Baixe Exercícios de Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão de Números Inteiros e Racionais e outras Esquemas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Tópico 1 - Operações Elementares
1 Noções Básicas
1.1 MDC e MMC de Números Naturais
Definição de MDC: O máximo divisor comum MDC de dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns a esses números, cada um deles elevado ao menor de seus expoentes.
Definição de MMC: O mínimo múltiplo comum MMC de dois ou mais números é igual ao produto dos fatores comuns e não comuns, cada um deles elevado ao maior de seus expoentes. Para calcular o MDC e o MMC de dois ou mais números naturais, aplicamos as se- guintes técnicas:
1º) Decompõem-se os números em fatores primos (pode-se utilizar o algoritmo prático).
2º) Aplicam-se as definições de MDC e MMC.
Exemplo: Calcular o MDC e o MMC dos números 24 , 36 e 60.
24 2 12 2 6 2 3 3 1
24 = 2^3 · 3
36 = 2^2 · 32
60 = 2^2 · 3 · 5
MDC(24; 36; 60) = 2^2 · 3 = 12
MMC(24; 36; 60)= 2^3 · 32 · 5 = 360
1.2 Módulo ou Valor Absoluto
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro ou racional é a distância do nú- mero até a origem, isto é, é a distância do número até o zero (0). Assim, o módulo de um número é sempre positivo. Um número, com exceção do zero, é formado de dois elementos:
- um sinal (+ ou −).
- um número natural ou um número fracionário ou um número decimal.
Exemplos:
- O módulo do número inteiro +4 é 4. Indica-se: | + 4| = 4
- O módulo do número inteiro − 6 é 6. Indica-se: | − 6 | = 6
- O módulo do número racional +
é
Indica-se: +
- O módulo do número racional −
é
Indica-se: −
- O módulo do número decimal − 0 , 232 é 0 , 232. Indica-se: | − 0 , 232 | = 0, 232
Observa-se que | 0 | = 0.
1.3 Números Opostos ou Simétricos
Observe os seguintes números:
a) 5 e − 5 possuem módulos iguais e sinais diferentes.
b) +
e −
possuem módulos iguais e sinais diferentes.
Dois números (inteiros ou racionais) que possuem módulos iguais e sinais diferen- tes são chamados números opostos ou simétricos. Assim, o oposto de − 3 é +3, o oposto de +9 é − 9 , o oposto de +
é −
e o oposto
de −
é +
Observação: O oposto de zero é o próprio zero.
2 Operações com Números Inteiros
2.1 Adição
1º caso: Parcelas tem o mesmo sinal A soma de dois números positivos é um número positivo e a soma de dois números negativos é um número negativo. Com parênteses Modo simplificado (+13) + (+10) = +23 +13 + 10 = +23 = 23 (−3) + (−6) = − 9 − 3 − 6 = − 9 Observação: Escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parênteses das parcelas.
[(+3) + (−1)]
| {z }
- Elemento simétrico: qualquer número inteiro admite um simétrico ou oposto. (+5) + (−5) = 0 (−3) + (+3) = 0
Indicação Simplificada
Podemos dispensar o sinal + da primeira parcela quando esta for positiva, bem como do resultado. Exemplo:
a) (+7) + (−5) = (^) |{z} 7 sem sinal +
−5 = (^) |{z} 2 sem sinal +
2.2 Subtração
É uma operação inversa à da adição. Exemplos:
a) (+8) − (+4) = (+8) + (−4) = 8 − 4 = 4
b) (−6) − (+9) = (−6) + (−9) = − 6 − 9 = − 15
Para subtrairmos dois números inteiros, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo. Observação: A subtração no conjunto Z goza apenas da propriedade do fechamento.
Eliminação de Parênteses Precedidos de Sinal Negativo
Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto. Exemplos:
a) −(+8) = − 8 (significa:o oposto de +8 é − 8 )
b) −(−3) = 3 (significa:o oposto de − 3 é +3)
Adição Algébrica
Podemos representar de modo mais simples uma adição de números inteiros. Para isso:
1º) Eliminam-se o sinal de + ou de − da operação e os parênteses das parcelas.
2º) Escrevem-se as parcelas, uma em seguida à outra, cada qual com o próprio sinal.
