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Polos Olímpicos de Treinamento
Curso de Teoria dos Números - Nível 2
Prof. Samuel Feitosa
Aula 10
Divisores
Suponha que n = pα 1 1 pα 2 2... pα k k´e a fatora¸c˜ao em primos do inteiro n. Todos os divisores
de n s˜ao da forma m = pβ 1 1 pβ 2 2... pβ kk , onde 0 ≤ βi ≤ αi. Cada um desses n´umeros, aparece exatamente uma vez no produto:
(1 + p 1 + p^21 +... + pα 1 1 )(1 + p 2 + p^22 +... + pα 2 2 )... (1 + pn + p^2 n +... + pα k k),
quando o mesmo ´e expandido usando a distributividade. Como existem αi + 1 termos em cada parˆenteses, O n´umero de termos dessa expans˜ao ´e:
(α 1 + 1)(α 2 + 1)... (αk + 1).
Al´em disso, sabemos que:
1 + pi + p^2 i +... + pα i i=
pα i i+1− 1 pi − 1
Sendo assim, podemos concluir que:
Teorema 1. Se n = pα 1 1 pα 2 2... pα k k´e a fatora¸c˜ao em primos de n, ent˜ao:
a) O n´umero de divisores de n, denotado por d(n), ´e: (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (αn + 1).
b) A soma dos divisores de n, denotada por σ(n), ´e:
(1 + p 1 + p^21 +... + pα 1 1 )(1 + p 2 + p^22 +... + pα 2 2 )... (1 + pn + p^2 n +... + pα nn )
ou, de forma mais sucinta, ( pα 1 1 +1− 1 p 1 − 1
pα 2 2 +1− 1 p 2 − 1
pα nn +1− 1 pn − 1
POT 2012 - Teoria dos N´umeros - N´ıvel 2 - Aula 10 - Samuel Feitosa
Observa¸c˜ao 2. (Pareamento de divisores) Se d ´e um divisor de n, ent˜ao
n d tamb´em ´e um
divisor de n.
Portanto, pelo menos um dentre {d, n d } ´e um divisor de n menor ou igual a
n.
Exemplo 3. Determine o n´umero de divisores positivos de 20088 que s˜ao menores que
O n´umero de divisores de 2008^8 = 2^24 · 2518 ´e 225. Como n ´e um quadrado perfeito e em virtude da observa¸c˜ao anterior, 112 desses divisores s˜ao menores que
20088 = 2008^4 e 112 s˜ao maiores.
Exemplo 4. Encontre a soma dos inversos dos divisores postivos de 496.
Sejam d 1 , d 2 ,... , dn os divisores de 496 e K a soma de seus inversos. Usando a observa¸c˜ao
anterior, o conjunto {
d 1
d 2
dn } coincide com o conjunto {dn + dn− 1 +... + d 1 }
e da´ı:
d 1
d 2
dn
= K ⇒
d 1
d 2
dn
= 496 K ⇒
dn + dn− 1 +... + d 1 = 496 K ⇒ 25 − 1 2 − 1
= 496 K ⇒
= K.
Portanto, k =
Exemplo 5. Um n´umero natural n possui exatamente dois divisores e n + 1 possui exata- mente 3 divisores. Encontre o n´umero de divisores de n + 2.
Se n possui exatamente dois divisores, ent˜ao n = p ´e um n´umero primo. Se n + 1 possui um n´umero ´ımpar de divisores, ent˜ao n + 1 = x^2 ´e um quadrado perfeito, para algum x inteiro positivo. Logo, x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1) = p. Como p ´e primo, a ´unica possibilidade ´e x − 1 = 1 e consequentemente n = 3. O n´umero de divisores de n + 2 = 5 ´e 2.
Exemplo 6. Encontre todos os inteiros n que possuem exatamente
n divisores positivos.
Para
n ser inteiro, n deve ser um quadrado perfeito e assim podemos escrever:
n = p^21 α 1 p^22 α 2... p^2 kα k.
A condi¸c˜ao do problema ´e equivalente `a:
pα 1 1 pα 2 2... pα k k= (2α 1 + 1)(2α 2 + 1)... (2αk + 1).
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os divisores de n. Ent˜ao
σ(n) = d 1 + d 2 +... + dk < 1 + 2 +... + n = n(n + 1) 2
< n^2.
Al´em disso, n < n + 1 ≤ d 1 + d 2 +... + dk = σ(n).
Da´ı, n < nk^ < n^2 ,
e obtemos um absurdo.
Exemplo 10. (Olimp´ıada de Leningrado 1989) Duas pessoas jogam um jogo. O n´umero 2 est´a inicialmente escrito no quadro. Cada jogador, na sua vez, muda o n´umero atual N no quadro negro pelo n´umero N + d, onde d ´e um divisor de N com d < N. O jogador que escrever um n´umero maior que 19891988 perde o jogo. Qual deles ir´a vencer se ambos os jogadores s˜ao perfeitos.
