto dos números reais, denotado por ¡, dado por ¡ = ¤ ∪ I, é munido de duas operações, adição (+) e multiplicação (?) e pela relação de ordem (#). Sejam a , b , c ∈ ¡. As operações de adição, multiplicação e a relação de ordem possuem as seguintes propriedades:
A1) Associatividade da adição: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A2) Comutatividade da adição: a + b = b + a A3) Elemento neutro da adição: $0 tal que ∀ a ∈ ¡, 0 + a = a A4) Inverso aditivo: ∀ a ∈ ¡, $ b ∈ ¡ tal que a + b = 0 M1) Associatividade da multiplicação: a? ( b? c ) = ( a? b )? c M2) Comutatividade da multiplicação: a? b = b? a M3) Elemento neutro da multiplicação: $ 1 ≠ 0 tal que ∀ a ∈ ¡, 1? a = a
M4) Inverso multiplicativo: ∀ a ∈ ¡; $ b ∈ ¡ tal que a? b = 1 O1) Reflexão: a # a O2) Antissimétrica: a # b e b # a ⇒ a = b O3) Transitividade: a # b e b # c ⇒ a # c O4) Tricotomia: a < b ou a = b ou a > b OA) Consistência com respeito a adição: a # b ⇒ a + c # b + c OM) Consistência com respeito a multiplicação: Seja c > 0, então, a # b ⇒ a? c # b? c D) Distributividade: ( b + c ) = a? b + a? c
FigSN_
b a (^) n a (^) n − 1 a (^) n 2 ... a (^) 2 a 1 a 0 a (^) n a 1 b (^) + a (^) n − 1 ( a 1 b (^) + a (^) n 1 ) b (^) + a (^) n − 2 r
ou seja, colocamos a raiz de g ( x ) à esquerda e os coeficientes de p ( x ) à direita, e reescrevemos o coeficiente an na linha de baixo. O coeficiente a (^) n será multiplicado por b , que é a raiz de g ( x ) e somado com o coeficiente an – 1. O resultado será colocado abaixo desse coeficiente, como no esquema acima. Em seguida, esse valor será multiplicado por b e somado com o coeficiente an – 2 , e o resultado será colocado abaixo deste, repetindo este procedimento até que acabem os coe- ficientes. O último valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores encontrados na linha inferior serão os coeficientes de q ( x ), que é o quociente da divisão, em que o último desses valores sempre acompanhará a variável, cujo o expoente é zero. Exemplo: Divida x^3 – 4 x + 2 por x – 2. Solução: Primeiro calculamos a raiz do divisor x – 2, sendo assim, x – 2 = 0 ⇒ x = 2. Observe que no polinômio x^3 – 4 x + 2 o coeficiente de x^2 é 0, ou seja, x^3 – 4 x + 2 = x^3 + 0 x^2 – 4 x + 2. Utilizando o algoritmo de Briot-Ruffini, temos que
FigSN_
(^2 1 0 4 ).
Vamos resolver passo a passo, inicialmente reescrevemos 1 na linha inferior,
FigSN_
2 1 0 4 2 1
em seguida multiplicamos 1 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente 0, ou seja, 1⋅ 2 + 0 = 2. Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente 0.
FigSN_
2 1 0 − 4 2 1 2
Agora multiplicamos 2 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente –4, ou seja, 2 ⋅ 2 + (–4) =
- Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente –4.
FigSN_
2 1 0 4 2 1 2 0
Do mesmo modo, multiplicamos 0 por 2 e somamos o resultado com o coeficiente 2, ou seja, 0 ⋅ 2 + 2 = 2. Esse resultado deve ser escrito embaixo do coeficiente –4.
FigSN_
2 1 0 4 2 1 2 0 2
Obtemos, assim, que o resto da divisão é 2 e o polinômio quociente é x^2 + 2 x. Portanto, x^2 + x – 4 x + 2 = ( x^2 + 2 x )( x – 2) + 2.
3 Fatoração
A fatoração é o processo de se transformar uma soma de duas ou mais parcelas em um produto de dois ou mais fatores. É bastante utilizada na simplificação de expressões, na resolução de equações, entre outras aplicações.
Uma das formas mais simples de fatoração consiste em colocar, quando possível, o fator comum nas parcelas em evidência.
Exemplo: a + ab = a (1 + b ).
Exemplo: a^2 b + ab^2 = ab ( a + b ).
Outra forma é o agrupamento, que consiste em reagrupar os termos, de modo que se possa colocar um fator em evidência.