Exemplos: a) (+5) + (−8) = 5 − 8 = − 3 b) (+3) + (−9) + (+10) = 3 − 9 + 10 = 3 + 10| {z }
− (^) |{z} 9 − 9
c) (−2) + (+3) − (+8) − (−6) = −2 + 3 − 8 + 6 = −| {z } 2 − 8 − 10
Eliminação de Parênteses: Observações
Vale a pena LEMBRAR!!!
Obs. 1: Um parêntese precedido pelo sinal + pode ser eliminado, juntamente com o sinal + que o precede. Exemplos:
- +(−5) = − 5
- +(+2 − 3) = 2 − 3 = − 1 Obs. 1: Um parêntese precedido pelo sinal de − pode ser eliminado, juntamente com o sinal − que o precede, escrevendo-se os números contidos no seu interior com os sinais trocados. Exemplos:
- −(−5) = +5 = 5
- −(+2 − 3) = −2 + 3 = 1
2.3 Multiplicação
1º Caso: Se os fatores têm o mesmo sinal , o produto é positivo. Exemplos:
a) (+3).(+8) = 24 99K Note que: (+3).(+8) = 3.(+8) = +8 + 8 + 8 = 24
b) (−5).(−4) = 20 99K Note que: (−5).(−4) = −(5).(−4) = −(−20) = 20
2º Caso: Se os fatores têm sinais diferentes , o produto é negativo. Exemplos:
a) (+3).(−2) = − 6
b) (−5).(+4) = − 20
Quadro de sinais da multiplicação
1.º fator 2.º fator Produto (+) (+) + (−) (−) + (+) (−) − (−) (+) −
SINAIS IGUAIS: o resultado é positivo. SINAIS DIFERENTES: o resultado é negativo.
Quadro de sinais da divisão
1º fator 2º fator Quociente (+) (+) + (−) (−) + (+) (−) − (−) (+) − Observações:
- Não existe a divisão de um número inteiro por zero.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Exemplos: a) (+1) : (+3) b) (−5) : (+2)
3 As Frações
3.1 Tipos de Frações
Observe as figuras:
A figura acima nos mostra a fração
, na qual o numerador é menor do que o deno-
minador. Essa fração é chamada de fração própria.
A figura acima nos mostra a fração
, na qual o numerador é maior que o denomina-
dor. Essa fração é chamada fração imprópria.
As figuras acima nos mostram frações cujo numerador é múltiplo do denominador. Essas frações são chamadas frações aparentes.
3.2 Frações Equivalentes
Observando a figura acima, notamos que
representam a mesma
parte da unidade tomada. Verificamos que existem frações diferentes que representam a mesma parte do todo. Assim:
Duas ou mais frações que representam a mesma parte do todo são chamadas de frações equivalentes. Exemplos:
São frações equivalentes:
a)
b)
Propriedade Fundamental
- Multiplicando os termos de uma fração por um mesmo número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. Exemplo:
1 2
1 × 2
2 × 2
1 × 3
2 × 3
- Dividindo, quando possível, os termos de uma fração por um mesmo número natu- ral, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada. Exemplo:
12 16
12 ÷ 2
16 ÷ 2
12 ÷ 4
16 ÷ 4
Sejam as frações
e
Vamos multiplicar os termos da primeira fração pelo denominador 5 da segunda fra- ção e os termos da segunda pelo denominador 3 da primeira:
2 × 5
3 × 5
4 × 3
5 × 3
Processo Prático
Essa redução se torna mais fácil quando aplicamos a seguinte regra prática:
Para se reduzirem duas ou mais frações ao menor denominador comum: 1º) Calcula-se o MMC dos denominadores das frações dadas; esse MMC. será o denominador comum 2º) Divide-se o denominador comum pelo de denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador
Exemplo: Reduzir as frações
e
ao mesmo denominador comum.
MMC(3,5)= 2 3
(15 ÷ 3) × 2
(15 ÷ 5) × 4
5 × 2
3 × 4
4 Operações com Frações
4.1 Adição Algébrica
1º CASO) As frações tem o mesmo denominador
Calcular
Quando as frações tem o mesmo denominador, mantem-se o denominador co- mum e somam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplos:
- Calcule as somas algébricas das frações:
(a)
(b)
2º CASO) As frações têm denominadores diferentes
Calcular:
Observando o gráfico, vemos que adicionar
com
é o mesmo que adicionar
com
, ou seja: 1 2
z }| 10 { reduzimos ao mesmo denominador
Quando as frações tem denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar, reduzi-las ao mesmo denominador comum para, em seguida, efetuar a adição ou a subtração.