Nesse problema, basta determinarmos apenas aquele que possui a estrat´egia vencedora. Note que o in´ıcio do jogo ´e estritamente determinado: 2 → 3 → 4. Suponha que o segundo jogador vence o jogo. Ap´os o movimento 4 → 5 do primeiro jogador, o segundo s´o pode jogar 5 → 6. Isto significa que 6 ´e uma posi¸c˜ao vencedora. Entretanto, o primeiro jogador pode obter a posi¸c˜ao 6 jogando 4 → 6, uma contradi¸c˜ao. Logo, o primeiro jogador possui a estrat´egia vencendora.
Exemplo 11. (Olimp´ıada de Leningrado) Duas pilhas de palitos sobre uma mesa cont´em 100 e 252 palitos, respectivamente. Dois jogadores jogam o seguinte jogo: Cada jogador em sua vez pode remover alguns palitos de uma das pilhas de modo que o n´umero de palitos retirados seja um divisor do n´umero de palitos da outra pilha. O jogador que fizer o ´ultimo movimento vence. Qual dos dois jogadores ir´a vencer se ambos s˜ao perfeitos?
O primeiro jogador perde. Em cada momento do jogo, podemos registrar o expoente da maior potˆencia de 2 que divide os n´umeros de palitos em cada pilha. Por exemplo, no in´ıcio os n´umeros s˜ao (2, 2). A estrat´egia do segundo jogador ´e manter esse n´umeros sempre iguais. Suponha que, em um dado momento, as pilhas possuem 2m^ · a e 2m^ · b palitos com a e b ´ımpares. O par registrado ser´a (m, m). Vejamos o que acontece quando retiramos um divisor d da segunda pilha do n´umero de palitos da primeira. Se 2m^ ´e a maior potˆencia de 2 que divide d, ent˜ao 2m+1^ dividir´a o n´umero de palitos da primeira pilha e consequentemente o par registrado ter´a n´umeros diferentes. Se 2k, com k < m, ´e a maior potˆencia de 2 que divide d, ent˜ao 2k^ ser´a a maior potˆencia de 2 que divide o n´umero de palitos da primeira pilha e novamente o par registrado ter´a n´umeros diferentes. Assim, sempre que um jogador receber um par registrado com n´umeros iguais, ele ir´a passar um par registrado com n´umeros diferentes para o outro jogador. Suponha agora que, na sua vez, as pilhas possuem 2m^ · a e 2n^ · b palitos, com m < n e a ≡ b ≡ 1 (mod 2). Basta o jogador retirar 2m^ palitos da segunda pilha para passar um par registrado com n´umeros iguais a (m, m). Como inicialmente as pilhas possuem n´umeros registrados iguais, o segundo jogador pode sempre manter essa propriedade e consequentemente o ´unico que pode passar uma pilha com zero palitos pela primeira vez ´e o primeiro jogador.
POT 2012 - Teoria dos N´umeros - N´ıvel 2 - Aula 10 - Samuel FeitosaREFER ENCIASˆ
Problemas Propostos
Problema 12. Mostre que se k ´e um inteiro positivo ent˜ao 3 k^ ≥ 2 k +1 e vale a desigualdade estrita quando k > 1.
Problema 13. (R´ussia 2001) Encontre todos os n tais que quaisquer divisores primos dis- tintos a e b de n o n´umero a + b − 1 tamb´em ´e um divisor de n
Problema 14. O n´umero 332 − 1 tem exatamente dois divisores que s˜ao maiores que 75 e menores que 85. Qual o produto desses dois divisores?
Problema 15. (Ir˜a 2012) Sejam a e b inteiros positivos de modo que o n´umero de divisores positivos de a,b, ab ´e 3 , 4 e 8 , respectivamente. Encontre o n´umero de divisores positivos de b^2.
Problema 16. (Olimp´ıada de S˜ao Petesburgo) Enconte todos os inteiros positivos n tais que 3 n−^1 + 5n−^1 divide 3 n^ + 5n.
Problema 17. Sejam 1 = d 1 < d 2 < .... < dk = n o conjunto de todos os divisores de um inteiro positivo n. Determine todos os n tais que:
d^26 + d^27 − 1 = n.
Problema 18. Um divisor d > 0 de um inteiro positivo n ´e dito ser um divisor unit´ario
se mdc(d,
n d ) = 1. Suponha que n ´e um inteiro positivo tal que a soma de seus divisores
unit´arios ´e 2 n. Prove que n n˜ao pode ser ´ımpar.
Referˆencias
[1] F. E. Brochero Martinez, C. G. Moreira, N. C. Saldanha, E. Tengan - Teoria dos N´umeros? um passeio com primos e outros n´umeros familiares pelo mundo inteiro, Projeto Euclides, IMPA, 2010.
[2] E. Carneiro, O. Campos and F. Paiva, Olimp´ıadas Cearenses de Matem´atica 1981- (N´ıveis J´unior e Senior), Ed. Realce, 2005.
[3] S. B. Feitosa, B. Holanda, Y. Lima and C. T. Magalh˜aes, Treinamento Cone Sul 2008. Fortaleza, Ed. Realce, 2010.
[4] D. Fomin, A. Kirichenko, Leningrad Mathematical Olympiads 1987-1991, MathPro Press, Westford, MA, 1994. [5] D. Fomin, S. Genkin and I. Itenberg, Mathematical Circles, Mathematical Words, Vol. 7, American Mathematical Society, Boston, MA, 1966. [6] I. Niven, H. S. Zuckerman, and H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers.