Exemplo: ac + ad + bc + bd = a ( c + d ) + b ( c + d ) = ( a + b )( c + d ).
3.1 Produtos Notáveis
Produtos notáveis são produtos entre números, polinômios ou expressões algébricas, que podem ser resolvidos por meio de padrões. Dados a e b considere os seguintes produtos:
- Quadrado da soma: ( a + b ) 2 = a^2 + 2 ab + b^2
- Quadrado da diferença: ( a – b )^2 = a^2 – 2 ab + b^2
- Produto da soma pela diferença: ( a + b )( a – b ) = a^2 – b^2
- Cubo da soma: ( a + b )^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 ab^2 + b^3
- Cubo da diferença: ( a – b )^3 = a^3 – 3 a^2 b + 3 ab^2 – b^3
3.2 Completamento de Quadrados
O completamento de quadrados é utilizado para fatorar parcialmente expressões quadráticas, que não são trinômios quadrados perfeitos. Sendo assim, dado ax^2 + bx + c , tem-se: 2 2 2 2 2 2 2
(^2 2 ) 2
bx c bx c b b ax bx cx a x a x a a a a a a
b c b b b a x a x c a a a a a
^ ^
+^ +^ −^ =^ +^ +^ −
.
4 Equações
Uma equação é uma relação de igualdade entre duas expressões, envolvendo uma ou mais in- cógnitas. O objetivo é resolver a equação, ou seja, queremos encontrar os valores das incógnitas que fazem com que a equação seja válida, esses valores são chamados de raízes ou soluções da equação.
4.1 Equação Polinomial
Uma equação polinomial é uma equação na forma
a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + ... + an – 1 x n^ – 1^ + xn x n^ = 0
na incógnita x. Dizemos que x = x 0 é raiz do polinômio se a 0 + a 1 x 0 + a 2 x^20 + ... + a n (^) − 1 x 0 n −^1 +
0
n x xn = 0.
2
2
2
b b b^ ac b x a a a a b b^ ac x a a b b ac x a
Portanto, as raízes da equação ax^2 + bx + c = 0, com a ≠ 0, são dadas por
(^2 )
2
b b ac x a
conhecida popularmente como a fórmula de Bhaskara. Denotamos por D = b^2 – 4 ac o discrimi- nante da equação. Quando D > 0, a equação possui duas raízes reais distintas, agora se D = 0 a equação só possui uma raiz real, mas se D < 0 a equação não possui raízes reais.
5 Desigualdade
Uma desigualdade é uma relação de ordem entre elementos de um conjunto. Dizemos que a é menor que b , que representamos por a < b , se existe um c tal que b = a + c. Dizemos que a é maior que b , que representamos por a > b , quando b < a. Também podemos dizer que a é menor que ou igual a b , que representamos por a # b , ou que a é maior que ou igual a b , que representamos por a $ b.
Propriedades: Sejam a , b , c e d elementos do conjunto.
- Se a # b , então b $ a.
- Se a # b e b # c , então a # c.
- Se a # b , então a + c # b + c.
- Se c $ 0 e a # b , então ac # bc.
- Se c # 0 e a # b , então ac $ bc.
- Se a # b e c # d , então a + c # b + d.
- | a + b | # | a | + | b | (Desigualdade triangular).
5.1 Intervalos
Um intervalo é o conjunto de números reais compreendidos entre dois valores a e b. A inclusão ou exclusão dos valores a e b no intervalo permite definir diferentes tipos de intervalos.
Intervalo Aberto: ] a , b [ = { x ∈ | a < x < b}.
Intervalo Fechado: ] a , b [ = { x ∈ | a # x # b }.
Intervalo Misto: [ a , b [ = { x ∈ | a # x < b } e ] a , b ] = { x ∈ | a < x # b }.
Intervalo Ilimitado: Dado a ∈ ¡, definimos
]– ∞, a [ = { x ∈ | x < a }, ] a , ∞[ = { x ∈ | x > a }, ]– ∞, a ] = { x ∈ | x # a }, [ a , ∞[ = { x ∈ | x $ a }.
Podemos também representar o conjunto ¡ por ]– ∞, ∞[.
Observação : Do mesmo modo podemos representar de maneira adequada os intervalos nos ou- tros conjuntos numéricos. Exemplo: a) {1, 2, 3, 4, 5} = { x ∈ | 1 # x # 5}. b) {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4} = { x ∈ | –2 # x < 5}. c) ]1, 7] = { x ∈ | 1 < x # 7}.