Na prática, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) entre os denominadores e prosseguimos como nos exemplos :
- Calcule as somas algébricas das frações:
(a)
Calculando o MMC(2,4) = 4
e)
f)
4.3 Divisão
Números Inversos
Os números racionais
e
são chamados inversos, pois
×̸
= 1, isto é, quando
multiplica-se um número pelo seu inverso o resultado é 1.
Para se dividir uma fração por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor. Ou ainda: Para se dividir uma fração por outra, deve-se manter a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração Exemplos
- Calcule os seguintes quocientes:
(a)
×
(b)
×
(c)
×
^2
×
(d)
×
(e)
÷
×
(f)
÷
×
×
^5
5 Potenciação e Expressões Numéricas
5.1 Potenciação
Definição
Para a ∈ ℜ e n ∈ N , temos:
an^ = b, onde a é a base , n é o expoente e b é a potência (resultado da operação).
- an^ = a.a.....a| {z } n f atores Exemplos:
a) 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
b)
- a potência de expoente 1 é igual a própria base. a^1 = a Exemplos: a) 51 = 5
b)
c) 0 , 0031 = 0, 003
- a potência de expoente 0 é igual a 1. a^0 = 1 Exemplos:
a) (−8)^0 = 1
b)
c) 0 , 0110 = 1
an Exemplos:
a) (3)−^1 =
b)
Observações: Existem algumas bases e expoentes especiais, tais como,
- 1 n^ = 1 ∀ n 99K (para todo n)
- 0 n^ = 0 ∀ n > 0 99K (para todo n maior do que 0)
- 10 n^ = 1..., seguidos de n zeros Números representados genericamente na forma: N × 10 n^ (N é um número inteiro de 1 a 9) são números escritos em notação científica. Exemplos: Escreva na forma de notação científica: a) 136 , 5 = 1, 365 × 102 b) 0 , 000847 = 8, 47 × 10 −^4. Note que o expoente da base 10 é o deslocamento da vírgula para direita ou para esquerda.
- Quando o expoente é par , a potência será sempre positiva: x^2 n^ > 0 , ∀ x ∈ ℜ Exemplos:
a) (+2)^4 = (+2).(+2).(+2).(+2) = 16 b) (−2)^4 = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
6 Radiciação
6.1 Raiz Quadrada de Números Racionais
Pela definição de raiz quadrada, já estudada, temos: r 4 9
, pois
Então:
r 4 9
√^4
Para se extrair a raiz quadrada de uma fração, extrai-se a raiz quadrada do nu- merador e a raiz quadrada do denominador. Exemplos:
- Encontre a raiz quadrada dos seguintes números racionais positivos:
(a)
r 1 9
(b)
r 36 25
- Os números racionais negativos não possuem raiz quadrada no conjunto Q:
(a)
r −
= ∈ Q
(b)
r −
= ∈ Q
- A raiz quadrada de
é o número positivo +
. Indica-se:
r 4 25
- A raiz quadrada de 0,36 é o número positivo +0,6. Indica-se:
q 36 100 =^ 6 10 = 0 , 6.
