Ponto Fixo e Ponto Flutuante, Notas de aula de Arquitetura

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Ponto Fixo e Ponto Flutuante

Arquitetura de Computadores

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Introdução (1/2)

• É trivial para um computador atual tratar e operar com números inteiros.
• Entretanto, em muitas aplicações do dia a dia é necessário realizar operações com quantidades fracionárias, ou representar valores muito grandes ou muito pequenos.
• Para estas situações deve-se representar números em ponto fixo ou em ponto flutuante.

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Representação em Ponto Fixo (1/5)

• Para representar frações em ponto fixo, deve-se reservar certo número de bits para armazenar a parte fracionária. - Naturalmente, a quantidade de bits utilizáveis para a parte inteira diminui de forma correspondente.
• Tomando como exemplo o número binário em complemento de 2 que corresponde ao número decimal

   0 1 1 0 0 1 1 1 

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Representação em Ponto Fixo (2/5)

• Para a mesma cadeia de bits, tem-se os seguintes números, conforme a posição da vírgula: 0 1 1 0 0 1 1, 1 = 51, 0 1 1 0 0 1 , 1 1 = 27, 0 1 1 0 0 , 1 1 1 = 12, 0 1 1 , 0 0 1 1 1 = 3, 0 , 1 1 0 0 1 1 1 = 0,

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Representação em Ponto Fixo (4/5)

• A quantidade total de valores representáveis permanece a mesma ( 2 n ), independentemente da posição da vírgula.
• A faixa de valores representáveis depende da posição da vírgula.
• Os números fracionários não são contínuos, mas sim, estão separados entre si por uma diferença igual a 2 - f .

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Representação em Ponto Fixo (5/5)

• As operações de soma e subtração em ponto fixo são realizadas exatamente da mesma maneira que para números inteiros. - Naturalmente, podem ser somados (ou subtraídos) apenas números que possuam a mesma posição para a vírgula. - Entretanto, os números em ponto fixo com diferentes posições para a vírgula também podem ser operados, desde que um dos números seja convertido para a representação do outro.

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Representação em Ponto Flutuante (2/5)

• A representação de números em ponto flutuante é basicamente a versão binária da notação científica.
• A cada número em ponto flutuante estão associados, na realidade, três outros números: a mantissa m , o expoente e e a base b.
• No caso dos computadores atuais, a base utilizada é a binária, ou seja, b = 2.

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Representação em Ponto Flutuante (3/5)

• O número em ponto flutuante é então calculado por:
• Como a base é uma constante para um determinado sistema, o número em ponto flutuante é então representado por um par ( m , e ), onde m é uma fração ou um inteiro, e e é o expoente (sempre inteiro). - Note que ambos, mantissa ou expoente, podem ser positivos ou negativos. N = m × b e

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Representação em Ponto Flutuante (5/5)

• Os números em ponto flutuante são inerentemente redundantes, no sentido de que um mesmo número pode ser representado de maneiras diferentes. - Um quintilhão é representado por 1,0 × 10 18 , ou 0,1 × 10 19 , ou 100,0 × 10 16 .
• Assim, é desejável que exista uma forma normalizada de representar um número. - Para tanto utiliza-se somente mantissas normalizadas.

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Normalização (1/2)

• Uma mantissa está normalizada quando é constituída somente de uma parte fracionária (não existe parte inteira) e quando o primeiro dígito à direita da vírgula é diferente de zero.
• Assim, a forma normalizada de representar um quintilhão é dada por 0,1 × 10 19 .

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Formatos de Números em Ponto Flutuante

• Existem diversos formatos adotados para representar os números em ponto flutuante.
• Muitos deles são específicos para uma família de computadores ou para um fabricante.
• Existe, porém, formato recomendado pelo IEEE ( Institute of Electrical and Electronics Engineers ), o IEEE 754. - O bit de sinal é representado no bit mais significativo; os bits seguintes representam o expoente e os bits menos significativos são destinados à mantissa.

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Formato IEEE para Ponto Flutuante (1/6)

• A IEEE define três formatos.
• Nesta notação, cinco grupos de números podem ser representados: - Números normalizados, zero, números não normalizados, infinito e não números (NaN). Simples (32 bits) Duplo (64 bits) Quádruplo (128 bits) Sinal (S) 1 bit 1 bit 1 bit Expoente (E) 8 bits 11 bits 15 bits Mantissa (M) 23 bits 52 bits 112 bits

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Formato IEEE para Ponto Flutuante (3/6)

• O zero é representado por um número todo em zero ( E = M = 0 ). - Note que o zero neste caso pode ter sinal. S| E | M |Valor 0|0000 0000|000 0000 0000 0000 0000 0000| + 1|0000 0000|000 0000 0000 0000 0000 0000| - 0

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Formato IEEE para Ponto Flutuante (4/6)

• Números não normalizados possuem o expoente em zero ( E = 0 ) e uma fração não zero.
• Seu uso é restrito para a representação de números que não podem ser normalizados sem causar underflow.