5.2 Inequação
Inequação é uma relação de desigualdade envolvendo uma ou mais incógnitas.
5.2.1 Inequação de 1 o^ Grau
Uma inequação é dita de 1o^ grau se é equivalente a ax # b ou ax < b ou ax > b ou ax $ b , em que a , b são constantes reais e a ≠ 0.
Exemplo: Resolva a inequação 7 – 3 x < 10.
Solução:
7 3 10 7 3 7 10 7 3 3 3 3 3 3 3 ( 1) 3( 1) 3
x x x x x x x − < − − < − − < − <
− < − − > −
−
Portanto, S = { x ∈ | x > –3} é o conjunto solução.
Exemplo: Resolva a inequação 2 x – 1 # x + 1 # 3 x – 1
Solução: Sabemos que temos duas inequações:
- 2 x – 1 # x + 1;
- x + 1 # 3 x – 1.
Para facilitar o raciocínio vamos utilizar a seguinte tabela:
Fator ] – ∞, 2[ ]2, 3[ ]3, ∞[ ( x – 2) – + + ( x – 3) – – + ( x – 2)( x – 3) + – + Portanto, concluímos que x^2 – 5 x + 6 $ 0 quando x ∈ ] – ∞, 2] ou x ∈ [3, ∞[, ou seja, S = { x ∈ | x # 2 ou x $ 3} é o conjunto solução. Exemplo: Resolva a inequação 0 # x^2 – x #20. Solução: Sabemos que temos duas inequações:
- 0 # x^2 – x ⇒ x^2 – x $ 0;
- x^2 – x # 20 ⇒ x^2 – x – 20 # 0. Resolvendo (1) temos que x^2 – x = x ( x – 1), sendo assim, as raízes são x 1 = 0 e x 2 = 1. Vamos analisar cada um dos fatores de tal modo que satisfaça x ( x – 1) $ 0. Iniciando para x , temos que x $ 0, ou seja, esse fator é positivo quando x > 0 e negativo quan- do x < 0, valendo zero quando x = 0. Agora para ( x – 1), temos que x – 1 $ 0 ⇒ x $ 1, ou seja, esse fator é positivo quando x > 1 e negativo quando x < 1, valendo zero quando x = 1. Para resolver x ( x – 1) $ 0 devemos analisar o produto dos fatores, para identificar quando é positivo e quando é negativo. Como x^2 – x = 0 quando x = 0 e x = 1, vamos dividir a reta real nos seguintes intervalos: ] – ∞, 0[, ]0, 1[ e ]1, ∞[, e analisar o sinal do polinômio em cada um deles. Utilizando a seguinte tabela, temos que:
Fator ] – ∞, 0[ ]0, 1[ ]1, ∞[ x – + + ( x – 1) – – + x ( x – 1) + – +
Concluímos que x^2 – x $ 0 quando x ∈ ] – ∞, 0] ou x ∈ [1, ∞[, ou seja, S 1 = { x ∈ | x # 0 ou x $ 1}. Resolvendo (2) vamos inicialmente fatorar a expressão x^2 – x – 20, encontrando suas raízes. Sabemos que para encontrar as raízes podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, logo:
2 1 2
4 e 5. 2 1 2
x x x x
Portanto, temos x^2 – x – 20 = ( x + 4)( x – 5) # 0. Para resolver essa inequação devemos analisar cada um dos fatores individualmente. Iniciando para ( x – 5), temos que x – 5 # 0 ⇒ x # 5, ou seja, esse fator é positivo quando x > 5 e negativo quando x < 5, valendo zero quando x = 5. Agora para ( x + 4), temos que x + 4 $ 0 ⇒ x $ –4, ou seja, esse fator é positivo quando x > –4 e negativo quando x < –4, valendo zero quando x = –4. Para resolver ( x – 5)( x + 4) # 0 devemos analisar o produto dos fatores, para identificar quan- do é positivo e quando é negativo. Como x^2 – x + 20 = 0 quando x = 5 e x = –4, vamos dividir a
reta real nos seguintes intervalos: ] – ∞, –4[, ] –4, 5[ e ]5, ∞[, e analisar o sinal do polinômio em cada um deles. Para facilitar o raciocínio vamos utilizar a seguinte tabela:
Fator ] – ∞, –4[ ] – 4, 5[ ]5, ∞[ ( x + 4) – + + ( x – 5) – – + ( x + 4)( x – 5) + – +
Logo, concluímos que x^2 – x + 20 # 0 quando x ∈ [–4, 5], ou seja, S 2 = { x ∈ | –4 # x # –5} é o conjunto solução. Agora que obtivemos a solução de x^2 – x $ 0 e x^2 – x – 20 # 0, temos que o problema inicial requer que as duas inequações sejam satisfeitas simultaneamente, ou seja,
S = S 1 ∩ S 2 = { x ∈ | x # 0 ou x $ 1} ∩ { x ∈ | –4 # x # 5} ⇒ S = { x ∈ | –4 # x # 0 ou 1 # x # 5}.