6.2 Definição
Para a, b ∈ ℜ e n ∈ N ∗, temos: √ n b = a, onde a é a raiz , b é o radicando , n é o índice e √. é o radical. Assim, n
b = a ⇔ an^ = b. Quando o índice é 2 , usualmente não se escreve o índice. Exemplo:^2
b =
b
Radicais de índice 1 podem, às vezes, ser escritos e representam o próprio radicando. O índice 1 é o mesmo que o expoente 1 na potenciação. Exemplo:^1
b = b
6.3 Raiz de Um Número Real
- Se b ≥ 0 e n é par ou ímpar Nesse caso a raiz a sempre será um número real positivo ou nulo. Exemplos:
a)
b) 5
q 1 32 =^
1 2 ⇐⇒^
2
- Se b < 0 e n é par Nesse caso, não existe a raiz a, ou seja não existe raiz de índice par de um número negativo:√ − 4 ∈/ R Pois não há número real que elevado ao quadrado reproduza o número − 4. Do mesmo modo: √ (^4) − 16 ∈/ R e √ (^6) − 100 ∈/ R
- Se b < 0 e n é ímpar Nesse caso, a raiz a sempre será um número real negativo. Exemplos: a) 5
−32 = − 2 ⇐⇒ (−2)^5 = − 32
b) 3
q − 10001 = − 101 ⇐⇒ (− 101 )^3 = − 10001
6.4 Propriedades da Radiciação
- ( n
b)n^ = b
- n
a · n
b = n
a · b
n√a n√b =^ n
pa b ,^ b^ ̸= 0
- n
p (^) m √ a = n·m
a
- ( n
a)p^ = n
ap, p ∈ N ∗
- n
am^ = n·p
am·p^ ou n÷p
am÷p, p ∈ N ∗
Exemplos: Utilizando as propriedades da radiciação, calcule as seguintes raízes:
a) (
4)^2 = 2^2 = 4
b)
c)
√ (^35) √ 37 = 3
q 5 7
d)
p√ 5 = 4
iii) a ∈ ℜ∗− ⇒
a pn nem sempre é real se n é par a pn = n
ap^ se n é ímpar
Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são válidas para expo- ente fracionário.
Exemplos:
- Escrever, se possível as seguintes potências na forma de radical:
a) (−4)
(^12)
− 4 ∈/ R
b) a^53 = 3
a^5 = 3
a^3 · a^2 = a 3
a^2 c) m−^ (^34) = √ (^41) m 3 d) (−27) (^13) = 3
- Escrever sob a forma de potência com expoente fracionário: a)
(^12)
b) √ 3172 = 1 7 23
= 7−^
(^23)
c) √ (^53) a 3 = 3 · a−^ (^35)
Isso é amplamente usado no Cálculo!
6.7 Inserção de um Fator no Radical
As vezes, é conveniente introduzir um fator no radical e isso pode ser feito por meio das propriedades. Exemplo:
a) Como
a^2 b = a
b, então a
b =
a^2 b. b) Também
p x^4 y = x^2 √y, então x^2 √y =
p x^4 · y
Assim:
Quando se introduz um fator no radical, basta multiplicar o expoente desse fator pelo índice do radical.
6.8 Redução ao Mesmo Índice
Sejam os radicais 2
a e 3
a^2. Pela propriedade n
am^ = n·p
am·p^ das operações com radicais, temos: √ (^2) a = 2 ·^ √ (^3) a 1 · (^3) = √ (^6) a 3
√ (^3) a (^2) = 3 √· (^2) a 2 · (^2) = √ (^6) a 4
São radicais de mesmo índice
Na prática, procede-se da seguinte forma:
1º) Determina-se o M.M.C dos índices, para se obter um índice comum.
2º Divide-se o índice comum pelo índice de cada radical, multiplicando-se o quociente obtido em cada caso pelo expoente do radicando.
Exemplo: Reduza os radicais ao mesmo índice:
a,
ab, 4
2 a^3 Note que:
-^3
a tem índice 3
-
ab tem índice 2
-^4
2 a^3 tem índice 4 Temos que obter o índice comum: M.M.C. (3, 2 , 4) = 12 12 √a (^4) , 12 p(ab) (^6) , 12 p(2a (^3) ) 3
ou 12
a^4 , 12
a^6 b^6 , 12
8 a^9
6.9 Operações com Radicais
Adição e Subtração
Vamos efetuar a operação 2
Esta operação apresenta a redução de radicais semelhantes. Dizemos, então, que: Dois ou mais radicais são semelhantes quando possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. Assim, para efetuarmos a adição e a subtração de radicais, basta reduzir a um só radical e efetuar a soma algébrica dos fatores externos ao radical. Então: 2
Exemplos:
a)
b) 2 3
c) 3
Efetuando a redução dos termos que são semelhantes, temos: 3
d)
Neste caso, não existem, aparentemente, radicais semelhantes. Entretanto, de- compondo os radicandos em fatores primos e simplificando-os, temos: 12 = 2^2 · 3 e 50 = 5^2 · 2 Então:√ 12 −