6 Funções
Uma função f é uma aplicação que associa a cada elemento x de um conjunto A , um único ele- mento f ( x ) de um conjunto de B. O conjunto A é chamado de domínio de f , denotado por D (^) f , que é o conjunto de todos os valores de x para os quais f está bem definida. Já o conjunto B é chama- do contradomínio de f , que pode ser qualquer conjunto que contenha, dentre outros elementos, os valores de f ( x ). Temos também a imagem de f e indica-se por Im f , que é o conjunto de todos os valores de f ( x ) obtidos a partir de x ∈ A. É possível representar graficamente a função f , ou seja, o gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados ( x , f ( x )), tal que x ∈ A.
Características de uma Função: Seja f : A → B. Temos que:
- Todo elemento x ∈ A deve estar associando a um elemento y ∈ B.
- Nem todo elemento de B precisa estar associado a um elemento de A.
- Um elemento de B pode estar associado a mais de um elemento de A.
- Nenhum elemento de A pode estar associando a mais de um elemento de B.
Uma função de uma variável real a valores reais é dada por f : A → B , em que A e B são sub- conjuntos de ¡. Além disso, é comum denotarmos uma função desse tipo simplesmente por y = f ( x ), x ∈ A.
6.1 Operações com Funções
Dadas as funções f e g , tais que D (^) f ∩ D (^) g ≠ 0 , definimos as operações:
- Soma de f e g : a função f + g dada por: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) para todo x ∈ Df ∩ D (^) g.
- Produto de f e g : a função (^) fg dada por: ( f g ^ )( ) x = f ( ) x g x ( ) para todo x ∈ Df ∩ D (^) g.
Função Quadrática Uma função f : ¡ → ¡ dada por f ( x ) = ax^2 + bx + c , em que a , b , c são coeficientes e a ≠ 0, denomina-se função quadrática. O gráfico da função quadrática é uma parábola, e sua posição no plano cartesiano depende diretamente dos coeficientes a , b , c. O coeficiente a determina se a concavidade da parábola está para cima ou para baixo, ou seja, se a > 0, a parábola é côncava para cima, agora se a < 0, a pará- bola é côncava para baixo. O coeficiente c determina o ponto em que a parábola intercepta o eixo y , que é o ponto (0, c ). O coeficiente b se refere à inclinação da parábola após passar pelo eixo y. As raízes x 1 e x 2 da função são determinadas resolvendo a equação ax^2 + bx + c = 0, ou seja, f ( x ) = 0, que determina os pontos em que a parábola intercepta o eixo x , sendo eles ( x 1 , 0) e ( x 2 , 0). O vértice da parábola é o ponto de máximo ou mínimo dependendo da concavidade, denotado por V = ( xv , yv ). Como o gráfico de f ( x ) = ax^2 + bx + c é simétrico, temos que para determinar xv basta fazer a média aritmética das raízes da função, ou seja,
2 2
1 2
v 2 2 2
b b ac b b ac x x (^) a a b x a
Agora, para determinar y (^) v , basta substituir x (^) v na função, ou seja, (^2 2 2 ) 4 ( ). v v 2 2 4 2 4 4
b b b b b ac y f x a b c c a a a a a a
− − − + D
Portanto, V = ,^. 2 4
b a a
− D
Exemplo: Considere a função f ( x ) = x^2 + 1, determine o domínio, a imagem de f e construa o gráfico.
Solução: A expressão x^2 + 1 pode ser calculada para qualquer valor de x ∈ ¡. Sendo assim,
D (^) f = ¡.
Por outro lado, temos que x^2 > 0 para todo z ∈ ¡, logo, x^2 + 1 $ 1. Portanto,
Im f = { y ∈ y >1}.
0 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
− 1 − 1
− 2
− 2
− 3
− 3
− 4
− 4
− 5
0 1 2 3
− 1
− 2
− 3
1 2 5 10
2
5
10
x f(x)
